高等数学B试卷及答案

高等数学试卷
一、 单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( ).
(A)
dx x g b
a
⎰)(
(B)
dx x g b
a
⎰
)(
(C) dx x g b
a
⎰
)(
(D)
2
)
)](()([a b a g b g -+
2.
下列级数中，绝对收敛的是（ ）
（A ）()∑∞
=--11321n n
n n （B ）()∑∞
=-+-1
1
)1ln(311n n n
（C ）
()∑∞
=-+-1
2
1
9
1n n n n （D ）
3.
设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z
( ).
(A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂
(C)2222
2)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222y
v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂
4.
⎰-1
121
dx x （ ）
（A ）2 （B ）-2
（C ）0 （D ）发散
5. 求微分方程2
x y =''的通解（ ）
（A ）21412c x c x y ++= （Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）2214
12
c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 若⎰
=
2
2sin 3)(x dt t x x f ，则()f x '=
2. 设f (x ,y )是连续函数，交换积分次序：
⎰⎰⎰
⎰
+2
12
14
14
10
),(),(y
y y
dx y x f dy dx y x f dy =
3.
幂级数()()∑∞
=--1
21
!21n n
n n x 的收敛半径是
4. 已知5)2(,3)2(,1)0('
===f f f ，则
⎰
=2
'')(dx x xf
通解为x ce y x
+=的微分方程为
三、 计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
1. x y z cos )(ln =，求。

2. 求⎰
+1
215dx x x 。

3. 设由方程
y
z
z x ln =所确定，求。

4. 计算二重积分⎰⎰D
dxdy xy 2
15，其中D 为24y x -=与y 轴所围成的区域。

四、 解答下列各题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）
1. 求由曲线y=sinx ，y=cosx ，（0≤x ≤π/4）及直线x=0所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的
体积。

2. 已知两种商品的需求函数为2118p p Q +-=；2125210p p Q -+=，其中21,p p 为两种商品的价格，总成本函数为2123Q Q C +=，问如何定价可使利润最大？
3. 利用的展开式，求级数
()∑∞
=+-0
1
24
1n n
n 的和。

4. 求解初值问题
五、 附加题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）
1. 设()()()
dx x f x f x f I ⎰
+=20
cos sin sin π
，求I 。

2. 求1
11lim 122n n n n n →∞⎛⎫
++
+
⎪+++⎝
⎭
3. 设 ()2
100x e x x f =，（1）将()x f 展成x 的幂级数，（2）求()
()0200f
单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） C D C D A
填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 4202sin 6sin 32
x x dt t x +⎰
2.
3.
4. 8
5. 1+-='x y y
计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 5. 解：x y y x y y y
y x
z x x d )ln(ln )(ln sin d )(ln ln cos d cos cos -=
6. 解：令t x =+2，原式36216)
3
452(152)2(153
2
353
22
-=-=⋅⋅-=⎰t t tdt t t ．
7. 解：y y
z z z z
x x z d d d d 12-=-
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=x z y y z x z z d 1d 1d 2
)
(2
z x y z z y +=
z
x z
z x +=
8. 解：⎰
⎰
--2
40
2
2
2
15
y xdx dy y 原式＝64)4(2
22=-=⎰dy y y
解答下列各题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）
1. 解：dx x x V ⎰
-=4
22)sin (cos π
π
6分 dx x ⎰=40
2cos π
π
8分
.
2
2sin 2
4
π
π
π
=
=x
10分
2. 解：2211Q p Q p R +=
=-=C R L ++--)8)(3(211p p p )5210)(2(212p p p -+-
4分
令⎩⎨⎧
=-+='
=+-='0
103170327212121p p L p p L p p ⇒
111=p ，52=p （唯一驻点） 7分
⇒
)5,11(m ax L L =
10分 3. 解： 因为 ()()220
111,11n n
n x x x ∞
==-∈-+∑
4分
所以 7分
所以
()π=+-∑∞
=0
1
24
1n n
n 10分
4. 解：将积分方程化为微分方程：02=+'+''y y y
2分 特征方程：0122
=++r r 12,1-=r
4分 通解：)(21x c c e y x
+=- )(212x c c c e y x
--='∴- 6分 由原方程得另一初值条件：1,12-='=+'y y
8分
⎩⎨⎧-=+-=∴11
211
c c c
⎩⎨⎧==∴01
2
1c c x e y -=∴
10分
附加题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）
1. 解：()()()dx x f x f x f I ⎰
+=
20
cos sin sin π
()()()
20cos sin cos f x dx f x f x π
=+⎰
⇒ ()()()()2
200sin cos 112sin cos 24
f x f x I dx dx f x f x πππ+===+⎰
⎰ 2. 解：原式2201
11
1lim ln 311n
n i dx i n x n
→∞====++∑⎰ 3. 解：（1）()2
100x e x x f =∑∞
==02100
!)(n n n x x ∑
∞
=+=0
100
2!n n n x （2）取50=n ，对上式两边求0=x 处的200阶导数得()
()!
50!2000200=f。