例题解答(区间估计与假设检验)
管理定量分析区间估计假设检验
区间估计
1. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径X 服从正态分布()2,σμN ，其中2σ=0.05。
μ未知，从某一天的产品中随机抽出6个，测得直径如下（单位mm ）:
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1
试求滚珠直径X 的均值μ的置信度为95%的置信区间。
2. 估计某化工厂的产品A 的平均日产量，现有n=50天的记录，日产量的平均数为x =871.8吨，标准差21=s 吨。
（1） 估计平均日产量。
（2） 求置信度为90%的置信区。
3. 需要估计某损耗品的平均寿命的期望值。
假设总体寿命的标准差是6个月，抽取100个用户的简单随机样本集经验数据，知样本的平均寿命是21个月。
要求在95%的置信度下，做区间估计。
4. 某福利部门想估计所服务地区内700个贫困户的年均收入， 抽取了50户的一个简单样本，计算得样本的年收入平均值为4800元，样本的标准差是500元。
请计算这700户的年平均收入的估计区间。
要求落入这个区间的置信度为90%。
5. 从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（毫米）为
19.7 20.1 19.8 19.9 20.2 20.0 19.9 20.2 20.3
设零件直径服从正态分布()2,σμN 。
（1） 已知σ=0.21毫米，求这批零件直径的均值μ对应于置信概率0.95及0.99的置信区
间。
（2） 设未知σ，求这批零件直径的均值μ对应于置信概率0.95的置信区间。
实验三 用EXCEL进行参数估计和假设检验
实验三用EXCEL进行参数估计和假设检验一、用EXCEL进行区间估计数据：某百货公司6月份各天的销售额数据如下：（单位：万元）求在概率90％的保证下，顾客平均消费额的估计区间。
参数估计数据及结果：从上面的结果我们可以知道，该月平均销售额的置信下限为270。
23，置信上限为277.97。
二、用EXCEL进行假设检验例题1:假设有A、B两个品牌的电池,现分别从这两个品牌电池中随机抽取10只进行检测,获得下表数据。
它们的使用寿命方差相等为30,试问在0。
1的显著性水平下，可否认为两个品牌的平均使用寿命存在显著差异?据上，提出原假设:A、B两个品牌的电池使用寿命不存在显著差异，备择假设：A、B两个品牌的电池使用寿命存在显著差异。
进行Z检验—双样本平均差检验：得如下所示结果：此次检验属于双尾检验，P=01101282872 > 显著性水平0.1,所以在0。
1的显著性水平下不能拒绝原假设，即可以认为两个品牌的平均使用寿命不存在显著性差异。
例题2：用某种药物治疗9例再生障碍性贫血患者,治疗前后患者血红蛋白变化的数据如下表所示。
问在0。
05的显著性水平下，能否认为这种药物至少可以使血红蛋白数量增加15个单位?提出原假设：这种药物不能使患者血红蛋白至少增加15个单位；备择假设：这种药物可以使患者的血红蛋白至少增加15个单位。
由于总体平均差已知，选用t-检验：平均值的成对二样本分析：得结果如下：由于显著性水平为0.05大于P值0.00037558，因此要拒绝原假设，即可以认为这种药物至少能使血红蛋白数量增加15个单位。
例题3：某研究所试验出一批新品种，想知道新品种产量是否比老品种产量有显著提高,随机抽取新老品种产量各9个，数据如下（单位:千克）.试问，在0.05的显著性水平下,可否认为新品种比老品种的产量有显著提高？据条件，提出原假设：新品种比老品种产量没有显著提高;备择假设：新品种比老品种产量显著提高。
得出t检验：双样本异方差分析结果如下:在显著性水平为0.05的单侧检验下，P值为0。
实验四区间估计与假设检验
实验4 区间估计与假设检验利用样本对总体进行统计推断，主要有两类问题：一类是估计问题，另一类是检验问题。
参数估计是根据样本的统计量来对总体的参数进行估计，假设检验则是利用样本的统计量来检验事先对总体参数或分布特性所作的假设是否正确。
利用SAS软件中的INSIGHT模块和“分析家”功能以及编程的方法，均可以在不同的置信水平下求出总体参数的置信区间，在不同的检验（显著）水平下对总体的参数和分布特性进行检验。
在对总体参数作区间估计和假设检验之前，常常需要判断总体分布是否为正态分布。
检验数据是否来自正态分布总体，应用中常用分布拟合图、QQ图、分布检验等方法。
4.1 实验目的掌握使用SAS对总体参数进行区间估计与假设检验方法，掌握使用SAS对总体分布情况进行判断以及正态性检验的方法。
4.2 实验内容一、用INSIGHT对总体参数进行区间估计与假设检验二、用“分析家”对总体参数进行区间估计与假设检验三、编程对总体参数进行区间估计与假设检验四、在INSIGHT和“分析家”模块中研究分布并使用UNIV ARIATE过程对总体分布进行正态性检验4.3 实验指导一、用INSIGHT对总体参数进行区间估计与假设检验【实验4-1】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中抽取16只，测得其寿命如表4-1（sy4_1.xls）所示：表5-1 某种灯泡的寿命（单位：小时）1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470求该灯泡平均使用寿命90%、95%及99%的置信区间，并指出置信区间长度与置信水平的关系。
