第06章习题解答

6.6 物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是 50/mm。通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为 10cm，物距为 20cm，照明波长为 0.6μm 。为了使像面出现条纹，在相干照明 和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？ 解：要使像面上出现条纹，则必须至少使矩形波的基频分量通过系统，而矩形波的基频分量 的频率为 50mm 1 ，因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。 已知透镜焦距为 f 10cm ，物距 d 20cm ，则根据透镜成像关系
解：物体的频谱为： 1 1 1 T ( , ) F{t ( x, y )} ( , ) ( a , b ) ( a , b ) 2 4 4 其频谱如下图所示。
4
物体有三个频谱分量，在谱面上的位置分别 (0, 0), ( a ,b ), ( a , b ) 。要使像面上得到物体的 像，则必段要求这三个频率分量都通过系统，即系统的截止频率要都要大于这三个频率分量 中任何一个分量的频率。

hI ( xi , yi ) cos 2π( x y dxi dyi i hI ( xi , yi ) sin 2 π( x y dxi dyi

由于 hI ( xi , yi ) 是偶函数，正弦函数是奇函数，两者乘积也为奇函数，上式第二项积分为 零，所以，
其频谱图如下。由图中可见，物体有三个频率分量，与垂直入射 ( 0) 的情况相比，当光波 以 角倾斜入射时，物频谱沿 轴整体平移了 sin / 距离。
(2) 物的空间频谱仅包含 3 个频谱分量，其中每一个频谱分量代表某一特定方向的平面
波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，即 有条纹，至少要有两频谱分量通过系统。对于相干成像系统，其截止频率为：
f
所以
l l sin 4f 4f
max arcsin
l 4f
当 取该最大值时，只有两个频率分量通过系统，像的频谱为：
U ( , ) A sin 1 sin , 0 2 2
积和总面积 S0 同时增加一倍，两者比值保持不变。因而 H (0, ) 与单个正方形孔情况下沿 轴 的 OTF 相同，即有
H (0, ) tri 2 0
式中： 2 0
a 10 103 mm 1 200mm 1 。其截面图如右下图所示。 di 100 0.5
z 轴夹角为 。透镜焦距为 f ，孔径为 l 。
(1) 求物体透射光场的频谱。 (2) 使像平面出现条纹的最大 等于多少？求此时像面强度分布。 (3) 若 采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与 0 时截止频
率比较，结论如何？
解：(1) 倾斜单色平面光波入射，在物平面上产生的入射光场为 Aeik sin xo ，则物平面的透射光 场为：
这样，对单透镜系统，其截止频率为：
c
D 4f
对于右图的双透镜成像系统，因其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和
1
像方无限远处。又由于入瞳、孔径光阑与出瞳三者互为共轭，故对于这种放大率为 1 的系统， 能通过孔径光阑的最高空间频率，也必定能通过入瞳和出瞳。换言之，系统的截止频率可通 过孔径光阑的尺寸来计算。 为保证右图物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波，都毫无阻挡地通过光成 像系统，则要求相应的截止频率为：
doc D 1 0 dM 2 f (1 M ) 2
因此，只有当放大倍数 M 为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率，此截止频率为：
ocm ax lim
M D M 2 f 1 M 2 f
D
此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远，在物空间的通频带为：
D D 2f 2f
在 轴上， 0 ，根据重叠情况的变换，可分为四个区间进行讨论： 如左下图所示， 当 0 di | | a 或 0 di | | 2 0 时， 此时重叠区面积与总面积的比值与 单个孔的情况相同，因此
H ( , 0) tri 2 0
c
l 2 di

