数值分析20定积分讲义计算与积分和式

类似有: Simpson公式具有3阶代数精度
对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式
n
lj (x)xkj xk
j0
n
Aj xkj
b xkdx
a
j0
所以, R[xk] = 0, (k = 0,1,2,···,n)
(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.
例4 确定公式
3 h
0f(x )d x A 0f(0 ) A 1f(h ) A 2f(2 h )
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
n
右矩形和 Sn f (xj )h
j1
h
1
0.5
0.2 ······
Sn
5.2908
4.9835 ······ 4.8999
5.1044
4/18
1.5 1
5
0 f(x)dx4.8999
0.5
n
1 0
S [f(x )f(x)h] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
使代数精度尽可能高.
11/18
解: 取f(x)= 1, x, x2 若求积公式准确成立,则有
3h A0 A1 A2
9
2
h2
0
A1h
A2 2h
9h3 0 A1h2 4h2 A2
A0
3 4
h
A1 = 0
A2
9 4
h
求积公式
3hf(x)d x3hf(0)9hf(2h )
0
4
4
具有至少2阶代数精度
9/18
定义: 对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项
b
n
R [P] P(x)d x a
A kP(xk)0
k0
且有m+1次多项式不具有这样的性质, 则称
b
n
f(x)dx
a
Akf(xk)
k0
具有m阶的代数精确度
例. 梯形公式
bf(x)d xba[f(a)f(b)]
a
2
代数精度为1
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h
n1
2[f(a)f(b)2j1f(xj)]
Tnh 2[f(a)f(b)2nj 11f(ajh )]
h ba n
T2nh 21[f(a)f(b)22jn 11f(aj1 h)]
h1
h 2
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Tnh 2[f(a)f(b)2nj 11f(ajh )]
h
2n1
h
T 2n4[f(a)f(b)2k1f(ak2)]
容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立.
因此这一公式只具有2次代数精度
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取等距结点xj = a + jh时,插值型求积公式称为 Newton-Cotes公式
n
f(x) lj(x)f(xj) j0
b
n
f(x)dx
a
Aj f(xj)
j0
Newton-Cotes公式代数精度至少为n
n
j1
j
2 j1
1.5
左矩形
1
0.5
4.4429
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
4.6804
梯形
4.8669 4.8924
右矩形
5.2908 5.1044
1.5
4.8139
1
0.5
4.8572
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.8987 4.8996
4.9835 4.9420
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数值求积公式的一般形式
x 1(ba) 2
bf(x)d xba[f(a)f(b)]
a
2
bf()
f()b
R a 2( x a )x (b ) d x 2 a ( x a )x (b ) dx
即
(ba)3 R
f()
12
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例3. 取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b – a )
定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少 有(n+1)阶代数精确度。
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复合梯形求积公式
将积分区间[a,b] n 等分.取 h=(b-a)/n . xj=a+jh
a bf(x )d x n j 0 1x x jj 1f(x )d x h 2 n j 0 1 [f(x j) f(x j 1 )]
0
2
2/18
1.5
5 x3
F(5)
0
ex
dx4.8999 1
0
5
问题:
1. 定积分与线积分的计算?
2.重积分的数值计算?
3. 椭球面积的计算？
4. 由离散数据计算三维体积？
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定积分与积分和式
1.5 1
0.5
b
n
a
f(x)dxlim h0 j1
f(xj)h
x3 f (x) ex 1
0
0
af(x)d xA 0f(a)A 1f(b)
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插值型求积公式
对 [a，b]做分划: a≤ x0 < x1 < x2 < …… < xn≤b
n
Lagrange插值 f(x) lj(x)f(xj)
j0
b
nb
f(x)dx
a
[alj(x)d]xf(xj)
j0
令 A ja blj(x)d,(xj0,1,2, ,n)
数值分析20定积分计算与积分和式
精品
椭圆:
周长:
x =a cos t y =b sin t 0≤ t ≤2
/2
L4
a2si2tn b2co 2td st
0
a 2si2tn b 2c2 o t sa1 e2c2 o t s
其中 ec/a a2b2/a
/2
L4a
1e2co2tsdt
0
L4a/2[11e2co2ts]dt
b
n
f(x)dx
a
A kf(xk)R[f]
k0
R[f ] —— 数值求积公式余项
x0, x1, ···, xn —— 求积结点
A0, A1, ···, An —— 求积系数
例1. 梯形公式:
a
b
b
ba
f(x)d x [f(a)f(b)]
A0 = (b – a )/2
a
2
b
A1 =(b – a )/2
A0xx02(xx1 2)h2 (xx2)dx
A0= (b-a)/6
A1xx02(xx 0)h(x 2x2)dx
A1=2(b-a)/3
A2xx02(xx2 0)h2(xx1)dx
A2= (b-a)/6
bf(x )d x b a [f(a ) 4 f(a b )f(b )]
a
6
2
即著名的 Simpson 公式
b
n
f(x)dx
a
Aj f(xj)
j0
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插值型求积公式的余项
b
bf(n 1 )()
R [f]a[f(x ) L n (x )d ] xa (n 1 )!n 1(x )dx
例2. 梯形公式的误差( 余项 )
A0abb b a xd
x 1(ba) 2
A1abb x a ad
T 2 n h 4 [f(a ) f(b ) 2 n j 1 1f(a j)h 2 jn 1f(a j h h 2 )]
1
n
h
T2n2[Tnhj1f(ajh2)]
15/Байду номын сангаас8
取 T1b 2a[f(a)f(b)] 递推，得
T1 T2 T4 ········ Tn T2n