第10章-小波变换与多分辨率20160822解析
小波变换课件
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
小波变换
小波变换和多分辨率处理付利叶等变换的局限:❑傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性❑傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好例1、歌声信号歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。
但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
•短时傅里叶变换的缺点在于其时频“窗口”的宽度不随频率的变化而变化。
•在实际应用中，窄的时间窗可以更精确的描述信号的高频成分；宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
•所以，在对信号进行时频局部化分析中，我们需要一个自动随频率变化的时频窗口。
7.1 小波变换简介1、预备知识从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。
从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
如图1所示的LENA 图像f (x,y )，假设图像的大小是512x512，量化级是256，即511,0 255),(0≤≤≤≤y x y x f x y●应用：●地震信号的分析与处理；●二进小波变换用于图像的边缘检测、图像压缩与重构；●连续小波变换用于涡流的研究；●小波变换用于噪声中的未知瞬态信号；●小波变换用于语音信号的分析、变换和综合;●正交小波变换用于算子及拟微分算子的化简；●小波变换的自适应性用于解微分方程；●小波变换用于电磁场领域的若干问题研究等波和小波（Wavelet）小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。
而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。
小波与多分辨率分析(冈萨雷斯)
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N*N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素
，其中
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令N=4，k、p和q的值为
则4*4变换矩阵H4为：
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傅里叶变换的缺点
傅里叶分析理论对于有限平稳的周期信号比较有 效，而对于非平稳信号的分析效果不够好。主要原因 有：
1、三角基函数在时域上不能局部化，无法实现时 域上的局部分析。由于信号的傅里叶变换代表的是该 信号在某个频率w的谐波分量的振幅，它是由整个信号 的形态所决定的，因此无法从傅里叶变换值确定该信 号在任一时间上的相关信息。
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在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，
表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系
数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量 往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同 一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发 生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量 删除后，就会什么内容也听不出来了。
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3、傅里叶变换不能同时进行时域和频 域的分析。这是因为信号经过傅里叶变 换后，它的时间特性消失，只能进行频 域信息分析。
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什么是小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将 母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小
波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移
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3.惟一包含在所有 中的函数是f(x)=0 如果考虑最粗糙的展开函数(即 ),惟一可表达的函数 是没有信息的函数，即
4.任何函数都可以以任意精度表示 所有可度量的、平方可积函数都可以用极限
表示
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小波变换与多分辨率分析课件
有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。
小波分析第三讲-小波与多分辨分析只是分享
Wj
Vj
Wj Spa{ynj,k(t)}
k
Vj Spa{jnj,k(t)}
k
正交和
Wj Vj {0} Wj Vj Vj1
Vj1Vj Wj
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
通过尺度函数j (t)的尺度展缩，就可以改变
尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨 率及信号空间之间的关系。
若信号x(t)可以由尺度函数jj,k(t)表达，则信 号x(2t)可以由尺度函数jj+1,k(t)表达，即
x(t) Vj
h0[n]{212,
1, 1 } 222
0
1
2
t
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
小波函数(wavelet function)——y (t)
根据信号空间的概念，由尺度函数j(t)同样可 以定义小波函数y(t)，再由小波函数y(t)经过尺度 展缩与平移得到小波信号yj,k(t)，即
j (t)
y (t)
x(2t)Vj1
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
根据信号空间的包含关系， 若存在 x(t)Vj
则必然 x(t)Vj1 这表明若信号x(t)可由尺度函数jj,k(t)线性表达， 则必然可以由尺度函数jj+1,k(t)线性表达。
低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
由于信号jj,k(t)比jj1,k(t)在时域上更窄，因此 jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号jj,k(t)张成的信 号空间Vj 比信号jj1,k(t)张成的信号空间Vj1 大。
小波变换和多分辨率处理方法
Mallat
Daubecies
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为 现实。
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。
1.背景
从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变 化的区域局部直方图统计特性不同。
无法对整个图象定义一个简单的统计模型。
一幅自然图像 及其直方图的 局部变化
(1) 图像金字塔
以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像 的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的 图像集合。
