李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

WORD格式.分享

第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现

a的情况，这时消去法无法进行；即

kk

k时主元素0

和舍入

增长

a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重

kk

计

误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和

算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什

么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个

为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长

算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性

齐次性

三角不等式

x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）

设

n

||x|||x|

1i

i1

1

n

22

||x||(x)

2i

i1

||x||max|x i|

1in

7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，

精品.资料

WORD格式.分享

||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？

向量范数定义见p162，需要满足四个条件。

正定条件

齐次条件

三角不等式

相容条件

矩阵的算子范数有

||A||

1

||A||

2

||A||

从定义可知，||A||1更容易计算。

8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？

答：设A为非奇异阵，称数 1

cond(A)v AA（v1,2,）为矩阵A的条件数

v

v

当cond(A)1时，方程是病态的。

9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？

（1）矩阵行列式的值很小。

（2）矩阵的范数小。

（3）矩阵的范数大。

（4）矩阵的条件数小。

（5）矩阵的元素绝对值小。

接近奇异阵的有

（1）、（2）

注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。

矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。

10、判断下列命题是否正确：

（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。

（2）对称正定的线性方程组总是良态的。

答：正确。

（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。

答：正确。

（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。

答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。

（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。

（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。

答：正确。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

精品.资料

WORD格式.分享

答：错误，可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||

∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）||A||1=||A T||

T||

∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是nn的非奇异矩阵，则

cond(

1 A)cond(A)。

答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

1cond(A)AA

根据条件数的定义有：

111111

cond(A)A(A)AAAA

精品.资料

WORD格式.分享习题

1、设A是对称阵且a0，经过高斯消去法一步后，A约化为

11

T

a

a

11

1

0A

2

，证明A是对

2

称矩阵。

证明：

aa...a

11121n

设对称矩阵 A a a...a

1222n2

............

，则经过1次高斯校区法后，

有

aa...a

1n2nnn

aa...a 11121n

(1) A

aa

121n 0aa...aa

2212n212

aa

1111 ............

aa

1n1n 0aa...aa

2n12nn12

aa

1111

aa...a

11121n

aa

1212 0aa...aa

2212n21n

aa

1111 ............

aa

1n1n 0aa...aa

n212nn1n

aa

1111

所以

T

a1[a12 (2)

n

aa

1212 aa...aa

2212n21n

aa

1111

A

2

.........

aa

1n1n

aa...aa