证明根号2为无理数的方法
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试证明是无理数.
2证明：易知是方程的一个根，设它有有理根
即2022
=-x ,a b )0(2≠=a a
b
先证明一个引理：若整系数方程：
0 (0221)
1=+++++--a ax x a x
a x a n n n n 有有理根
且互质，则有：)0(0≠⋅a a n p
q
0(≠pq q p ,) ，.
p a n q a 0 证明：把代入原方程，得：p
q
x =
，两边同乘，得:0 (02)
21
1=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a p q
a p q a p q a p q a n n n n n p .00
...0122211==
+++++----n
n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a
那么，由于，所以一定有，那么一定有：
0≠p 0p .
...0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++----
由于都满足被整除，那么有：，又因，所以有：
n
p p p ,...,,2p n
n q a p 1),(=q p .
n a p 同理，由于，所以一定有，那么一定有：
0≠q 0q .
...0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于都满足被整除，那么有：，又因，所以有：
n
q q q ,...,,2q n
p a q 01),(=q p .
q a 0回到原命题，由于，，所以方程的有理根
满足：0)2(1≠-⨯1)2,1(=-022
=-x a
b
，1a 2-b .22,1±=⇔
±=±=⇔a
b
b a 经检验，都不是方程的根，那么无有理根，即为无理数.
2±022
=-x 022
=-x 2
.
..D E Q