➢ J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原 始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；
➢ J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测 残差金字塔都通过迭代计算获得。
金字塔方框图
(1) 图像金字塔迭代算法
1. 初始化，原始图象大小2J×2J，j＝J 2. j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减
金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。
基础级J的大小为N×N （J=log2N） 顶点级0的大小为1×1 第j级的大小为2j×2j （0j J） 共有J+1级，但是通常我们截 短到P＋1级，其中1 PJ
(1) 图像金字塔
小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的 小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。
小波变换的多分辨率分析原理与应用
小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。
本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。
小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。
小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。
通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。
由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。
因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。
2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。
由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。
因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。
3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。
通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。
由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。
因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。
结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。
小波变换详解
第10章 小波变换与JPEG 2000编码之小波变换虽然基于DCT 的JPEG 标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。
为了适应网络发展的需要，JPEG 于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform 离散小波变换)的JPEG 2000标准。
小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT 这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。
本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。
10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。
原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。
时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。
窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。
而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。
本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。
10.1.1 傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier 发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。
鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor 于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform ）。
小波与多分辨分析
小波与多分辨分析在物理科学和工程 领域具有广阔的应用前景。例如，在 流体动力学、电磁场等领域中，可以 利用小波与多分辨分析进行高精度数 值模拟和数据分析。未来研究将进一 步拓展其在这些领域的应用，并探索 与其他工程学科的交叉融合。
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多分辨分析是构造小波的重要工具，小波变换实质上就是对信号进行多分辨分析。
多分辨分析的构造方法
迭代法
通过迭代的方式对尺度函数进行构造， 进而得到多分辨分析。
矩阵法
利用矩阵的方法对尺度函数进行构造， 进而得到多分辨分析。
多分辨分析的性质
唯一性
对于给定的尺度函数，其对应的多分辨分析是唯一的。
平移不变性
小波变换能够检测到信号的突变和 奇异点，用于故障诊断、语音识别 等领域。
图像处理
01
02
03
图像压缩
利用小波变换对图像进行 多尺度分解，实现图像的 压缩编码，降低存储和传 输成本。
图像增强
通过调整小波系数，突出 图像的细节和特征，改善 图像的视觉效果。
图像去噪
利用小波变换去除图像中 的噪声，提高图像质量。
提升算法效率
随着小波变换应用的广泛，对算法效率的要求也越来越高。未来研究将
致力于优化算法，提高计算速度，以满足实时处理和大规模数据的需求。
02 03
扩展应用领域
小波变换在不同领域具有广泛的应用前景，如信号处理、图像处理、数 据压缩等。未来研究将进一步探索小波变换在不同领域的应用，发掘其 更多潜力。
提升小波性能
多分辨分析在信号处理、图像处理等领域取得了显著成果，未来研究将进一步探索其在其 他领域的应用，如物理、化学、生物等。
第十章 离散小波变换的多分辨率分析
282第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。
在这两种情况下，时间t 仍是连续的。
在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。
由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。
该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。
本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。
10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。
给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。
如图10.1.1(a)所示，令⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (10.1.1)显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即)()(),(k k k t k t '-=〉'--〈δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。
