例题解答(区间估计与假设检验)

[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。 解： 因为，

)1(~--n t n

S X μ

， 所以，αμαα-=⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--1)1()1(22n t n S X n t P 于是，总体平均压力μ的α-1置信区间为，

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+--

)1(),1(22n t n s x n t n s x αα 由题意知，9=n

，62.3=x ，45.01=-n s ，99.01=-α

3554.3)8()1(005.02

==-t n t α，

代入上式，得总体平均压力μ的99%置信区间为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-3554.3945.062.3,3554.3945.062.3

=[3.12, 4.12]

[例题]：一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数，他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本。样本均值如下：第一家4500；第二家3250元。根据以往资料数据可知两个总体服从方差分别为2500和3600的正态分布。试求总体均值之差的置信度为0.95时的置信区间。 解： 因为，

)1,0(~)

()(2

22

1

21

2121N n n X X σ

σ

μμ+

---，

所以，ασσμμαα-=⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+---≤-1)()(22

2

212121212

z n n X X z P 于是，21μμ-的α-1置信区间为，

()()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡++-+--222

121221222121221,n n z x x n n z x x σσσσαα 由题意知，

25

21==n n ，

4500

1=x ，

3250

2=x ，

250021=σ，3600

2

2=σ，95.01=-α

96.1025.02

==z z α，代入上式，得21μμ-的95%置信区间为

[1219.4, 1280.6]

[例题]：某厂生产日光灯管。以往经验表明，灯管使用时间为1600h ，标准差为70h ，在最近生产的灯管中随机抽取了55件进行测试，测得正常使用时间为1520h 。在0.05的显着性水平下，判断新生产的灯管质量是否有显着变化。 解：

1600:=μo H ，1600:≠μa H

在Ho 成立条件下，

)1,0(~N n

X σ

μ

-，

于是，在α显着性水平下，Ho 的拒绝域为，

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-⋃⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=22αασ

μσμz n x z n x V ，

由题意知，70=σ，55=n ，1520=x ，05.0=α，96.1025.02

==z z α，

因为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

<－1.96，所以拒绝Ho 。

即样本数据表明日光灯管的质量有显着性改变（显着性水平0.05）。 如果问是否显着提高或降低，则需做单侧假设检验。

做单侧检验，1600:≤μo H ，1600:>μa H 检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显着性水平下，Ho 的拒绝域则为，

ασ

μ

z n

x >-

由题意，显然不能拒绝Ho 。

如果换一个方向做单侧检验，1600:≥μo H ，1600:<μa H 检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显着性水平下，Ho 的拒绝域变成为，

ασ

μ

z n

x -<-

由题意，拒绝Ho 。即认为质量不比以前好（显着性水平0.05）。