9高次方程的求根

2 3 2
3
初 等 数
3
学 专 题 研 究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲 高次方程的求根 对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根 公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在 获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解 法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高 于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人 们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构 特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能 寻求它的近似解。 本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的 求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初 等 数 学 专 题 研 究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以 作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。 可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0
说明该方程的三个根分布在区间( 2, 0), (0, 1), (1, 2) 上
二、倒数方程 1、倒数方程的概念及其性质 定义1：如果α是复系数方程：
f ( x ) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 = 0 (3)
的任意一个根，当
1 也是方程(3)的根时，
2
3
方程（2）有一个实数根和一对共轭虚数根。 （2）当 q + p = 0 时， 2 3 方程有一个二重实数根和一个单实数根；
2 3
2 3
初 等
数 q p （3）当 + < 0 时，方程(2)有三个不相同的实数根。 学 2 3 专
在这种情形下，却不能够用根号下只出现实数的根式 形式表示这个方程的三个实数根。 这个求根公式在16世纪由意大利数学家塔塔利亚发现，但由 意大利同时代的数学家卡当首先发表，所以这个公式叫做 卡当公式。
α
初 等 数 学 专 题 研 究
那么方程(3)称为正倒数方程，简称倒数方程。 根据定义可以得到倒数方程的下面几条性质： 性质1：偶数次倒数方程的所有根的积等于1。 性质 ：偶数次倒数方程的所有根的积等于 。 并且如果α(α≠±1)是倒数方程（3）的根， 是倒数方程（ ）的根， 并且如果 ± 是倒数方程 那么它与根α 有相同的重数。 那么它与根 -1有相同的重数。
a nα n + a n1α n1 + + a1α + a 0 = 0 …② ②
a n a n 1 a0 = == a0 a1 an
a0α n + a1α n 1 + + an 1α + an = 0 …① ①
比较①②两式，它们的对应项系数应该成比例，即：
a0 = 1（因为倒数方程的所有根的积为 由韦达定理知 ( 1) an
n
初 等 数 学 专 题 研 究
a n a n 1 a0 = == = ( 1) n a0 a1 an
从而倒数方程具有特征： 性质3：不含根 性质 ：
1 ±的偶数次倒数方程的首尾等距离的
两项系数相等； 两项系数相等；
首尾等距离的两项系数相等的偶数次倒数方程称为 标准型倒数方程或第一类倒数方程。 标准型倒数方程或第一类倒数方程。 性质4：奇数次倒数方程，如果有实根 ， 性质 ：奇数次倒数方程，如果有实根1，那么它的方程形式 是标准型；如果有实根－ ， 是标准型；如果有实根－1，那么它的方程首尾等距离的两项 系数互为相反数。 系数互为相反数。 首尾等距离的两项系数互为相反数的奇数次倒数方程称为 第二类倒数方程。 第二类倒数方程 对于第二类偶次倒数方程，必然含有1和－1这两个根，因此： 性质5： 性质 ：首尾等距离的两项系数互为相反数的偶次倒数方程 （ 的项） 一定缺少中间项 即含 x 的项）
3 3
的形式，将其代入方程（2），整理得：
u + v + q + ( 33 uv + p)( 3 u + 3 v ) = 0
即
u + v + q + ( 33 uv + p) x = 0
初 等 数 学 专 题 研 究
如果我们事先约定 那么应该有：
p、 q、 u 、 v
都是有理数，
u + v = q 3 p uv = 3
y
则解方程(1)归结为解方程：
x + px + q = 0 ( 2)
经计算，方程(1)与方程(2)的系数之间的关系为：
3ac b 2 2b 2 9abc + 27a 2 d p= , q= 2 3a 27a 3 于是我们只需研究方程（2）的解法即可。
假定方程（5.2.2）的根可以表示成
x= u+ v
3
再设第二类6次倒数方程： ④ a0 x 6 + a1 x 5 + a 2 x 4 a 2 x 2 a1 x a0 = 0 …④ 方程④可以整理为
a 0 ( x 6 1) + a1 ( x 4 1) x + a 2 ( x 2 1) x 2 = 0
从而方程④可以分解成
( x 2 1) g( x ) = 0 的形式，
n 2
初 等 数 学 专 题 研 究
例如方程 方程
2x6 + 4x5 3x4 + x3 3x2 + 4x + 2 = 0
是标准型偶次倒数方程；
7 x5 2x4 + 3x3 + 3x2 2x + 7 = 0
6x 3x + 5x 5x + 3x 6 = 0
5 4 3 2
是标准型奇次倒数方程； 方程
初 等 数 学 专 题 研 究