设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k at x P k 0k0k0φφ∑∑=-=(10.1.3)式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。
)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作283是)(t x 在0V 中的近似。
)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。
令)()(/,k t 22t j 2j k j -=--φφ (10.1.4)是由)(t φ作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的)(t φ，)(,t k j φ和)(,t k j 'φ是正交的。
数字图像处理A第章小波和多分辨率处理
河南省企业集体合同范本甲方（用人单位）名称：_______________________法定代表人：_____________ 职务：_____________地址：_____________________________________联系电话：_____________________________乙方（职工方）代表：_______________________职务：_____________________________________地址：_____________________________________联系电话：_____________________________根据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的规定，甲乙双方本着平等自愿、协商一致的原则，经充分协商，就建立劳动关系，明确双方权利义务，达成如下合同条款：第一条合同期限本合同为固定期限劳动合同，自____年____月____日起至____年____月____日止。
第二条工作内容与岗位乙方同意根据甲方工作需要，从事__________________工作，具体岗位为__________。
第三条工作时间与休息休假1. 乙方的工作时间为标准工时制，即每日工作____小时，每周工作____小时。
2. 甲方应保证乙方依法享有法定节假日、年休假等休息休假权利。
第四条劳动报酬1. 乙方的月工资为人民币__________元，甲方应于每月____日前支付乙方工资。
2. 甲方应根据乙方的工作表现和甲方的经济效益，适时调整乙方的工资。
第五条社会保险与福利甲方应依法为乙方缴纳社会保险费，并按照国家规定提供相应的福利待遇。
第六条劳动保护与劳动条件甲方应为乙方提供符合国家规定的劳动安全卫生条件和必要的劳动保护用品，保证乙方的人身安全和健康。
第七条劳动纪律与规章制度乙方应遵守甲方依法制定的劳动纪律和规章制度，认真履行工作职责。
小波变换和多分辨率概念
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。
而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。
但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。
但是，母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。
可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。
说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
七小波变换和多分辨率处理PPT课件
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7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编 码中,一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合,称为子带,它们可 以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音和图像压缩而 研制的。
从数学的观点看,图像 是一个亮度值的二维矩 阵,像边界和对比强烈区 域那样的突变特性的不 同组合会产生统计值的 局部变化。如图7.,1所 示。
一幅自然图像和它的 局部直方图变化
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图像金字塔
以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构就是图像 金字塔
金字塔的底部是待处 理图像的高分辨率表 示,而顶部是低分辨 率的近似。当向金字 塔的上层移动时,尺 寸和分辨率就降低。 完整的金字塔由J+1 个分辨率级组成 。 但大部分金字塔只有 P+1级,其中j＝JP,…,J-2,J-1,J且 1≤P≤J。
其中，k是有限或无限和的整数下标,ak是具有实数值的展开系 数,φk(x)是具有实数值的展开函数。如果展开是惟一的,也就是说对 任何指定的f(x)只有一个ak系列与之相对应,则φk(x)称为基函数,展开 序列{φk(x)}称为可被这样表示的一类函数的基。 f(x)∈V表示f(x)属于{φk(x)}的闭合跨度,并能写成式(7.2.1)的形式,闭 合跨度－可展开的函数组成了一个函数空间,被称为展开集合的闭合 跨度表示为：
1987年,在一种全新而有效的信号处理与分析方法——多分辨率理论 (Mallat [1987])中,小波首次作为分析基础出现了。多分辨率理论将多种学科的技术有效地 统一在一起,如信号处理的子带编码、数字语音识别的积分镜像过滤以及金字塔图像 处理。就像它的名字所表达的那样,多分辨率理论与多种分辨率下的信号(或图像)表 示和分析有关。其优势很明显——某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率 下将很容易被发现。
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小波分析的发展简史 连续小波变换 离散小波变换 多分辨率分析与Mallat算法 二维离散小波分析 小波包变换 小波变换在图像处理中的应用
Contents
3
小波分析的发展简史
小波分析的发展简史：
– 20世纪50年代起，傅里叶变换一直是图像频域分析的基石，但它 无法描述信号的局部频率特征。
– 为了研究信号在局部时间范围的频率特征，Gabor于1946年提出 了短时傅里叶变换。20世纪80年代后期，小波变换应运而生，它 能够对瞬变、非平稳、时变信号的频率特征进行更细致的分析， 弥补了短时傅里叶变换在信号分析中的不足。
– 小波是一种定义在有限时间且幅度平均值为零的函数。顾名思 义，小波具有小和波动2个特点：“小”， 表现在小波具有时域局 部性；“波动性”，表现小波函数在时域上是正负交替的波。
– 连续小波变换：设 是平方可积函数 波，连续小波变换定义为，
， 是基本小
式中， 是连续小波， 表示函数 和小波函数 记作 。
表示
的共轭函数，
的内积，连续小波变换的系数也可
– 连续小波变换的4个基本步骤：
1. 将小波函数 与待分析信号 的初始时刻对齐。
2. 计算当前时刻待分析信号与小波函数的小波变换系数 ，该系 数反映当前时刻的信号与小波函数的相似程度。
(e)尺度为1的小波系数
连续小波变换的过程
8
连续小波变换
(a) 分段正弦信号
(a) 多普勒频移正弦信号
(a) 分形信号
(b) 连续小波变换系数图 分段正弦信号及其变换系数图
(b)连续小波变换系数图
多普勒频移正弦信号及其 连续小波变换系数图
(b)连续小波变换系数图
分形信号连续小波及其 连续小波变换系数图
– 傅里叶变换：当用傅里叶变换表示一个信号时，只有频率分辨率而 没有时间分辨率，这就是说，利用傅里叶分析只能获得信号的整个 频谱，确定信号中包含的所有频率成分，而不能确定具有这些频率 的信号在时间轴上出现的位置。因而，傅里叶分析无法表达瞬变信 号、非平稳信号或者时变信号的局部时频特性。
(a) 一维函数
!
