高等数学第一章课件-最大公因式

d ( x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
0，如 g( x) = 0，则 证：�若 f ( x)、g( x) 有一为 有一为0
f ( x )就是 f ( x ), g( x )的一个最大公因式．且 f ( x ) = 1 ⋅ f ( x ) + 0 ⋅ g( x ).
x 2 − 2 = −( x + 1) f ( x ) + ( x + 2) g ( x ).
最大公因式与数域扩大的关系 2 最大公因式与数域扩大无关。 命题 命题2 即，设 P , K是数域且 P ⊆ K , f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 1最大公因式与 则 f ( x ), g( x )在 P[ x ]中的首 中的首1 f ( x ), g( x )在 K [ x ]中的首 1最大公因式一致。 中的首1
§1.4 最大公因式
一、定义 定义 1 设 f ( x ),g ( x ) ∈ P[ x ], 若 d ( x ) ∈ P[ x ]满足 定义1 (1) d ( x ) f ( x ), d ( x ) g ( x ), 即 d ( x ) 是 f ( x ) 与 g( x) 的一个公因式； (2) 若 ϕ ( x ) ∈ P[ x ], ϕ ( x ) f ( x ) 且 ϕ ( x ) g ( x )，则
③
( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s ) =u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s . ( f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ) = ( ( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s−1 ) , f s ) = ( ( f1 , ⋅ ⋅ ⋅, f k ) , ( f k +1 , ⋅ ⋅ ⋅, f s ) ) , 1 ≤ k ≤ s − 1
r2 ( x ) = x 2
r1 ( x ) = x 3
x3
− 2x − 2x
x
= q3 ( x )
−2
0
∴ ( f ( x ), g( x )) = x 2 - 2
f ( x ) = g ( x ) + r1 ( x ) ⎧ , 得 且由 ⎨ ⎩ g ( x ) = ( x + 1)r1 ( x ) + r2 ( x )
原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余 除法与数域扩大无关。
三、互素 1、定义 定义 2 若 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ,则称 f ( x ), g( x )是 定义2 互素的。 : 由定义， 说明 说明: f ( x ),g( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外无 其它公因式．
注：
f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的最大公因式一定存在． ①
( f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ) 表示首 1最大公因式． 表示首1
∃u1 , u2 ⋅ ⋅ ⋅ us ∈ P[ x ] ② ，使
任意非零常数 d都是 f ( x ) 与 c 的一个最大公因式。 (3) f ( x ) 与0的最大公因式？ ∀0 ≠ c ∈ P , c ⋅ f ( x )是 f ( x)与 0 的一个最大公因式。 0是0与0的最大公因式。 特别地， 特别地，0
3
不是唯一 的。 注：�最大公因式 最大公因式不是唯一 不是唯一的。 设d ( x ), d1 ( x )是 f ( x )与 g ( x )的最大公因式， 根据定义有 d ( x ) | d1 ( x ) 且d1 ( x ) | d ( x ).因此， 存在 0 ≠ c ∈ P ，使得 d1 ( x ) = c ⋅ d ( x ). 在相伴意义下是唯一 的。 最大公因式在相伴意义下是唯一 在相伴意义下是唯一的。 �最大公因式 1的最大公因式 的首项系数为1 � f ( x ) 与g ( x ) 的首项系数为 是唯一确定的，记作 ( f ( x ), g( x )).
二、最大公因式的存在性及表示法 1 若等式 f ( x ) = q( x ) g( x ) + r ( x ) 成立， 引理 引理1 则 f ( x ), g( x )与 g( x ), r ( x )有相同的公因式；
f ( x ), g( x )与g ( x ), r ( x )有相同最大公因式，
……………… rs− 3 ( x ) = qs−1 ( x )rs− 2 ( x ) + rs−1 ( x )
rs− 2 ( x ) = qs ( x )rs−1 ( x ) + rs ( x ) rs−1 ( x ) = qs+1 ( x )rs ( x ) + 0
从而有 ( f ( x ),g ( x ))=( g ( x ),r1 ( x )) =( r1 ( x ),r2 ( x ))
f ( x ) | h( x ).
推论1
如果 f1 ( x ) | g ( x ), f 2 ( x ) | g( x ), 而且
( f1 ( x ), f 2 ( x )) = 1, 则 f1 ( x ) f 2 ( x ) | g ( x ).