假设上述数据已存放于数据集Mylib.sy4_1中，如图4-1所示，变量sm表示灯泡寿命。
实验步骤如下：(1) 启动INSIGHT模块，并打开数据集Mylib.sy4_1。
(2) 选择菜单“Analyze（分析）”→“Distribution(Y)（分布）”。
统计学R上机4,区间估计与假设检验（4）
统计学R上机4,区间估计与假设检验（4）4、区间估计和假设检验1⼀个总体的均值的区间估计1.1单个总体均值的区间估计：正态分布，标准差已知zsum.test(mean.x, sigma.x = NULL, n.x = NULL, mean.y = NULL, sigma.y = NULL, n.y = NULL, alternative = c("two.sided", "less“, "greater"), mu = 0, conf.level = 0.95)例6.2：library(PASWR2)zsum.test(2500, sigma.x = 100, n.x = 9, conf.level = 0.95)c(2500-qnorm(0.025,lower.tail=F)*100/sqrt(9),2500+qnorm(0.025,lower.tail=F)*100/sqrt(9))例6.3library(PASWR2)zsum.test(39.5, sigma.x = 7.2, n.x = 36, conf.level = 0.99)1.2单个总体均值的区间估计：正态分布，标准差未知利⽤t分布公式：例6–4library(PASWR2)tsum.test(mean.x=2500, s.x = 100, n.x = 9, conf.level = 0.95)c(2500-qt(0.05/2, 8,lower.tail = F)*100/sqrt(9),2500+qt(0.05/2, 8,lower.tail = F)*100/sqrt(9))例6–5library(PASWR2)tsum.test(mean.x=39.5, s.x = 7.2, n.x = 36, conf.level = 0.99)1.3⼤样本下均值的区间估计例6–6library(PASWR2)zsum.test(mean.x=3319, sigma.x = 3033.4, n.x = 250, conf.level = 0.98)2两个总体的均值差的区间估计2.1两总体均值差的区间估计：⽅差已知例6–7library(PASWR2)zsum.test(mean.x, sigma.x = NULL, n.x = NULL, mean.y = NULL, sigma.y = NULL, n.y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, conf.level = 0.95, ...)zsum.test(mean.x=22, sigma.x = sqrt(10), n.x = 25, mean.y = 20, sigma.y = sqrt(10), n.y = 16, conf.level = 0.95)2.2两总体均值差的区间估计：⽅差未知但相等例6.8library(PASWR2)tsum.test(mean.x, s.x = NULL, n.x = NULL, mean.y = NULL, s.y = NULL, n.y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, ...)tsum.test(mean.x=22, s.x = sqrt(9), n.x = 25, mean.y = 20, s.y = sqrt(10), n.y = 16, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)2.3⼤样本下两总体均值差的区间估计例6.9library(PASWR2)zsum.test(mean.x=650, sigma.x = 120, n.x = 50, mean.y = 480, sigma.y = 106, n.y = 50, conf.level = 0.95)3总体⽐例的区间估计例6.10library(PASWR2)zsum.test(mean.x=0.9, sigma.x = sqrt(0.9*0.1), n.x = 100, conf.level = 0.95)#⽤prop.test(x,n,p)函数可以算出更准确的值：prop.test(90, 100, conf.level = 0.95)4两总体⽐例差的区间估计例6.11library(PASWR2)zsum.test(mean.x=0.48, sigma.x = sqrt(0.48*0.52), n.x = 5000, mean.y = 0.6, sigma.y = sqrt(0.6*0.4), n.y = 2000, conf.level = 0.9)5正态总体⽅差的区间估计例6.12c(14*1.65^2/qchisq(0.05,14,lower.tail = F),14*1.65^2/qchisq(0.95,14,lower.tail = F))6两个正态总体⽅差⽐的区间估计例6.13c(64/49/qf(0.01,24,15,lower.tail=F), 64/49/qf(0.01,24,15))7样本容量的确定例6.14qnorm((1-0.9545)/2, lower.tail = F)^2*25^2/5^28⼀个总体均值的假设检验8.1正态总体均值的假设检验：⽅差已知Z检验：zsum.test(mean.x, sigma.x = NULL, n.x = NULL, mean.y = NULL, sigma.y = NULL, n.y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, conf.level = 0.95, ...)例7.1 :library(PASWR2)zsum.test(mean.x=245, sigma.x = 6, n.x = 30, alternative = "two.sided", mu = 240, conf.level = 0.95)例7.2library(PASWR2)zsum.test(mean.x=245, sigma.x = 6, n.x = 30, alternative = "greater", mu = 240, conf.level = 0.95)直接使⽤样本数据作假设检验：z.test(x, sigma.x = NULL, y = NULL, sigma.y = NULL, sigma.d = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, conf.level = 0.95, ...)例：x<-rnorm(100);z.test(x, sigma.x = 1, alternative = "two.sided", mu = 0, conf.level = 0.95)8.2正态总体均值的假设检验：⽅差未知t检验例7.3library(PASWR2)mid<-148.5:151.5; f<-c(10,20,50,20); x_bar=weighted.mean(mid,f) tsum.test(mean.x=x_bar, s.x = sqrt(0.7677), n.x = 100, alternative = "greater", mu = 150, conf.level = 0.95)直接使⽤样本数据作假设检验：t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, ...)mid<-148.5:151.5f<-c(10,20,50,20)x<-rep(mid,f)t.test(x, alternative = "greater", mu = 150, conf.level = 0.95)例7.4 :x<-c(202, 209, 213, 198, 206, 210, 195, 208, 200, 207)t.test(x, alternative = "greater", mu = 200, conf.level = 0.95)8.3⼤样本总体均值的假设检验例7.5library(PASWR2)zsum.test(mean.x=510, sigma.x = 8, n.x = 50, alternative = "greater", mu = 500, conf.level = 0.95)9两总体均值之差的假设检验9.1两总体均值之差的假设检验：⽅差已知例7.6library(PASWR2)zsum.test(mean.x=22, sigma.x = sqrt(10), n.x = 25, mean.y = 20, sigma.y = sqrt(10), n.y = 16, alternative = "two.sided", mu = 0, conf.level = 0.95)9.2两总体均值之差的假设检验：⽅差未知但相等两总体t检验例7.7：tsum.test(mean.x=22, s.x = sqrt(9), n.x = 25, mean.y = 20, s.y = sqrt(8), n.y = 16, alternative = "greater", mu = 0, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)两总体t检验例:在平炉上进⾏⼀项试验以确定改变操作⽅法的建议是否会增加钢的得率。
SAS习题集区间估计与假设检验
SAS习题集区间估计与假设检验
1.质检部门从仓库中随机抽取50袋A型麦片测定其蛋白质含量（%），调查结果见下表。
试
2.正常人的脉搏平均为72次/分，现测得10位中毒患者的脉搏如下：
54,67,68,78,70,66,68,71,66,69
问：中毒患者与正常人的脉搏有无显著性差异？
3.
