第二节定积分在几何上的应用

极点是曲线的渐近点 y rsin a sin
lim y a
θ 0
y a是曲线的渐近线
这里 从 0 +
0
a
.
r
. .
双曲螺线
ra
当 从 0 –
a
.
0
r
.
例6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的面积.
y x A1
2 a2 cos 2
例7 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形的面积
y y
d
x=g(y)
c
x
0
x
0
求旋转体侧面积A x= g (y)绕 y 轴旋转
y
d
..
dA=2 g(y)ds
y
.
x=g(y)
ds (ds是曲线的弧微分)
ds [g( y)] dy
c
x
0
故旋转体侧面积 A
d
2π g( y)
1 [g( y)]2 dy
c
平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
第六章 定积分的应用
第二节 定积分的几何应用
平面图形面积
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
oa
y f1( x)
bx
曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
情形1：［X－型］:垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最
多交两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹 在两直线中间.
a
o
a
x
2a
.
心形线
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
r = a (1+cos )
r
0 2
0 r 2a
o
P
x
2a
.
双纽线 FF 2a, 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a2 )
r 2 2a 2 cos 2 cos2 0
y
直角系方程
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 )
(a 0).
例8 求曲线 r cosθ 及 r cosθ 分别所围成的图形的公共
部分的面积
r =3cos
y
π
o3
S
2
x
3
=1+cos
例9 求 曲 线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分 别 所 围 成 的 图 形 的 公共
部分的面积
y
θ π 4 θ π 6
0
1x
.
例10 求由双纽线
(x y ) a(x y )
所围而且在圆周
x
y
a2 2
内部的面积。
y
θ π 4 θ π 6
0
a
ax
空间立体的体积
1 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋 转轴．
圆柱
圆锥
圆台
求旋转体体积
曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转
a
b
例2 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下
垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系
后, 悬链线的方程为
y
cch
x c
,
其中
c
为常数.
计算
悬链线上 介于 x b与 x b 之间一段弧的长度.
参数方程情形
设曲线弧为
x y
(t (t
) )
( t )
其中(t), (t)在[ , ]上具有连续导数.
x cos t
于椭圆 y
(0 x 2 ) 的周长.
1 a2 sin t
极坐标情形
设曲线弧方程为 r r( ) ( ), 其中r( ) 在[ , ]上具有连续导数.
旋转而成旋转体的体积.
例6 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围的图形 绕直线 x 3 旋转而成旋转体的体积.
平行截面面积为已知的立体的体积
b
.
V a A( x)dx
dV=A(x)dx
A(x)
a
V x
b
x
已知平行截面面积为 A(x)的立体
例7 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
在[a, b]上有一阶连续导数
由第三章的弧微分公式知
dy
ds 1 y2dx
o a x x dx b x
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
就是弧长元素 ds 1 y2dx
弧长
s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线
y
2 3
x
3
2上
相应于
x
从
a
到
b
的一段
弧的长度.
dV=2 x f (x)dx
y
f (x)
0
dx
0a x
.
b
x
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
dV=2 x f (x)dx
b
V xf ( x)d. x a
Yy
f (x)
0
dx
0a
.
b
x
z
求旋转体体积 曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y d
x=g(y)
c x
0
求旋转体体积 曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y d
.
x=g(y)
c
x 0
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
V
d c
g ( y)dy. .
y
c
.
x=g(y)
x 0
.
例5 求曲线 xy 4, y 1, x 0 所围的图形 绕 y 轴
i 1
曲线弧AB 的弧长.
定理 光滑曲线弧是可求长的。
简介 光滑曲线
当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的 移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。
如y x2就是一条光滑曲线。
1
4
0.5
3
2 1
-2
-1
1
2
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
-1
y x2
y sin x
2 直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
弧长
s
2(t) 2(t)dt.
例3 求圆 x2 y2 R2 的周长.
例4 计算曲线（星形线）x a cos3 t, y a sin3 t
的全长.
例5
求摆线
x
y
a(t a(1
sin t) (a
cos t)
0,0
t
2
) 一支
的弧长.