定理4 在 P[ x ]中，若 ( f1 ( x ), g ( x )) = 1 且 ( f 2 ( x ), g( x )) = 1, 则( f1 ( x ) f 2 ( x ), g ( x )) = 1.
u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s = 1.
f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ⇔ ∃u1 , u2 , ⋅ ⋅ ⋅, us ∈ P[ x ], 使 ④ 互素
附: 最小公倍式
设 m ( x ), f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ] ，若 i) f ( x ) | m( x ),g( x ) | m( x ) ; ii) 对 f ( x ), g( x ) 的任一公倍式 ϕ (x ) ，都有
=…
=( rs−1 ( x ),rs ( x )) =( rs ( x ), 0) = rs ( x ). 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs−1 ( x ),⋯ , r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
说明: 1中用来求最大公因式的方法，通常称为 ① 定理 定理1 ． 辗转相除法 辗转相除法． 最 辗转相除法：对 f ( x ), g( x )作辗转相除时， 作辗转相除时，最 是 f ( x ), g( x ) 的一个最大 后一个不等0的余式 的余式是 公因式。 1中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v ( x ) g( x ) ② 定理 定理1 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一。
③ 设 d ( x), f ( x),g( x ) ∈ P[ x], 若满足
d(x )=u( x ) f ( x 源自文库 + v ( x ) g ( x ),
则d ( x ) 未必是 f ( x ),g ( x )的最大公因式。 如：0 = 1 ⋅ x − 1 ⋅ x , 但0不是 x , x的最大公因式。 1 d ( x ) 是 f ( x ), g( x )的最大公因式 命题 命题1 ⇔ (1) d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ); (2) ∃u( x ), v( x ) ∈ P[ x], 使得 d ( x ) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
2、互素的判定与性质 2 设 f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 则 f ( x ), g( x )互素 定理 定理2 ⇔ 存在 u( x ), v ( x ) ∈ P[ x ],使得 u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1.
定理3 若( f ( x ), g( x )) = 1 且 f ( x ) | g ( x )h( x ), 则
例2
f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − x 2 -4x − 2,
g( x ) = x 4 + x 3 − x 2 -2x − 2,
求 ( f ( x )、g( x )) ，并求 u( x ),v ( x ) 使
( f ( x )、g( x )) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
若 r2 ( x ) ≠ 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) = q3 ( x )r2 ( x ) + r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即 ∂ ( g ( x )) > ∂ ( r1 ( x )) > ∂ ( r2 ( x )) > ……
�考虑一般情形： f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0, 用 g( x ) 除 f ( x ) 得： f ( x ) = q1 ( x ) g( x ) + r1 ( x ) 其中 ∂ ( r1 ( x )) < ∂ ( g ( x )) 或 r1 ( x ) = 0 . 若 r1 ( x ) ≠ 0 ，用 r1 ( x ) 除 g ( x )，得： g ( x ) = q2 ( x )r1 ( x ) + r2 ( x ) 其中 ∂ ( r2 ( x )) < ∂ ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) = 0 ．
四、多个多项式的最大公因式 3 设 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ∈ P[ x ] ( s ≥ 2) 定义 定义3 : 若 d ( x ) ∈ P[ x ] 满足 满足: i) d ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s ii) ∀ϕ ( x ) ∈ P[ x ], 若 ϕ ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s 则 ϕ ( x ) d ( x ). 则称 d ( x ) 为 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的一个 最大公因式 ． 最大公因式．
解:
4
g( x )
3 2
f ( x)
4 3 2 x + 2 x − x 4x − 2 1 x + x − x 2 x − 2 x +1 4 3 2 4 2 x + x − x -2x − 2 = q1 ( x ) − 2x = q2 ( x ) x
x3 + x2 − 2 x − 2 x3 − 2x
( f ( x ), g( x )) = ( g( x ), r ( x )). 因此，
1 对任意 f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 则在 P[ x ] 定理 定理1 中存在 f ( x )与 g ( x ) 的一个最大公因式 d ( x ), 且d ( x ) 可表成 f ( x ), g( x ) 的一个组合，即 存在 u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] 使得
0．设 rs +1 ( x ) = 0. 因此，有限次后，必然有余式为 因此，有限次后，必然有余式为0 于是我们有一串等式
f ( x ) = q1 ( x ) g( x ) + r1 ( x ) g ( x ) = q2 ( x )r1 ( x ) + r2 ( x ) r1 ( x ) = q3 ( x )r2 ( x ) + r3 ( x ) ……………… ri − 2 ( x ) = qi ( x )ri-1 ( x ) + ri ( x )
ϕ ( x) d ( x) .
． 则称 d ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的一个最大公因式 一个最大公因式．
例1 求 f ( x )与 g( x) 的最大公因式
(1) f ( x ) = ( x + 1)2 ( x − 2)( x + 5)2 ,
g ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 5) ; 2 ∀0 ≠ c ∈ P , d ( x ) = c ( x + 1)( x + 5) 是 f ( x)与g( x) 的 一个最大公因式。 (2) ∀0 ≠ c ∈ P , f ( x ) 与 c 的最大公因式 ?