4.药厂制剂车间用自动装瓶机封装药业，在装瓶机工作正常时，每瓶药液净重500克。
某日随机抽取了10瓶成品，称重为：504,498,496,487,509,476,482,510,469,472。
问这时的瓶装机工作是否正常。
5.观察10名同尿病患者在服用药物A后，分析半小时内病人的血糖（mmol/L）是否有显著变化，下表为对10名患者的观测结果。
6.对来自A和B两个产地的产品C的合格率进行抽样调查，现统计了10个批次的产品的合格率（%）数据，如下表所示。
试对该数据进行假设检验分析，以判断来自两个产地的产品合格率是否有显著差异。
区间估计与假设检验
区间估计与假设检验本讲自测（占一定期末成绩）1【单选题】在均数为μ，方差为σ^2的正态总体中随机抽样，每组样本含量n相等，z=(X-μ)/σx，则z≥1.96的概率是A、P＞0.05B、P≤0.05C、P≥0.025D、P≤0.025正确答案：D 我的答案：C得分：0.0分2【单选题】下列 ______公式可用于估计95%样本均数分布范围。
A、±1.96SB、±1.96C、μ±1.96D、±t0.05正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分3【单选题】将同类高血压病患者若干随机分成两组，一组给予传统医疗方法，另一组给予新医疗方法，以各组治疗前后血压的平均下降值为指标，比较两种医疗方法的效果。
关于该研究的设计要求，下列除以____外A、两组受试对象相同B、两组治疗方法不同C、两组治疗效果不同D、两组观察指标相同正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分4【单选题】抽样误差主要指：A、个体值和总体参数值之差B、个体值和样本统计量值之差C、样本统计量值和总体参数值之差D、样本统计量值和样本统计量值之差E、总体参数值和总体参数值之差正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分5【单选题】假设检验的一般步骤中不包括以下哪一条?A、选定检验方法和计算检验统计量B、确定P值和作出推断性结论C、对总体参数的范围作出估计D、计算P值E、建立假设和确定检验水准正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分6【单选题】要减少抽样误差，最切实可行的方法是?A、增加观察对象（样本含量）B、控制个体变异C、遵循随机化原则抽样D、严格挑选研究对象正确答案：A 我的答案：A得分：3.3分7【单选题】下面哪一指标较小时可说明用样本均数估计总体均数的可靠性大？A、变异系数B、标准差C、标准误D、极差E、四分位数间距正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分8【单选题】在标准差与标准误的关系中，A、二者均反映抽样误差大小B、总体标准差增大时，总体标准误肯定也增大C、样本例数增大时，样本标准差和标准误都减小D、可信区间大小与标准差有关，而参考值范围与标准误有关E、总体标准差一定时，增大样本例数会减小标准误正确答案：E 我的答案：E得分：3.3分9【单选题】两样本比较作z检验，差别有统计学意义时，P值越小说明?A、两样本均数差别越大B、两总体均数差别越大C、越有理由认为两总体均数不同越有理由认为两样本均数不同正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分10【单选题】标准误越大，则表示此次抽样得到的样本均数?A、系统误差越大B、可靠程度越高C、抽样误差越大D、可比性越差E、代表性越好正确答案：C 我的答案：C得分：3.3分11 【单选题】要减小抽样误差，通常的做法是（）。
统计学习题区间估计与假设检验
第五章抽样与参数估计一、单项选择题1、某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。
为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。
下列说法中错误的是（ B ）A、样本容量为10B、抽样误差为2C、样本平均每袋重量是估计量D、498是估计值2、设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都服从或近似服从趋近于（ D ）A、N（100，25）B、N（100，5/n）C、N（100/n，25）D、N（100，25/n）3、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（ C ）A、一半B、一倍C、三倍D、四倍4、在其他条件不变时，置信度（1–α）越大，则区间估计的（ A ）A、误差范围越大B、精确度越高C、置信区间越小D、可靠程度越低5、其他条件相同时，要使抽样误差减少1/4，样本量必须增加（ C ）A、1/4B、4倍C、7/9D、3倍6、在整群抽样中，影响抽样平均误差的一个重要因素是（ C ）A、总方差B、群内方差C、群间方差D、各群方差平均数7、在等比例分层抽样中，为了缩小抽样误差，在对总体进行分层时，应使（ B ）尽可能小A、总体层数B、层内方差C、层间方差D、总体方差8、一般说来，使样本单位在总体中分布最不均匀的抽样组织方式是（ D ）A、简单随机抽样B、分层抽样C、等距抽样D、整群抽样9、为了了解某地区职工的劳动强度和收入状况，并对该地区各行业职工的劳动强度和收入情况进行对比分析，有关部门需要进行一次抽样调查，应该采用（ A ）A、分层抽样B、简单随机抽样C、等距（系统）抽样D、整群抽样10、某企业最近几批产品的优质品率分别为88%，85%，91%，为了对下一批产品的优质品率进行抽样检验，确定必要的抽样数目时，P 应选（ A ）A、85%B、87.7%C、88%D、90%二、多项选择题1、影响抽样误差大小的因素有（ ADE ）A 、总体各单位标志值的差异程度B 、调查人员的素质C 、样本各单位标志值的差异程度D 、抽样组织方式E 、样本容量2、某批产品共计有4000件，为了了解这批产品的质量，从中随机抽取200件进行质量检验，发现其中有30件不合格。