¡ s2!ຫໍສະໝຸດ =1 2¢0
!0 (s = 1)
!0 2
(s = 2)
窗宽 带 宽
¿
小波函数的窗宽、带宽与时间中心、 频率中心之间的关系
13
连续小波变换
– 连续小波变换的性质：
1. 线性叠加性: 若 、 的小波变换为 则有，
、
，
2. 尺度共变性:若 的小波变换为
, 有,
这表明当信号 做某一倍数的伸缩时其小波系数
在尺度
和时间轴上做同一倍数的伸缩，不会发生失真变形，这就是小波
变换称为“数学显微镜”的重要依据。
3. 时移不变性:若 的 小波变换为
，则，
4. 尺度与频率之间的关系:小波变换的尺度所对应的频率实际上称为 伪频率(Pseudo-frequency)更为合适，伪频率 与尺度s之间的关系 为，
式中， 为采样周期， 为小波的频率中心。
，即 具有衰减性。特别
2. 由
，可知
，即 具有能量有限性。
3. 设 是小波， 是其傅里叶变换, 若 在 里叶变换定义, 由 可知 具有波动性。
连续, 根据傅 ，
4. 由
，可知 具有带通性。
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连续小波变换
(a)不同尺度的伸缩s=1、s=2和s=4
(b) 时间平移τ=1
波形的尺度伸缩和时间平移
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连续小波变换
(b) 图(a)的傅里叶变换展开的基函数
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连续小波变换
– 连续小波逆变换：对于小波变换而言，基本小波 (admissible condition)时：
满足允许条件
逆变换才存在。此时，才能由
反演原函数 ：
– 小波变换在频域上的解释：设 里叶变换的尺度性， 变换的等效频域定义为，
，
，根据傅
，利用卷积定理，连续小波
– 从频域上看，连续小波变换相当于用不同尺度的一组带通滤波器 · 对信号进行分解滤波，将待分析信号分解为一系列频带上的 信号，而连续小波逆变换则是从分解到各个频带的信号重建原信号。
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连续小波变换
(a) db2(频率中心为F c = 0:6667)
(b) db7(频率中心为F c = 0:6923 )
(c) coif1(频率中心为F c = 0:8)
(d) gaus4(频率中心为F c = 0:5)
小波函数的频率中心及相关联的纯周期信号
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连续小波变换
– 小波变换与傅里叶变换、短时傅里叶变换的比较
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连续小波变换
(a) 连续小波变换系数
(b) 用前10个系数重建的信号
(c) 用后10个系数重建的信号
多普勒信号的连续小波变换近似
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连续小波变换
– 小波函数的傅里叶分析：设 里叶变换的尺度性和时移性，可知
，
，根据傅
与 的关系为，
– Marr小波的表达式为， 它的傅里叶变换为，
– 尺度因子s小的小波函数频率高，带宽展宽，而时间缩短，适合于 对信号的高频成分进行分析；尺度因子 s大的小波函数频率低，带 宽收窄，而时间伸长，适合于对信号的低频成分进行分析。
小波函数示意图
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连续小波变换
– 小波与连续小波变换：
– 对于函数
，如果
，则称 是一个小波。
– 连续小波：设
，其傅里叶变换为 , 并满足
,
则通过对小波函数 进行伸缩和平移来生成基函数
：
式中， 称为基本小波， 称为尺度因子， 称为平移因子。
– 小波函数 具有以下性质：
1. 由
，可知
地， 是局部非零紧支函数。
3. 将小波函数沿着时间轴向右平移时间 ，产生小波函数
，
重复步骤1和2，直至完成整个时间轴上的小波变换系数的计算。
4. 对小波函数 尺度 进行伸缩，产生小波函数为 ，重复步骤 1、2和3，计算所有尺度下的小波变换系数。
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连续小波变换
(a) 步骤1和2
(b)步骤3
(c) 步骤4
(d)尺度为1的小波系数
à (x)
à (2x) 不同尺度因子的小波函数及其傅里叶变换
Ã
¡x ¢
2
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连续小波变换
– 连续小波变换的时频分析：小波变换是一种信号时频分析的重要工 具。沿着时间轴来看，它的时频窗在低频部分展宽，时间分辨率降 低，而在高频部分收窄，时间分辨率提高。沿着频率轴来看，在高 频部分展宽，频率分辨率降低，而在低频部分收窄，频率分辨率提 高。对于信号中很短的瞬时高频现象，小波变换能够比短时傅里叶 变换更好地“移近”观察，因此，小波变换具有“数学显微镜”之称。