l 4 f
式中： l 为透镜直径； di 2 f 。因此选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内， 角才 能取尽量大的值。于是要求：
l sin c 4 f 用相干光照明 - l sin l 0 4 f 4 f 上列两式联解得：
其频谱为：
2
U ( , ) F{U ( xo , yo )}
sin 1 sin 1 sin A , 0 , , 0 2 2 2
6.5 一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长 a 1 cm，
两孔中心距 b 3 cm。若光波波长 0.5μm ，出瞳与像面距离 di 10 cm，求系统的 OTF，画 出沿 和 轴的截面图。
解：假定这是一个衍射受限的非相干成像系统。根据 OTF 的几何解释，光学传递函数为： H ( , ) S ( , ) S0
习题Hale Waihona Puke Baidu6 参考解答
6.1 下图所示为两个相干成像系统。所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为 D ， 双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径 l 应等于多大(相对于 D )写出关系式。
解：设物距为 d o ，像距为 di ，放大率为 M ，为使成实像时 M 为正，将像面坐标相对于物面 坐标反演，使倒像的影响不反映在 M 上。于是 M 可表示成：
1 1 1 f d di
可确定像距 di ，代入上述数值，有： di 20cm 对于相干照明系统，系统截止频率为：
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0
D 2 di
式中， D 为透镜直径； 0.6μm 。根据以上分析知，要使像面上出现条纹，则要求 D 50 ，即 D 100 di 12mm 2 di 对于非相干光照明，系统的频率分析是相对强度而言的。但由于物体的振幅透过率为矩 形波，强度透过率是振幅透过率的平方，因此同样是一个矩形波，基频还是 50mm 1 。非相干 成像系统截止频率为
1 U ( xo , yo ) Aeik sin xo t ( xo , yo ) Aeik sin xo (1 cos 2 π 0 xo ) 2 sin sin A 1 i2 πk 0 xo 1 i2 πk 0 xo eik sin xo Ae Ae 2 2 2
H I ( , ) hI ( xi , yi ) cos 2 π( x y dxi dyi

当 hI ( xi , yi ) 是实函数， H I ( , ) 也是实函数。归一化的光学传递函数等于调制传递函数： H ( , ) H I ( , ) H I (0, 0)
3
,
对应的复振幅分布为： A i2 π sin xi 1 i2 π U i ( xi , yi ) F {U ( , )} e e 2 2
1 sin

0 xi

则强度分布为：
I 2 ( xi , yi ) U i ( xi , yi ) A2 5 cos(2 π 0 xi ) 4 4
(1) 若采用圆形光阑，假设光阑直径为 D ，系统的截止频率为：
0
D 2 f
根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求
0 a2 b2
即要注
D 2 f a2 b2
(2) 若采用矩形光阑，假设其大小为 a b ，则系统截止频率为：
0 x
a 2 f
M
di di f do f
即有 di (1 M ) f 。此系统的光瞳函数是直径为 D 的圆形孔径，其截止频率与物像空间截止 频率 oc 的关系为： c
D 1 oc 。即有： 2 di M
oc =
MD MD 2 di 2 (1 M ) f
为求得当 oc 取最大值时的放大倍数 M ，将 oc 对 M 求导出并令其为零得：
7
6 0 H ( , 0) tri 2 0
如右下图所示，当 di | | b a 或 | | 8 0 时，光瞳完全错开，无重叠部分，即：
H ( , 0) tri 2 0
其沿 轴的光学传递函数截面图如下图所示。
(3) 当 取该最大值时，要求光栅频率满足如下关系
0
即要求： 0
l 4 f l 2 f

sin


l 4 f l 2 f ( max ) l 4 f
。或者说： max
当 0 时 ， 要 求 光 栅 频 率 我 大 于 系 统 截 止 频 率 ， 即 要 求 ： 0
c
l/2 l f 2 f
时，可以得到： l D / 2 当 c c
6.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为：
1 t ( xo ) (1 cos 2π 0 xo ) 2
放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在 xo z 平面内，与
d d d d 式中： S0 是光瞳面积； S ( , ) 是中心位于 i , i 和 i , i 的两个平移光瞳的 2 2 2 2
重叠面积。
6
d d 在 轴上， 0 。左下图表示中心在 0, i 和 0, i 的两个错开的光瞳。重叠面 2 2
如右下图所示，当 0 di | | b a ，因为 b 3 ，即 2 0 | | 4 0 时，两个孔相互错开， 重叠面积为零，因此
H ( , 0) 0
如左下图所示，当 b a di | | b a 或即 4 0 | | 8 0 时，只有一个孔发生重叠，但总 面积是两个孔的面积，因此 OTF 的大小只是第一种情况的一半，即
。或者说：
max
l 4 f
( 0)
可见，当采用 max 倾斜角的平面波照明时，系统的允许通过物光栅的频率比垂直照明 时提高一倍。
6.3 下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为： 1 t ( x, y ) [1 cos( a x b y )] 2 为了使像面能得到它的像，问：(1) 若采用圆开光阑，直径应大于多少？(2) 若采用矩形 光阑，各边边长就大于多少？
,0 y
b 2 f
根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求
0 x a ,0 y b
即要求 a 2 f a , b 2 f b
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6.4 当点扩散函数 hI ( xi , yi ) 成点对称时，证明 OTF 为实函数，即等于调制传递函数。
证明：已知点扩散函数 hI ( xi , yi ) 是实偶函数： H I ( , ) hI ( xi , yi )e i2 π ( x y ) dxi dyi