区间估计,假设检验-5页word资料
一、区间估计补充作业：1、 已知某总体X 服从正态分布)3.7,(2μN ，现抽取一个容量为49的样本，其 样本均值8.28=x ，试求05.0=α和01.0=α的μ的置信区间。
μ的置信度为0.95的置信区间为)8.30,8.26(。
μ的置信度为0.99的置信区间为)48.31,12.26(。
2、某商店购进一批包装糖果，现从该批糖果中随机抽取8包检查重量，检查结果如下：（单位：克）502，505，499，501，498，497，499，501，已知这批包装糖果的重量服从正态分布，试求该批包装糖果平均重量的置信区间。
（05.0=α）μ的置信度为0.95的置信区间为)38.502,12.498(。
3、 设某工厂生产的元件长度X 服从正态分布),(2σμN ，（单位：mm ）现从该厂元件中抽取一个容量为10的样本，其样本均值97.9=x ，样本均方差09.0=s ，试求该厂生产的元件长度方差2σ的置信区间。
（05.0=α） 方差2σ的置信度为α-1的置信区间为4、已知某总体X 服从正态分布)9,(μN ，现测得一组样本值为 3.3，-0.3,-0.6,-0.9。
求μ的置信度为0.95的置信区间。
5、设某大学城男生100米短跑的成绩X 服从正态分布),(2σμN ，先从该大学城男生中随机抽取30名，测试100米短跑的成绩，得到样本均值为13.8秒，样本标方差为1.5秒，试求μ的置信区间。
（05.0=α）。
6、对某种型号的汽车随机抽查100辆，记录其每5升汽油的行驶里程（单位：千米），算得这100辆汽车每5升汽油的平均行驶里程为29.2千米，根据以往经验，该型号汽车每5升汽油的行使里程的标准差为1千米，求该型号汽车每5升汽油平均行驶里程的置信度为0.99的置信区间。
该型号汽车每5升汽油平均行驶里程μ的置信度为0.99的置信区间为)45.29,94.28(。
二、假设检验补充作业：（7~10双侧、11~14单侧）7、某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准每袋净重0.5公斤，设包装机称得的糖重服从正态分布，且根据长期的经验知其标准差015.0=σ（公斤），为检验包装机的工作是否正常，现随机抽取9袋，测得数据如下：0.497， 0.506， 0.518， 0.524， 0.488， 0.511， 0.510， 0.515， 0.512问这天包装机的工作是否正常？（05.0=α）。
医学统计学第5讲 区间估计和假设检验
H0假设比较简单、明确，且在该假 设前提下其分布有规律可寻。而H1假设 包含的情况比较复杂。因此，检验是针 对H0分布进行的。 统计学上，将“拒绝H0 ，接受H1”称为有 统计学意义；“不拒绝H0”称为无统计学 意义。
情形1
两均数比较
H0：两总体均数相等，即1=2
H1： 1 > 2（ 1 ≠ 2 ）
计算检验统计量即计算样本与所假设总体 的偏离。 计算概率P值即与统计量t值对应的概率。 一个样本按某一检验方法只能得出一个P 值，但供研究者用来界定此P值的α水准却 有多个。
步骤4：作出推断结论
P ，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义
P> , 不拒绝H0，差异无统计学意义
统计结论≠专业结论 P值越小≠差别越大
假设检验的正确应用
• 假设检验是建立在样本随机客观的基础 上的。 • P值的含义： P值表明以多大的误差拒绝H0 ，接受H1。 • Significant的含义。 • 检验水准在假设检验结论中的意义。 按误差不超过 % 的条件拒绝 H ;接受H1
0
假设检验与参数估计的关系 区别：目标不同，对问题的直接回 答也不同
1） 未知，且n较小
( X t / 2, S X , X t / 2, S X )
例：对某人群随机抽取20人，用某批号的结核菌素 做皮试，平均直径为10.9mm,标准差为3.86mm，问 这批结核菌素在该人群中使用，皮试直径的95%可 信区间？ n=20, =20-1=19, =0.05
假设检验的基本思想
• 提出一个假设 • 如果假设成立，得到现有样本的可能性
– 可能性很小（小概率事件），在一次试验中 本不该得到，居然得到了，说明我们的假设 有问题，拒绝之。 – 可能性较大（不是小概率事件），即有可能 得到手头的结果，故根据现有的样本无法拒 绝事先的假设（没理由）
区间估计和假设检验
说明这个区间估计的可靠性为95%.
对于同一总体和同一抽样规模来说
①所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性形
成正比.
② 区间大小所体现的是估计的精确性,区间越大,精确
性程度越低,区间越小精确性越高,二者成反比.
