浅谈地震频谱分析

n
2
在 cn
1 2
(an
jbn ) 中 cn 的相位
arg cn
arctan
bn an
(n
2
)
由 cn 可以完全确定 An 、n
则定义 cn 为有限区间[t0 , t0 T ] 上信号 x(t) 的离散频谱
cn 为有限区间[t0 , t0 T ] 上信号 x(t) 的离散振幅谱
arg cn 为有限区间[t0 , t0 T ] 上信号 x(t) 的离散相位谱。
叶级数为：
a0 [an cos(n0t) bn sin(n0t)] n1
（1）
式中 0
2 T
：基波频率
n0 ：n次谐波频率
a0
1 T
2
2
x(t)dt
an
2 T
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
bn
2 T
2
2
x(t) sin(n0t)dt
a0 ：信号的直流分量
an ：余弦分量的振幅
bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式，
将
l
T 2
带入原式得到（1）式
3、复数形式的傅里叶级数
由公式
sin(t)
1 2j
(e
jt
e
jt
)
cos(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)
得
sin(nt)
1 2j
(e
jnt
e
jnt
)
cos(nt)
1 2
x)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，表示为
f
(x) ~
1 2
a0
(an
n1
cos
n l
x bn
sin
n l
x)
二 狄里赫利条件
并非所有复杂信号都可以进行傅里叶变换，能够进行傅里叶变换的信号必须满足狄里 赫利条件。狄里赫利条件内容为：
设函数 f (x) 在[ , ] 区间满足条件：
（1） 除有限个第一类间断点外都是连续的。 （2） 只有有限个极值点。
周 期
an
2
f (x) cos nxdx
0
(n 0,1, 2)
函 数
bn 0
(n 1, 2)
傅
f (x) 为[0, ]上的非周期函数，令
里
叶 级 数
F
(
x)
f
( f
x) (
x)
0 x x 0
奇 则 F (x) 除 x 0 外在[ , ] 上为奇函数
延
拓
f (x) ~ bn sin nx
aa0n
A0 An
sin n
bn An cosn
由上式得
an2 bn2 An2 (sin2 n cos2 n ) An
（7）
an bn
An sin n An cosn
tann
所以， n
arctan
an bn
由 An 、n 可以确定n次谐波 An sin(n0t n )
cn 表示 cn 的模，即实部与虚部平方的和开根号
(e
jnt
e
jnt
)
用新系数表示
x(t) a0 [an cos(n0t) bn sin(n0t)] n1
a0
[an
n1
1 2
(e jn0t
e jn0t ) bn
1 2j
(e jn0t
e jn0t )]
a0
[( an n1 2
bn )e jn0t 2j
(
an 2
bn )e ] jn0t 2j
l f (x) cos n
0
l
xdx
bn 0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
以 2l 为周期，且 f (x) f (x)
奇
f (x) ~ bn sin nx
n1
函
数
f
(x)
~
bn
n1
sin
n l
x
an
bn
0 2
f (x) sin nxdx
0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
由此，便推导出地震波振幅谱和相位谱的计算公式，具体使用时还需注意细节。以上 是自己的认识，由于学识有限，可能存在认识上的错误，还需进一步学习提高。
——WHW 2014-3-4
a0
[( an n1 2
bn 2
j j2
)e
jn0t
(
an 2
bn 2
j j2
)e
jn0t
]
a0
[ an
n1
bn 2
j
e jn0t
an
bn 2
j
e
] jn0t
（2）
则（2）式表示为
c0 a0
cn
1 2
(an
jbn )
cn
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1 2
(an
jbn )
x(t) c0
cne jn0t
2 l
l f (x) cos n
0
l
xdx
bn 0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
f (x) 为[0, l] 上的非周期函数，令
F
(x)
f
(x) f (x)
0 xl l x0
则 F (x) 除 x 0 外在 [l,l]上为奇函数
f
(x)
~
bn
n1
sin
n l
x
an
bn
0 2 l
l f (x) sin n
0
l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
三 傅里叶分析与信号频谱
1、很多情况下，频域比时域有更强的物理意义：如光线的颜色由频率决定，声音音调的高 低由频率决定。
2、在地震系统中，周期为T的信号 x(t) x(x nT ) (n 0, 1, 2) 展为三角形式傅里
f (x) sin nxdx
(n 1, 2)
周
以 2 为周期，且 f (x) f (x)
期
函 数偶 傅函
f
(x)
~
1 2
a0
n1
an
cos nx
里 叶 级 数
数
an
2
f (x) cos nxdx
0
bn 0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
以 2 为周期，且 f (x) f (x)
x(t) A0 An sin(n0t n ) n1
（6）
或 x(t) B0 Bn cos(n0t n ) （将（1）式中所有三角函数用cos表示出来） n1
将（6）式展开
x(t) A0 [ An cosn sin(n0t) An sinn cos(n0t)] n1
