第10章-小波变换与多分辨率20160822解析

3. 将小波函数沿着时间轴向右平移时间 ，产生小波函数
，
重复步骤1和2，直至完成整个时间轴上的小波变换系数的计算。
4. 对小波函数 尺度 进行伸缩，产生小波函数为 ，重复步骤 1、2和3，计算所有尺度下的小波变换系数。
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连续小波变换
(a) 步骤1和2
(b)步骤3
(c) 步骤4
(d)尺度为1的小波系数
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连续小波变换
(a) 连续小波变换系数
(b) 用前10个系数重建的信号
(c) 用后10个系数重建的信号
多普勒信号的连续小波变换近似
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连续小波变换
– 小波函数的傅里叶分析：设 里叶变换的尺度性和时移性，可知
，
，根据傅
与 的关系为，
– Marr小波的表达式为， 它的傅里叶变换为，
– 尺度因子s小的小波函数频率高，带宽展宽，而时间缩短，适合于 对信号的高频成分进行分析；尺度因子 s大的小波函数频率低，带 宽收窄，而时间伸长，适合于对信号的低频成分进行分析。
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连续小波变换
– 连续小波逆变换：对于小波变换而言，基本小波 (admissible condition)时：
满足允许条件
逆变换才存在。此时，才能由
反演原函数 ：
– 小波变换在频域上的解释：设 里叶变换的尺度性， 变换的等效频域定义为，
，
，根据傅
，利用卷积定理，连续小波
– 从频域上看，连续小波变换相当于用不同尺度的一组带通滤波器 · 对信号进行分解滤波，将待分析信号分解为一系列频带上的 信号，而连续小波逆变换则是从分解到各个频带的信号重建原信号。
在尺度
源自文库
和时间轴上做同一倍数的伸缩，不会发生失真变形，这就是小波
变换称为“数学显微镜”的重要依据。
3. 时移不变性:若 的 小波变换为
，则，
4. 尺度与频率之间的关系:小波变换的尺度所对应的频率实际上称为 伪频率(Pseudo-frequency)更为合适，伪频率 与尺度s之间的关系 为，
式中， 为采样周期， 为小波的频率中心。
– 傅里叶变换：当用傅里叶变换表示一个信号时，只有频率分辨率而 没有时间分辨率，这就是说，利用傅里叶分析只能获得信号的整个 频谱，确定信号中包含的所有频率成分，而不能确定具有这些频率 的信号在时间轴上出现的位置。因而，傅里叶分析无法表达瞬变信 号、非平稳信号或者时变信号的局部时频特性。
(a) 一维函数
à (x)
à (2x) 不同尺度因子的小波函数及其傅里叶变换
Ã
¡x ¢
2
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连续小波变换
– 连续小波变换的时频分析：小波变换是一种信号时频分析的重要工 具。沿着时间轴来看，它的时频窗在低频部分展宽，时间分辨率降 低，而在高频部分收窄，时间分辨率提高。沿着频率轴来看，在高 频部分展宽，频率分辨率降低，而在低频部分收窄，频率分辨率提 高。对于信号中很短的瞬时高频现象，小波变换能够比短时傅里叶 变换更好地“移近”观察，因此，小波变换具有“数学显微镜”之称。
(b) 图(a)的傅里叶变换展开的基函数
!
¡ s
2!
=
1 2
¢0
!0 (s = 1)
!0 2
(s = 2)
窗宽 带 宽
¿
小波函数的窗宽、带宽与时间中心、 频率中心之间的关系
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连续小波变换
– 连续小波变换的性质：
1. 线性叠加性: 若 、 的小波变换为 则有，
、
，
2. 尺度共变性:若 的小波变换为
, 有,
这表明当信号 做某一倍数的伸缩时其小波系数
，即 具有衰减性。特别
2. 由
，可知
，即 具有能量有限性。
3. 设 是小波， 是其傅里叶变换, 若 在 里叶变换定义, 由 可知 具有波动性。
连续, 根据傅 ，
4. 由
，可知 具有带通性。
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连续小波变换
(a)不同尺度的伸缩s=1、s=2和s=4
(b) 时间平移τ=1
波形的尺度伸缩和时间平移
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连续小波变换
(e)尺度为1的小波系数
连续小波变换的过程
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连续小波变换
(a) 分段正弦信号
(a) 多普勒频移正弦信号
(a) 分形信号
(b) 连续小波变换系数图 分段正弦信号及其变换系数图
(b)连续小波变换系数图
多普勒频移正弦信号及其 连续小波变换系数图
(b)连续小波变换系数图
分形信号连续小波及其 连续小波变换系数图
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连续小波变换
(a) db2(频率中心为F c = 0:6667)
(b) db7(频率中心为F c = 0:6923 )
(c) coif1(频率中心为F c = 0:8)
(d) gaus4(频率中心为F c = 0:5)
小波函数的频率中心及相关联的纯周期信号
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连续小波变换
– 小波变换与傅里叶变换、短时傅里叶变换的比较
小波函数示意图
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连续小波变换
– 小波与连续小波变换：
– 对于函数
，如果
，则称 是一个小波。
– 连续小波：设
，其傅里叶变换为 , 并满足
,
则通过对小波函数 进行伸缩和平移来生成基函数
：
式中， 称为基本小波， 称为尺度因子， 称为平移因子。
– 小波函数 具有以下性质：
1. 由
，可知
地， 是局部非零紧支函数。
– 为了研究信号在局部时间范围的频率特征，Gabor于1946年提出 了短时傅里叶变换。20世纪80年代后期，小波变换应运而生，它 能够对瞬变、非平稳、时变信号的频率特征进行更细致的分析， 弥补了短时傅里叶变换在信号分析中的不足。
– 小波是一种定义在有限时间且幅度平均值为零的函数。顾名思 义，小波具有小和波动2个特点：“小”， 表现在小波具有时域局 部性；“波动性”，表现小波函数在时域上是正负交替的波。
– 连续小波变换：设 是平方可积函数 波，连续小波变换定义为，
， 是基本小
式中， 是连续小波， 表示函数 和小波函数 记作 。
表示
的共轭函数，
的内积，连续小波变换的系数也可
– 连续小波变换的4个基本步骤：
1. 将小波函数 与待分析信号 的初始时刻对齐。
2. 计算当前时刻待分析信号与小波函数的小波变换系数 ，该系 数反映当前时刻的信号与小波函数的相似程度。
第十章 小波变换与多分辨率分析 Chapter 10
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小波分析的发展简史 连续小波变换 离散小波变换 多分辨率分析与Mallat算法 二维离散小波分析 小波包变换 小波变换在图像处理中的应用
Contents
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小波分析的发展简史
小波分析的发展简史：
– 20世纪50年代起，傅里叶变换一直是图像频域分析的基石，但它 无法描述信号的局部频率特征。