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3
③ 从精确性出发,要求所估计的区间越 小越好,从把握性出发,要求所估计的区间越大 越好,因此人们总是需要在这二者之间进行平 衡和选择.
Z(0.05/2)=1.96
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16
然后根据样本数计算统计值:
公式为:
Z= X—μ = 220—210 = 6.67
S/√n
15/√100
由于Z=6.67＞Z (0.05/2) =1.96 所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即
从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月 相比有变化.
精选可编辑ppt
P≤
0 .1 0 0 .0 5 0 .0 2 0 .0 1
│ Z│ ≥
一端
二端
1 .2 9
1 .6 5
1 .6 5
1 .9 6
2 .0 6
2 .3 3
2 .3 3
2 .5 8
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7
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为:
P±Z（1－α）
P（1—p） n
这里，P为样本的百分比 。 例题：
为了验证这一假设是否可靠,我们抽取100 人作调查,结果得出月平均收入为220元,标准 差位15元.
显然,样本的结果与总体 结果之间出现了 误差,这个误差是由于我们假设错误引起的,还 是由于抽样误差引起的呢?
如果是抽样误差引起的,我们就应该承认
实训三 置信区间估计与假设检验应用实训
实训三 置信区间估计与假设检验应用实训一、实训目的掌握Excel 软件中假设检验方法（单样本t 检验）及置信区间应用二、实训内容在正常生产情况下，某厂生产的一种无缝钢管服从正态分布。
从某日生产的钢管中随机抽取10根，测得其内径分别为：53.8、54.0、55.1、54.2、52.1、54.2、55.0、55.8、55.4、55.5（单位：mm ）（一）区间估计请建立该批无缝钢管平均内径95%的置信区间？ 解：虽然总体方差未知，但总体服从正态分布，所以样本均值x 的抽样分布服从正态分布。
根据抽样结果计算得：x =∑x in i=1n=(53.8+54.0+55.1+54.2+52.1+54.2+55.0+55.8+55.4+55.5)/10 =54.51(mm)已知，n=10,1-α=95%，所以α=0.05，t α2⁄(9)= t 0.025(9)=2.262 s=√∑(x i −x̅)2n i=1n−1=√10.78910−1=1.094887(mm) x ±t α2⁄√n =54.61±2.262×√10=54.61±0.783181即(53.82682，55.39318)，该批无缝钢管平均内径95%的置信区间为 53.82682 ~ 55.39318mm 。
（二）假设检验若该日无缝钢管的内径服从均值为54mm 的正态分布。
试在5%的显著性水平下检验该日产品的生产是否正常？解：依据题意,建立如下原假设与备择假设：H 0：μ=54 H 1：μ≠54由(一)问知，x =54.51(mm)，s=1.094887(mm)，t=x̅−μ0s √n ⁄=1.094887/√10=1.472994因为t=1.472994<t 0.025(9)=2.262，所以不拒绝原假设，样本提供的证据还不足以推翻原假设。
（三）用P 值检验对第（二）题的假设检验采用P 值检验方法进行检验具体步骤如下：1、进入Excel 表格界面，点击插入函数命令。
(完整word版)例题解答(区间估计与假设检验)
[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。
他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。
假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。
解： 因为，)1(~--n t nS X μ， 所以，αμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--1)1()1(22n t n S X n t P 于是，总体平均压力μ的α-1置信区间为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)1(),1(22n t n s x n t n s x αα 由题意知，9=n，62.3=x ，45.01=-n s ，99.01=-α3554.3)8()1(005.02==-t n t α，代入上式，得总体平均压力μ的99%置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-3554.3945.062.3,3554.3945.062.3=[3.12, 4.12][例题]：一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数，他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本。
样本均值如下：第一家4500；第二家3250元。
根据以往资料数据可知两个总体服从方差分别为2500和3600的正态分布。
试求总体均值之差的置信度为0.95时的置信区间。
解： 因为，)1,0(~)()(2221212121N n n X X σσμμ+---，所以，ασσμμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+---≤-1)()(222212121212z n n X X z P 于是，21μμ-的α-1置信区间为，()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--222121221222121221,n n z x x n n z x x σσσσαα 由题意知，2521==n n ，45001=x ，32502=x ，250021=σ，360022=σ，95.01=-α96.1025.02==z z α，代入上式，得21μμ-的95%置信区间为[1219.4, 1280.6][例题]：某厂生产日光灯管。
参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断
答 ：极有可能是第一箱.
