数学史(东方数学)

第4章印度与阿拉伯数学
主题：
东方数学与古希腊数学的对比
线索：
1印度数学发展的三大重要时期是什么？
2 《绳法经》有哪些主要数学成果？
3 “巴克利沙手稿”有哪些主要数学成果？
4 “0”号的发明和传播过程是怎样的？
5 “悉檀多”时期的印度数学有哪些方面的成果？
6 “悉檀多”时期的主要代表人物及其数学成果？
7 花拉子米《代数学》上的主要数学成果？
8 阿拉伯在高次方程数值求解上有哪些主要数学成果？
9 阿拉伯在三角学和几何学上有哪些发展？
背景：
大约公元前3000年，印度土著居民大达罗比荼人在印度河流域创造了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文明”。

此后，多个民族多次入侵了印度，从而使印度文明（包括数学发展）呈现了多元化复杂背景。

印度数学与宗教密切相关。

“阿拉伯数学”指8－15C阿拉伯帝国统治下的整个中亚和西亚地区的数学。

包括希腊人、波斯人和基督徒所写的阿拉伯文数学。

在世界文明史上，阿拉伯在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲文艺复兴准备学术的前提做出了巨大贡献。

概述：
本章第一部分主要介绍印度数学发展的几个重要时期的数学成果及其在数学史上的重要意义。

第二部分介绍阿拉伯数学在代数、三角学和几何学上的发展。

主要内容：
一、印度数学：
1 印度数学三个重要时期：达罗吡荼人时期（约前3000－前1400），史称河谷文化；吠托时期（约前10世纪－前3世纪）；悉檀多时期（5世纪－12世纪）。

达罗吡荼人时期
达罗比荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解
甚少。

吠托时期
《绳法经》：最早可考文字是婆罗门教的经典《吠陀》，其中关于庙宇、祭坛设计与测量的部分为《绳法经》（《测绳法规》）（约前8世纪－前2世纪），包括几何和代数计算问题，如勾股定理、矩形对角线性质、相似直线形的性质以及一些作图法等。

几何计算导致了求解一、二次代数方程问题，用算术方法给出了求解公式。

“巴克利沙手稿”：公元前2C －3C 的印度数学。

这一时期的“巴克利沙手稿”涉及丰富的数学内容。

特别是：特别是其中使用了一些数学符号，出现了完整的十进制数码，用点表示0的符号，后来变为用今天通用的符号。

0是印度数学的一大发明，其他文化中0的意义只在位值记数中的意义，而印度则把它当成一个数。

包含有零号的印度数码和十进制在11世纪臻于成熟。

印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又传入欧洲，最迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍。

（“0”号的传播过程）
“悉檀多”时期
这一时期是印度数学的鼎盛时期，主要内容是算术和代数，著名数学家有：阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维纳和婆什迦罗。

阿耶波多（476－约550）：《阿耶波多历数书》（499），突出的是对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法，最大贡献建立了丢番图方程求解。

婆罗摩笈多（598－665）：《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），含有大量的数学，其代数成就尤为可贵。

明确把0作为一个数来处理，并阐述了0的完整运算法则（注：把0作为一个数进行运算的思想被后来的数学家所追随，9C 的马哈维拉和施里德哈勒都接受了这一传统，即对0作为数有明确认识）；对负数也有明确的认识，提出了正负数的乘法法则；突出贡献是提出了佩尔方程（2
21y ax =+，a 为非平方数）的一种特殊解法；在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15度的正弦函数表。

几何贡献是给出了圆内接四边形的面积公式： ))2/)(())()()((d c b a p d p c p b p a p S +++=----=当有一边为0时，即为海伦公式。

在7C 之前的数学和天文结合在一起。

9C 后出现独立的数学专著。

马哈维纳（9世纪）《计算方法纲要》：分为9个部分：（1）算术术语；（2）算术运算；（3）分数运算；（4）各种计算问题；（5）三率法（即比例）问题；（6）混合运
算；（7）面积计算；（8）土方工程计算；（9）测影计算。

还有组合公式，椭圆周长近似公式。

婆什迦罗：他是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，代表作《莉拉沃蒂》和《算法本源》代表了印度古代数学最高水平。

其中包含有丰富的算术、代数、几何的内容，包含有零的运算法则。

印度数学受着外来文化的影响，但保持了东方数学以计算为中心的实用化特点。

二、阿拉伯数学：
代数：阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。

（一）花拉子米（约783－850）：花拉子米是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。

1花拉子米的《代数学》
（1）确立《代数学》名称；
（2）探讨代数方程的一般解法；
（3）确立代数学的主要对象：方程。

2《印度计算法》
系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。

（二）奥马.海亚姆（1055－1092）：11C
用圆锥曲线解三次方程
另外：纳西尔.丁和阿尔.卡西给出了开高次方程的一般性算法
（三）三角学与几何学
继承并推进了希腊的三角术，对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲
1 更高精度的三角函数表的编制：海拜什.哈西卜，比鲁尼
2 对希腊三角学系统化：阿尔.巴塔尼创立了系统的三角函数术语，芬克引入正割和余割，艾布.瓦法和比鲁尼丰富了三角公式
特点：追求三角的算术性
3 对第五公设的关注。