椭圆方程数值解
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有限元空间构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分 。相邻节点 之间的小区间 称为第 个单元，其长度为 。记 。顺便说一下，有限元法不要求步长 是常数。而差分法通常要求步长 是常数，以免截断误差阶数降低。
在空间 中，按如下原则选取有限元空间 ：它的元素 在每一单元上是 次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当 时，就得到最简单的线性元，这时每个 可表为
（J.12）
注意在（J.12）中不出现二阶导数。我们已经看到，满足微分方程（J.7）的光滑解一定满足变分方程（J.12）。而变分方程（J.12）的解称为微分方程（J.7）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（J.7）的解。
另外，注意在变分方程（J.12）中，强制要求广义解 满足边值条件 ，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件 ，则不加要求。但是可以证明，如果广义解 在通常意义下二阶可微，则一定有 ，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（J.12）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。
函数集合 作为例子，我们将考虑区间 上的椭圆微分方程。用 表示在 上勒贝格平方可积函数的集合， 表示本身以及直到 阶的导数都属于 的函数的集合。我们下面用到的主要是 。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于 ，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到函数集合 。
变分方程考虑两点边值问题
（J.7a）
（J.7b）
（J.7c）
其中 都是区间 上的光滑函数，并且 ， 是一个正常数。用 中任一函数 乘（J.7a）式两端，并在 上积分，得
（J.8）
利用分部积分，并注意 和 ，得
以此代入到（J.8）得到
（J.9）
为了方便，定义
（J.10）
（J.11）
则相应于微分方程（1）--（3）的变分方程为：求 满足
考虑一种简单情形，即求解区域 是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令 和 分别为 和 方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域 ，构造矩形网格： 为网格内点节点集合， 为网格边界节点集合， 。
对于内点 ，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）：
(J.2)
其中 。（J.2）通常称为五点差分格式。
图J.2 三角网及其对偶剖分
图J.3 内点(a)与边界点(b)的对偶单元
， ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
， ，
对于 和 ，分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积分，导出如下差分近似：
这里 。将上述六个公式带入（J.6）中，就得到边界点 的差分方程。所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是稀疏的，并且当 时是对称的。
j.椭圆方程数值解法
本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网和三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的基本思想。
J.1 矩形网上差分方程
考虑二维区域（区域=连通的开集） 上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题
（j.1）
其中 , 是常数； ； ； 是给定的光滑函数； 是 的边界； 。假设（J.1）存在光滑的唯一解。
方程（J.2）可以整理改写为
（J.3） + + + +
对每一内点 都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值 已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当 和 足够小时是对角占优的。
用（J.1）的真解 在网点上的值 、 等等分别替换（J.2）中的 、 等等，然后在 点处作Tailor展开，便知差分方程（J.2）逼近微分方程（J.1）的截断误差阶为 。另外可以证明，五点差分格式的收敛阶为 ，并且关于右端和初值都是稳定的。
， （J.13）
其中 。
图J.3. 一维线性元
线性元的另外一种表示方法用到以下具有局部支集的基函数：
（J.14）
（J.15）
图J.4. 线性元的基函数
显然，任一 可以表为
（J.16）
有限元方程将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，
J.3 椭圆方程的有限元法
有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。
考虑有界区域 上的Poisson方程
（J.4） ，
在边界 的各个部分 、 和 分别给定第一、第二和第三边值条件：
（J.5a）
（J.5b）
（J.5c）
其中 是常数， 是边界 的外法向。
作 的三角剖分：在 上取一系列点，连成闭折线 ，并记 为由 围成且逼近 的多边形区域。将 分割成有限个三角形之和，使每个三角形的每个内角不大于 ，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交，或者相交于顶点。
引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域 的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。
矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当 是非矩形区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。
图J.1 一般区域 的矩形网格
J.2. 三角网差分格式
本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。三角网差分格式具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者欢迎。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。
在空间 中，按如下原则选取有限元空间 ：它的元素 在每一单元上是 次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当 时，就得到最简单的线性元，这时每个 可表为
（J.12）
注意在（J.12）中不出现二阶导数。我们已经看到，满足微分方程（J.7）的光滑解一定满足变分方程（J.12）。而变分方程（J.12）的解称为微分方程（J.7）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（J.7）的解。
另外，注意在变分方程（J.12）中，强制要求广义解 满足边值条件 ，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件 ，则不加要求。但是可以证明，如果广义解 在通常意义下二阶可微，则一定有 ，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（J.12）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。
函数集合 作为例子，我们将考虑区间 上的椭圆微分方程。用 表示在 上勒贝格平方可积函数的集合， 表示本身以及直到 阶的导数都属于 的函数的集合。我们下面用到的主要是 。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于 ，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到函数集合 。
变分方程考虑两点边值问题
（J.7a）
（J.7b）
（J.7c）
其中 都是区间 上的光滑函数，并且 ， 是一个正常数。用 中任一函数 乘（J.7a）式两端，并在 上积分，得
（J.8）
利用分部积分，并注意 和 ，得
以此代入到（J.8）得到
（J.9）
为了方便，定义
（J.10）
（J.11）
则相应于微分方程（1）--（3）的变分方程为：求 满足
考虑一种简单情形，即求解区域 是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令 和 分别为 和 方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域 ，构造矩形网格： 为网格内点节点集合， 为网格边界节点集合， 。
对于内点 ，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）：
(J.2)
其中 。（J.2）通常称为五点差分格式。
图J.2 三角网及其对偶剖分
图J.3 内点(a)与边界点(b)的对偶单元
， ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
， ，
对于 和 ，分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积分，导出如下差分近似：
这里 。将上述六个公式带入（J.6）中，就得到边界点 的差分方程。所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是稀疏的，并且当 时是对称的。
j.椭圆方程数值解法
本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网和三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的基本思想。
J.1 矩形网上差分方程
考虑二维区域（区域=连通的开集） 上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题
（j.1）
其中 , 是常数； ； ； 是给定的光滑函数； 是 的边界； 。假设（J.1）存在光滑的唯一解。
方程（J.2）可以整理改写为
（J.3） + + + +
对每一内点 都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值 已知，将相应的项挪到右端去。最后得到以 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当 和 足够小时是对角占优的。
用（J.1）的真解 在网点上的值 、 等等分别替换（J.2）中的 、 等等，然后在 点处作Tailor展开，便知差分方程（J.2）逼近微分方程（J.1）的截断误差阶为 。另外可以证明，五点差分格式的收敛阶为 ，并且关于右端和初值都是稳定的。
， （J.13）
其中 。
图J.3. 一维线性元
线性元的另外一种表示方法用到以下具有局部支集的基函数：
（J.14）
（J.15）
图J.4. 线性元的基函数
显然，任一 可以表为
（J.16）
有限元方程将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，
J.3 椭圆方程的有限元法
有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。
考虑有界区域 上的Poisson方程
（J.4） ，
在边界 的各个部分 、 和 分别给定第一、第二和第三边值条件：
（J.5a）
（J.5b）
（J.5c）
其中 是常数， 是边界 的外法向。
作 的三角剖分：在 上取一系列点，连成闭折线 ，并记 为由 围成且逼近 的多边形区域。将 分割成有限个三角形之和，使每个三角形的每个内角不大于 ，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交，或者相交于顶点。
引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域 的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。
矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当 是非矩形区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。
图J.1 一般区域 的矩形网格
J.2. 三角网差分格式
本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。三角网差分格式具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者欢迎。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。