例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用最大似然法求 p 的估计值. 解 总体 X 的概率分布为 1− x x P ( X = x) = p (1 − p ) , x = 0,1 设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值, 则 P ( X 1 = x1 , X 2 = x2 ,, X n = xn )
ˆ矩 = X 解 µ
2 ˆ σ 矩
1 n 2 2 = ∑ Xi − X n i =1
例3 设总体 X ~ E(λ), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求λ的矩法估计量。 1 1 E ( X ) = 解 令 X = λ λ ∧ 1 ˆ = 故 λ 矩
X
14
例4 设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中 随机地抽取了10只灯泡，测得其寿命为 (单位：小时)： 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的标准差. 解
n n
=p
∑x
i =1
i
(1 − p)
n−
∑x
i =1
i
= L( p) xi = 0,1, i = 1,2,, n
19
对于不同的 p , L (p)不同, 见下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2
p ˆ
p 0.4 0.6 0.8 1
现经过一次试验， 事件
( X 1 = x1 , X 2 = x2 ,, X n = xn )
10
事实上，按矩法原理，令
1 X = n
区间估计和假设检验习题
区间估计和假设检验习题
1、一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。
现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋平均重量为105.36。
已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。
试估计该批产品平均重量的区间范围，=95%
2、某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。
试以F(t)=95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。
3、某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为μ=0.081mm，总体标准差为0.025mm。
今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。
试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（α＝0.05）
4、根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布N~(1020，1002)。
现从最近生产的一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。
试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？(α＝0.05)
5、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。
1、
2、
3、
4、
5、。
假设检验与区间估计的联系
u
2
)
n
n
n
取 k u
2n
所以本检验的拒绝域为
u u
2
u 检验法
u 检验法 (2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其
H0
H1
H0为真时的分布
0 0 0 < 0
u X 0 / n
~ N ( 0 ,1 )
拒绝域
u u
2
u u
0 > 0
u u
t 检验法 (2 未知)
即甲乙两地岩心磁化率方差有显著差异.
假设检验与区间估计的联系
同一函数
假 统计量
设
检 拒绝域
验
统计量 区 间
置信区间 估
计
1
对偶关系
THE END
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
2 1
解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2
取统计量 t XY ~t(nm2)
1nm1Sw
拒绝域 ： tt0.05(116)1.658
统计量值 t01.9121.658. 落在拒绝域内,
故拒绝H0 即两种疗法的平均疗程有显著差异.
六、两个正态总体方差的检验
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
四正态总体方差的检验和区间估计是一个大概率事件在某个范围内摆动这进而附近摆动所以因为个小概率事件在某个范围外取值是一反之为真时的分布拒绝域检验法置信度为1的置信区间五两个正态总体均数的检验相互独立样本为真时的分布拒绝域其中原假设为真时的分布拒绝域用两种方法治疗某种类型的精神病从疗法1的65个病例的记录得到平均疗程为123天均方差21天
数理统计第五章假设检验 5.3假设检验和区间估计
10
5.3 假设检验与区间估计
由单参数假设检验问题的水平为的双边检验， 可以得到该参数的置信系数为1-的置信区间. 反之亦然.
5.3.2 如何由置信区间得到假设检验 用某种方法建立了的置信水平为1 的区间估计
ˆ , ˆ ], 对给定的 ，可以求出检验问题 [ 1 2 0
H 0: 0；H1 : 0
(m 1) S (n 1) S 其中S mn2
2 2 1
2 2
8
即
|Y X | 0 P tm n 2 ( / 2) H 0 1 1 1 Sw m n
1 1 1 1 P Y X S t ( / 2) Y X S t ( / 2) 1 w m n2 0 w m n 2 m n m n
3
由于上述不等式是在条件H 0成立，即 0时获得的， 因此将0用 代替是等价的
S S X tn 1 ( / 2) X tn 1 ( / 2) n n
S S 则 X tn 1 ( / 2)，X tn 1 ( / 2) n n 为的置信系数为1 的置信区间.
情形下均值的单边检验问题 H 0 : 0 ; H1 : 0
水平为的检验的接受域为
因此
即
( X 1 , X 2 , n ( X 0 ) , Xn) : tn 1 ( ) S
n ( X 0 ) P tn1 ( ) H 0 1 S
由于上述不等式是在条件H 0成立，即 0时获得的， 因此将0用 代替是等价的
1 1 1 1 Y X Swtm n2 ( / 2) Y X Swtmn2 ( / 2) m n m n 1 1 1 1 则 Y X Swtm n2 ( / 2) ，Y X S wtm n2 ( / 2) m n m n 为的置信系数为1 的置信区间. 9
4.2.2参数的假设检验与区间估计
由查表知，若 P t t0.025 0.05,
t0.025 2.447, 从而拒绝域为 t 2.447.
