6-1简谐振动

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证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。 例1.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。 证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动 证明： 证明： 平衡位置弹簧伸长x 平衡位置弹簧伸长 0 mg = kx 0
x0 在任意位置 x 处， 合力为 F = mg − k( x 0 + x ) = −kx 物体仍受回复力作用， 物体仍受回复力作用， 作谐振动。 作谐振动。
6
解：设物体沿x 轴作简谐振动 设物体沿
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 0 时 ，x = A ，cosϕ =1 ， 即 ϕ = 0
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m vm = ω A = 8.00×0.100 m ⋅ s−1 = 0.800 m⋅s−1 × ⋅ am= ω2 A = (8.00)2 ×0.100 m ⋅ s−2 = 6.40 m⋅s−2 ⋅ 所以 v = −0.800 sin 8.00 t m⋅s−1 ⋅ a = −6.40 cos 8.00 t m⋅s−2 ⋅
加速度比位移的相位超前（或落后） 加速度比位移的相位超前（或落后） π
5
am = −ω A 称为加速度振幅；
2
的轻弹簧, 例 1：有一劲度系数为 ：有一劲度系数为32.0 N ⋅ m-1 的轻弹簧 放置 在光滑的水平面上，其一端被固定, 在光滑的水平面上，其一端被固定 另一端系一质量 为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平 的物体。 的物体 衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放 物体将 然后将物体由静止释放, 衡位置 在水平面上沿一条直线作简谐振动。 在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动 的位移、速度和加速度与时间的关系。 的位移、速度和加速度与时间的关系。
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F1 F1 1 1 F = k + = k + F k1 k2 k1 k2
k1k2 = k= 1 1 k1 + k2 + k1 k2
1
k ω= m ω 1 k1k2 ν= = 2π 2π m( k1 + k2 )
本章小结与习题课 / 例4
16
2 2 1 2 1 2 E p = k x = kA cos2 (ω t + ϕ ) 2 2
5 π x = 4.0×10 cos( t − ) 6 3
由以上两式可见， 由以上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性 变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零， 变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到 最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值， 最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所 9 以动能也达到最大值。 以动能也达到最大值。
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本章小结与习题课 / 例3
例4：两个弹簧串联构成弹簧系统，劲度 ：两个弹簧串联构成弹簧系统， 系数分别为k 求振动频率。 系数分别为 1、k2 ，求振动频率。 m k1 k2 位移x, 解：m位移 位移 x 两弹簧伸长各 为x1、x2， F1 = −k1x1 , F2 = −k2 x 2 F = −k( x1 + x 2 ) k为系统的劲度系数， 为系统的劲度系数， 为系统的劲度系数 F = F1 = F2 F1 F1 1 1 F = k + = k + F k1 k2 k1 k2
o x x
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的长方形木块， 例2：底面积为 S 的长方形木块，浮于水 ： 释放， 面，水面下 a，用手按下 x 后释放，证明 ， 木块运动为谐振动， 木块运动为谐振动，其周期为 a S T = 2π g 证明： 证明：平衡时 mg = F浮 = aSρg 任意位置x处 任意位置 处，合力 F = mg − F浮
总能量
1 1 2 2 2 2 E = E k + E p = mω A sin (ω t + ϕ ) + kA cos2 (ω t + ϕ ) 2 2 1 1 2 2 2 2 因为 ω = k / m 所以 E = mω A = kA 2 2
由此式可见, 由此式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的， 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方 成正比。 成正比。