f ( x ) = an x + an 1 x
n
n 1
+ + a1 x + a0 = 0 (3)
将
x = 代入方程(3)，并且两边同时乘上 ，
1
α
α
n
a0α n + a1α n 1 + + an 1α + an = 0 …① ① 得：
又因为α是方程(3)的根，所以
a nα n + a n1α n1 + + a1α + a0 = 0 …② ②
初 等 数 学 专 题 研 究
是偶数次标准型倒数方程。 其中方程 g ( x ) = 0 综上所述：我们有：
定理5.2.1：（ ）第一类奇数次倒数方程以－1为根， ：（1）第一类奇数次倒数方程以－ 为根 为根， 定理 ：（ 第二类奇数次倒数方程以1为根 为根， 第二类奇数次倒数方程以 为根，并且分离出因式 后必然得到一个偶数次标准型倒数方程； x +或 x 1 后必然得到一个偶数次标准型倒数方程； 1
3
uω + 3 vω 2 仍然是（2）的根。
uω 2 + 3 vω 也是（2）的根。
从而得到三次方程（2）的三个根为：
x1 = 3 q q q p q p + + +3 + 2 2 2 3 2 3
2 3 2
2
3
2
3
q q q p q p 23 3 x2 = ω + + +ω + 2 2 2 3 2 3
11 x 4 + 36 x 3 36 x 2 + 11 x 1 = 0
解：它属于第二类奇数次倒数方程，1是它的一个根，
1 1 11 + 36 36 + 11 1 1 10 + 26 10 + 1 1 10 + 26 10 + 1 0
1 （2）偶数次标准型倒数方程通过变数替换 y = x + ） x
可以使方程的次数降低一半； 可以使方程的次数降低一半； （3）偶数次第二类倒数方程必有因式 ） ，分离出因式
初
x2 1
等 数 学 专 题 研 究
x 1
2
后必然得到一个偶数次标准型倒数方程； 后必然得到一个偶数次标准型倒数方程；
例1：解方程： x 5 用综合除法：
题 研 究
例如方程
x3 3x + 1 = 0
2 3 2
的判别式
q p 1 + = + ( 1) 3 < 0 2 3 2 所以它有三个不相等的实数根，但每个实根都不能用在 实数集上有意义的根式表示。
实际上，这个方程的一个实数根是 2 sin 10
初 等 数 学 专 题 研 究
1
初 等 数 学
2 3 1
x + x = ( x + x )( x + x ) 2 = y 2
2 2 1 1 2
x + x = ( x + x )( x + x ) ( x + x ) = y( y 2) y = y 3 y
3 3 1 2 2
专 题 研 究
x 4 + x 4 = ( x + x 1 )( x 3 + x 3 ) ( x 2 + x 2 ) = y( y 3 3 y ) y 2 + 2 = y 4 4 y 2 + 2
3 3
x 3 = 1 的另一个虚根）
2
x3 = 1
初 等 数 学 专 题 研 究
x = uω + vω
3
代入方程（2），利用 ω 3 = 1, ω 4 = ω , ω 5 = ω 2 , ω 6 = 1 仍然得 所以，如果
u + v + q + ( 3 uv + p) x = 0
3
u+3 v
3
方程（2）的根，那么 同理
3 2
p 这样u、v就是二次方程： t + qt = 0 的两个根。 3
从而方程（2）的一个根可以表示成：
3
q q q p q p 3 + + + + 2 2 2 3 2 3
2
3
2
3
为了求出方程（2）的另外两个根，我们用ω表示方程 的一个虚数根 （显然ω2也是方程 将
∵ 2 sin 30 = 1 ∴ 2(3 sin 10 4 sin 10 ) = 1 ∴ 8 sin3 10 6 sin 10 + 1 = 0 令 x = 2 sin 10 那么 f ( x ) = x 3 3 x + 1 = 0
3
并且 f ( 2) = 1 < 0 f (0) = 1 > 0 f (1) = 1 < 0
初 等 数 学 专
2
是第二类奇次倒数方程； 方程
2x 4x 3x + 3x + 4x 2 = 0
6 5 4
题 研 究
是第二类偶次倒数方程；
它缺x的立方项
2、倒数方程的求解 、 f ( x ) = 是标准型偶数次倒数方程，其次数为2m， 0 如果 x m 去除方程两边，并按系数同类整理后，可以得到： 用 f ( x ) = am ( x m + x m ) + am1 ( x m1 + x1m ) + + a1 ( x + x 1 ) + a0 的形式，作变换 y = x + x 可以将原方程的次数降低一半。 下面是常用的变换式：
对于奇数次倒数方程，它有奇数个复根，其中必有一个根等 于它自身的倒数，这样的复数要么为1，要么为－1，所以 性质2：奇数次倒数方程一定可以分解成 ( x + 1) g ( x ) = 0 或 ( x 1) g ( x ) = 0 的形式 , 其中g (x) = 0是偶数次倒数方程。 性质3：偶数次倒数方程如果含有奇数重根1，那么它也必 有奇数重根－1。 下面我们来看看倒数方程在构成方式上有什么特征。
初 等 数 学 专 题 研 究
一、三次方程的求根公式 实系数的一元三次方程的一般形式是：
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) (1)
用
b y= x+ 3a
代替x并且用a除方程的各项后，方程具有
y 3 + py + q = 0
的形式，仍然用x表示回 x
3
初 等 数 学 专 题 研 究
……………………………………………………………………………
x m + x m = ( x + x 1 )( x m1 + x1m ) ( x m2 + x 2m ) = g( y )
其中
g ( y是 )
y = x + x 1 的m次多项式
下面我们就7次以下的倒数方程讨论这两类倒数方程的求解方法。 设标准型6次倒数方程为： a 0 x 6 + a1 x 5 + a 2 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = 0 用 整理得：