计算样本均值和无偏均方差.
1 7 X xi 13.94, 7 i 1
1 7 S Xi X 6 i 1
2
0.486.
于是
13.94 14.2 t 1.415, 0.486 / 7
由于
查t分布的分位数表使λ满足
于是μ的95%的置信区间为
3. 正态总体的方差检验和区间估计
2 类型3 -检验法
此部分内容作为选讲.
解
查标准正态分布表 u0.025 1.96,
将数据 n 9, x 106.1, 0 1.5, u0.025 1.96,
0 0 u /2 , X u /2 ). 代入 ( X n n
得 (105.12,107.08),
(105.12,107.08), 所以 的置信度为95%的置信区间为
即在已知 1.5 情形下, 可以95%的置信度认为这批
产品的重量在105.12斤到107.08斤之间.
(2) 总体方差未知
对于类型2， 的置信度为 1 的置信区间为
S S t /2 , X t /2 X n n
1 n 其中 S X i X n i 1
量分别为 14.5 , 14.1 , 14 , 13.2 , 13.8 , 14.5 , 13.5
试以显著水平 0.05，检验这批产品质量是否合适
（指这批产品均重为 14.2 ）. 解
H0 : 14.2.
由于方差 2 未知，故采用t-检验法。 X 14.2 t t 6
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[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。
他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。
假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。
解： 因为，
)1(~--n t n
S X μ
， 所以，αμαα-=⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--1)1()1(22n t n S X n t P 于是，总体平均压力μ的α-1置信区间为，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--
)1(),1(22n t n s x n t n s x αα 由题意知，9=n
，62.3=x ，45.01=-n s ，99.01=-α
3554.3)8()1(005.02
==-t n t α，
代入上式，得总体平均压力μ的99%置信区间为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-3554.3945.062.3,3554.3945.062.3
=[3.12, 4.12]
[例题]：一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数，他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本。
样本均值如下：第一家4500；第二家3250元。
根据以往资料数据可知两个总体服从方差分别为2500和3600的正态分布。
试求总体均值之差的置信度为0.95时的置信区间。
解： 因为，
)1,0(~)
()(2
22
1
21
2121N n n X X σ
σ
μμ+
---，
所以，ασσμμαα-=⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+---≤-1)()(22
2
212121212
z n n X X z P 于是，21μμ-的α-1置信区间为，
()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++-+--222
121221222121221,n n z x x n n z x x σσσσαα 由题意知，
25
21==n n ，
4500
1=x ，
3250
2=x ，
250021=σ，3600
2
2=σ，95.01=-α
96.1025.02
==z z α，代入上式，得21μμ-的95%置信区间为
[1219.4, 1280.6]
[例题]：某厂生产日光灯管。
以往经验表明，灯管使用时间为1600h ，标准差为70h ，在最近生产的灯管中随机抽取了55件进行测试，测得正常使用时间为1520h 。
在0.05的显着性水平下，判断新生产的灯管质量是否有显着变化。
解：
1600:=μo H ，1600:≠μa H
在Ho 成立条件下，
)1,0(~N n
X σ
μ
-，
于是，在α显着性水平下，Ho 的拒绝域为，
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-⋃⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=22αασ
μσμz n x z n x V ，
由题意知，70=σ，55=n ，1520=x ，05.0=α，96.1025.02
==z z α，
因为，
48.855
701600
1520-=-=
-n
x σ
μ
<－1.96，所以拒绝Ho 。
即样本数据表明日光灯管的质量有显着性改变（显着性水平0.05）。
如果问是否显着提高或降低，则需做单侧假设检验。
做单侧检验，1600:≤μo H ，1600:>μa H 检验统计量取值为，
48.855
701600
1520-=-=
-n
x σ
μ
在α显着性水平下，Ho 的拒绝域则为，
ασ
μ
z n
x >-
由题意，显然不能拒绝Ho 。
如果换一个方向做单侧检验，1600:≥μo H ，1600:<μa H 检验统计量取值为，
48.855
701600
1520-=-=
-n
x σ
μ
在α显着性水平下，Ho 的拒绝域变成为，
ασ
μ
z n
x -<-
由题意，拒绝Ho 。
即认为质量不比以前好（显着性水平0.05）。