二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅 振幅A 振动物体离开平衡位置的最大幅度 制中， 在SI制中，单位为 制中 2. 周期和频率 周期T 周期 频率ν 圆频率ω 圆频率 振动物体完成一次振动所需的时间 振动物体在1 振动物体在 秒内所完成振动的次数 振动物体在1 振动物体在 秒内所完成振动的次数 3 m(米) 米
第六章
振动和波动
1
简谐振动
一、简谐振动(simple harmonic vibration )的基本特征 简谐振动 的基本特征 以弹簧振子为例讨论， 以弹簧振子为例讨论， 弹簧振子是典型的简谐 振动 弹簧的弹力
O
x
M x
F = -kx
根据牛顿第二定律有 所以 其解 或
d2 x +ω2x = 0 dt2
T
N
y
ω
M
ϕP
O ωt +ϕ
x
G A
I
H
J
M
K T
L
4
t
dx 简谐振动的速度： • 简谐振动的速度： V = = − Aω sin(ωt + ϕ ) dt
Vm = −ωA
称为速度振幅；速度比位移的相位超前 称为速度振幅；速度比位移的相位超前π/2
2
d x 2 • 谐振动的加速度： a = 谐振动的加速度： = −ω A cos( ω t + ϕ ) 2 dt
x/cm
4.0 2.0 O -2.0 -4.0
P
1
t/s
{
解得
π x = 4.0×10 cos ωt − ) m ( 所以 3 又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得 ,
−2
v0 = −Aω sin ϕ π ϕ=− 3
0 = 4.0 × 10
−2
cos(ω −
π 3
) m
8
因 ω >0 即
7
ω=
k
=
32.0
rad ⋅ s
− 1
= 8.00rad ⋅ s
-1
速度、 速度、加速度的最大值为
例 2：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试 ：已知某简谐振动的振动曲线如图所示， 写出该振动的位移与时间的关系。 写出该振动的位移与时间的关系。 解：由图知 A = 4.0×10−2 m
A 当 t =0 时， x0 = , v0 > 0 2 由式 x0 = A cos ϕ
d2 x F = ma = m 2 = - kx dt k 2 ω = m
x = Acos(ωt +ϕ)
x = A sin(ωt + ϕ )
（以后只取此式的形式） 以后只取此式的形式）
2
d2 x +ω2x = 0 任何物理量x , 任何物理量 的变化规律若满足方程式 2 dt 并且ω是决定于系统自身的常量 是决定于系统自身的常量， 并且 是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化 过程就是简谐振动。 过程就是简谐振动。
ω =(
π 2 + π 3
所以 ω −
) rad ⋅ s-1 =
π
3 5π
6
=
π 2
rad ⋅ s-1
−2
简谐振动的表达式为 四、简谐振动的能量 以弹簧振子为例 x = A cos (ω t+ϕ) v = −Aω sin (ω t+ϕ) 1 2 1 E k = mv = mω 2 A 2 sin 2 (ω t + ϕ )
由公式 得
1 1 1 2 2 2 E = mv + k x = kA 2 2 2
k v=± ( A 2 − x 2 ) = ±ω A 2 − x 2 m
此式表明，在平衡位置处， 速度为最大； 此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在 最大位移处， 最大位移处，x = ± A, 速度为零。 , 速度为零。
a o x
x
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F = aSρg − ( a + x )Sρg
l
= −Sρgx = −kx
为回复力， 为回复力， k = Sρg
k g Sρg ω= = = m aSρ a
a o x
x
周期
T=
2π
ω
a = 2π g
本章小结与习题课 / 例2
证毕
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假设沿地球直径打一孔， 例3.假设沿地球直径打一孔，物体从孔中 假设沿地球直径打一孔 落下。证明：物体作谐振动。 落下。证明：物体作谐振动。 证明： 证明：物体受万有引力 与内层质量有关。 与内层质量有关。 mρ地V体 F引 = −G 2 r o r 4 3 mρ地 πr 3 = −G 2 r mρ地 4π = −G r = −kr 为回复力，作谐振动。 为回复力，作谐振动。 3
2π 1 ω = 2πν = 三者关系 ν = T T 制中, 在SI制中 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫 制中 秒、 赫 兹)、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒) 、 弧度
二、简谐振动的矢量图解法 简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻 投影点位移 x0 = A cos ϕ 时刻, 时刻 在任意时刻, 在任意时刻 投影点的位移 x = A cos(ωt + ϕ ) 简谐振动曲线如图 以上描述简谐振动的方法称为简 谐振动的矢量图解法 谐振动的矢量图解法. 矢量图解法