2015概率期末试题

一、简单题（共40分，共4题，每题10分）

1. 做一系列独立试验，假设每次试验成功的概率为p （0

试验次数X 的分布律；（2）n 次成功之前已经失败次数Y 的分布律；（3）在n 次试验中成功次数Z 的分布律。 2. 假设总体服从正态分布(

)2

,σ

μN ，抽样后构造统计量对μ进行估计，下面哪些估计量是

无偏，哪个估计量最有效？为什么？

()()()()()212142

1321X X X X X X n ++

3. 设二维正态随机变量()⎪⎭

⎫

⎝⎛-

21;4,0;3,1~,22N Y X ，设bY X Z +=2，b 为实数，问X 与Z 在什么条件下相关？什么条件下不相关？ 4. 设m n X X X +,,,21 是来自总体(

)2

,0~σN X 的容量为n+m 的简单随机样本，问Y 1

及

Y 2服从什么分布？为什么？

∑∑∑∑++==++===

=

m

n n i i n

i i m

n n i i n

i i X n X m Y X n X m Y 12

12212

11,

二、（共15分）

甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品。现从甲箱中取两个产品放入乙箱，再从乙箱中任取一个产品，求：（1）从乙箱中取出为正品的概率；（2）若从乙箱中取得的为次品，求原来从甲箱中取出的都是正品的概率。

三、（共15分） 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时，它的密度

()⎩⎨

⎧≤≤+=其他,

05

.00,2x x x c x f （1）确定常数c; （2）写出X 的分布函数；（3）试求学生在10min 以上20min 以内完

成一道作业的概率。 四、（共10分）

已知总体X 服从几何分布{}()

,2,1,11

=-==-x p p x X P x ，其中p 为未知参数，

10<

五、（共10分） 已知某电子元件的长度服从正态分布，且方差为0.01。从一批次的产品中任取10个，测得012.02

=s ，则在显著性水平05.0=α下，这批次电子元件的精度（即标准差）是否

正常？(()()()()023.199,700.29,483.2010,247.3102

025.02

975.02

025.02

975.0====χχχχ)

六、（共10分） 在考察硝酸钠的可溶程度时，对一系列不同温度观察它在100毫升的水中溶解的硝酸钠的重量，得到一组观测值()9,,2,1,, =i y x i i ，计算得

6.24628,

1339.76218,

10144,

3.811,

2349

1

9

1

2

9

1

2

9

1

9

1

=====∑∑∑∑∑=====i i

i i i

i i

i i

i i

y

x y

x

y

x

从理论上推测，温度i x 与溶解的硝酸钠的重量i Y 之间有关系式：

9,,2,1, =++=i εbx a Y i i i

式中9,,2,1, =i εi 相互独立，均服从正态分布(

)2

,0σN

（1）求未知参数b a ,的最小二乘估计值和2

σ的无偏估计值；（2）检验线性回归是否显

著（01.0=α）？（结果保留四位有效数字）