将（7）式与（1）式对比
由 cn
1 2
(an
jbn )
得
cn
(
1 2
an
)2
(
1 2
bn
)
2
1 2
an2
bn2
1 2
An
由 cn
1 2
(an
jbn ) 得
cn
(
1 2
an
)2
(
1 2
bn
)2
1 2
an2
bn2
1 2
An
在 cn
1 2
(an
jbn )
中 cn
的相位
arg cn
arctan
bn an
arctan
bn an
T
，则（4）式变为
T
2
T 2
x(t)e jm0t dt
cn T
所以
cm
cn
1 T
T
2
T 2
x(t )e
jm0t dt
（5）
（5）式是计算复数形式的傅里叶级数系数公式。
6、上述傅里叶展开是一个周期信号
x(t
)
在[
T 2
,
T 2
]
区间内的展开，实际任意一个周期
[t0 , t0 T ] 上可以把 x(t) 展开成傅里叶级数形式
cos
nx
bn
sin
nx)
3、设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在[l, l]上可积，则以
为系数的三角级数
an
1 l
l l
f
(
x)
cos
n l
xdx
bn
1 l
l l
f
(x)
sin
n l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
1
2
a0
(an
n1
cos
n l
x bn sin
n l
n1
an
bn
0 2
f (x) sin nxdx
0
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
f (x) 为 [0, l] 上的非周期函数，令
F
(x)
f f
(x) (x)
0 xl l x0
则 F (x) 除 x 0 外在 [l,l]上为偶函数
f
(x)
~
1 2
a0
an
n1
cos
n l
x
an
c e jn0t n
n1
n1
cne jn0t
（3）
注：在实际中，频率只能取正，上式中n取负值， n0 为“负频率”是由复数引起的，从实
数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数，是由用复数表示正、余弦引起的。
5、上式中，
cn
为傅里叶级数的系数，对（3）式两边乘以
e
jn0t
，并从
T 2
到
T 2
积分
f
(x)
~
1 2
a0
(an
n1
cos
n l
x bn sin
n l
x)
an
1 l
l l
f
(x)
cos
n l
xdx
bn
1 l
l l
f
(
x)
sin
n l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
以 2l 为周期，且 f (x) f (x)
f
(x)
~
1 2
a0
an
n1
cos
n l
x
an
2 l
0
(n 0,1, 2)
bn
1
f (x) sin nxdx 1
2 f (x) sin nxdx
0
(n 1, 2)
2、以 f (x) 的傅里叶系数为系数的三角级数表示式
1
2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，表示为
f
(x)
~
1 2
a0
n1
(an
x(t) cne jn0t t [t0 , t0 T ] n
式中： 0
2 T
， cn
1 T
t0 T x(t)e jn0t dt
t0
四 离散频谱
1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为
sin(n0t
)
cos(n0t
2
)
cos(n0t
)
sin(n0t
2
)
所以它可以单独表示成不同相位角的 cos(n0t) 或 sin(n0t) 的级数，表示为
则 f (x) 的傅里叶级数在[ , ] 上收敛，且有
f (x), x是f的(x连) 续点
f
(x)
~
1 2
a0
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
1 2
[
f
( x0
0)
f
( x0
0)], x0是f的(x第) 一类间断点
1 2
[
f
(
0)
f
(
0)],
x
其中
f (x0
0)
lim
浅谈地震频谱分析
在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。
频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。
一 傅里叶级数
1、设 f (x) 是以 2 为周期的函数，且在[ , ] 或[0, 2 ] 上可积，则 f (x) 的傅里叶系数
为：
an
1
f (x) cos nxdx 1
2 f (x) cos nxdx
x x0
f (x) ，
f (x0
0)
lim
x x0
f (x)
周期与非周期函数傅里叶级数
以 2 为周期的函数 f (x)
以 2l 为周期的函数 f (x)
一 般
f
(x)
~
1 2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
函
数
an
1
f (x) cos nxdx
(n 0,1, 2)
bn
1
T
T
T
2 T
x(t)e jm0t dt
2
2
T 2
cne jn0t e jm0t dt cn
e dt 2 j(nm)0t
T 2
（4）
正交函数系 e jn0t (n 0, 1, 2) 对不同的n和m有
T
2
T 2
e
jn0t
(e
jm0t
) dt
0
T
所以，只有当n=m时，
2
T 2
e
dt j ( n m )0t
an
bn
0 2 l
l f (x) sin n
0
l
xdx
(n 0,1, 2) (n 1, 2)
f (x) 为[0, ]上的非周期函数，令
F
(
x)
f f
(x) (x)
0 x x 0
偶 则 F (x) 除 x 0 外在[ , ] 上为偶函数
延 拓
非
f
(x)
~
1 2
a0
n1
an
cos nx