山东省金乡二中2020至2021学年高二下学期期中考试数学

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金乡二中2020-2021学年高二下学期期中考试

数学（文）试题

一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．复数2

1i -等于（ ）

A ． １+ｉ

B ． １－ｉ

C ．－１+ｉ

D ． －１－ｉ 2．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）

A ． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④ 3. 在三棱柱111ABC A

B

C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点

D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 4. 函数

93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

5．曲线3

13y x x =

+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭

，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．

19 B ．

29

C ．

13

D ．

23

6．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π

+

B. 4π+

C. 2π+

D. 4π+

7．函数()x x a x f +=ln 在1=x 处取到极值,则a 的值为（ ）

A.

2

1

B. 1-

C. 0

D. 2

1-

8．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是 （ ）． A ．三角形中有两个内角是钝角 B ．三角形中有三个内角是钝角 C ．三角形中至少有两个内角是钝角 D ．三角形中没有一个内角是钝角 9在点(0,1)P 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．150

10．已知函数3()f x x ax =+与2()2g x x b =+的图象在1x =处有相同的切线，则a b +=

O D

C

B A

（ ）

A. 1-

B. 0

C.

D. 2

11.在复平面内,AB 对应的复数是2+i,i CB 31--对应的复数是.则CA 对应的复数为( )

A ．i 43--

B 。i 21+-

C 。i 43+

D 。i 21- 12.如果对于任何实数x ，不等式0

12

>+-kx kx

都成立，那么实数k 的取值范围是( )

A. (0,4)

B. [0,4]

C. [0,4)

D. (0,4] 二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分共20分.)

13. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于____________.

14．如图，已知Rt△ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，

则BD ＝____________cm.

15. 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________. 16. 若曲线

()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是

____________.

三．解答题(本大题共6小题，满分70分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.

（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（2）当2PD =且E 为PB 的中点时， 求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

18.（本小题满分12分）已知三次函数)(x f 的导函数

ax x x f 33)(2-='，

b f =)0(，（a ，b R ∈）．

(1)若曲线=y

)(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；

(2)若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值，最大值分别为-2和1，且21<

19. (本小题满分12分) 已知函数()ln f x x x =．

(1)求函数()f x 在[1,3]上的最小值；

(2)若存在1[,e]e

x ∈(e 为自然对数的底数，且e =2.71828

)使不等式

22()3f x x ax ≥-+-成立，求实数a 的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为F 1（-2，0），F 2（2，0），点

P 在曲线C 上。

（1）求双曲线C 的坐标；

（2）记O 为坐标原点，过点Q(0,2)的直线与双曲线C 相交于不同两点E ，F ，若△OEF 的面

积为