小学奥数之容斥原理84321

容斥原理（一）
【例题分析】
例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。

如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
??? 分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：
??? （平方厘米）
??? 方法一：（平方厘米）
??? 方法二：（平方厘米）
??? 方法三：（平方厘米）
??? 答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
??? 分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

??? 也可以这样解：（人）
??? 或（人）
??? 答：两组都参加的有5人。

例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
??? 分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

??? （人）
??? （人）
??? 答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
??分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

??? （人）
?? 答：这个年级参加课外小组的有60人。

例5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。

??? 分析与解：根据题意画出如下图
??? 要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。

??? （人）
??? （人）
??? 答：全班有42人。

例6. 分母是105的最简真分数有多少个？
??? 分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与105要互质。

因为，所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。

所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。

因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。

??? 能被3整除的数：（个）
??? 能被5整除的数：（个）
??? 能被7整除的数：（个）
??? 能同时被3和5整除的数：
??? 能同时被3和7整除的数：
??? 能同时被5和7整除的数：
??? （个）
??? （个）
??? 答：分母是105的最简真分数有48个。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？
2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。

只懂日语的有多少名？
3. 某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。

全班有多少人？
4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？
5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？
容斥原理（二）
【例题分析】
例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？
??? 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。

要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

??? （人）
??? 答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。

问：共有几个小朋友去了冷饮店？
??? 分析与解：根据题意画图。

??? 方法一：（人）
??? 方法二：（人）
??? 答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
??? 分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

??? （人）
??? 答：只参加跑和投掷两项的有3人。

例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

??? 分析与解：根据已知条件画出图。

??? 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：
??? 整理后得：
??? 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。

??? 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多多少人？最少多少人？
??? 分析与解：根据题意画图。

??? 设三科都得满分者为x
??? 全班人数
??? 整理后：全班人数＝39＋x
??? 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。

x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即且，由此我们得到。

另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。

??? 当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有
39人。

??? 答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）
??? 他们住的一套房子共有多少平方米？
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。

4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？。