例6 证明正弦线 y a sin x(0 x 2 ) 的弧长等
旋转构成旋转体的体积.
y( x)
a
2a
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
y
f (x)
dx 0a x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
内表面积
dV=2 x f (x)dx
2π xf ( x)
图形区域为： a x b,
1( x) y 2( x).
则面积
b
a [2(x) 1(x)]dx
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
情形2：
［Y－型］:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相
交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区 域被夹在两直线中间.
图形区域为： c y d, 1( y) x 2( y).
A
D
–R
S(y)
o
B
R
C (x, y)
R
x
y
.
例8 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。
y
h
–R
o
R
x
例8 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。
y
h
A(x) y
–R
o
x
R
x
.
.
.
求旋转体侧面积A x= g (y)绕 y 轴旋转
y
wk.baidu.com
3at 2 t3 1
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
介绍： 星形线
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
–a
y
a 4
o
ax
y
星形线
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y R2 x2
o
R
y
x
例7 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
–R
o
R
y
.
R
x
例7 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
–R
o
x R
x
R y tan
(x, y), y R2 x2
y
.
例7 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
y x4
y2 2x
例3 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
例4 求抛物线 y x x 与其在点(0,)和点(3,0)处的
切线所围成图形的面积
y
l1
l2
o
3
x
–3
参数方程情形
(0,
) ( 3
,
5
)
7
(
,2
)
4 44
4
.
F (a,0)
0
P
r
F (a,0)
2a x
阿基米德螺线
r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
阿基米德螺线
r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
dS ( ) d
3 作定积分 r
S [ ( )] d
介绍： 心形线
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
a
o
a
x
心形线
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
.
a
o
a
x
心形线
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
设 A 、 B 是 曲 线 弧 AB 上 y
的两个端点，在弧上插入
分 点 A M0 , M1,Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无
限 增 加 且 每 个 小 弧 段 M i1M i 都 缩 向 一 点 时 ，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
P
r
h
x
例2
计算则由椭圆
x2 a2
y2 b2
1围成的平面图形 绕
x
轴旋转而成的旋转椭球体的体积.
2
2
2
例3 求星形线 x3 y3 a3 (a 0) 所围的图形
绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积.
例4 计算摆线 x a(t sin t)， y a(1 cos t) 的一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴
–a
o
来看动点的慢动作
ax
.
星形线
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
x
a
cos 3
.
.
–
a
y
a
sin3
y
P
o
ax
0 2
.
极坐标系情形
r =( )
元素法
1 取极角为积分变量，
其变化区间为[,]
+d
[ , ]
d
o
dS
S
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
y
f (x)
.
dx 0a x
.
b
x
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴 dV=2 x f (x)dx
y
f (x)
0a
.
b
x
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
dV=2 x f (x)dx
y
f (x)
0a
.
b
x
曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
f(x)
a
b
x
求旋转体体积
曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转
. dV f 2 ( x)dx
f(x)
a
x x+dx
b
x
V = b f ( x)dx a
.
例1 连接坐标原点 o及点 p(h,r )的直线、直线 x h 及 x 轴围成一个直角三角形. 将它绕 x 轴旋转构成 一个半径为 r,高为h的圆锥体, 计算圆锥体的体积.
如果曲边梯形的曲边表达为参数方程:
L
:
x y
(t (t
) )
其中, 在[t1, t2 ](或[t2 ,t1])上 x (t )具有连续导数,
y (t) 连续.
则曲边梯形的面积可表达为
A
b
ydx
t2 (t )(t )dt,
a
t1
其中 t1 和 t2 对应曲线起点与终点的参数值.
例5
0
r
.
阿基米德螺线
r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线 动点在射线上作等速运动 同时此射线又绕极点作等速转动
0
请问：动点的轨迹什么样？
r
.
阿基米德螺线
r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
阿基米德螺线
r =a 当 从 0 –
0
r
.
双曲螺线
ra
lim r 0 θ
则面积
d
c [2( y) 1( y)]dy.
d
x 1( y) D x 2( y)
c
情形3：
若图形区域如图，既不是X-型，又不是Y-型 则必须分割.
利用面积可加性
AD AD1 AD2 AD3
D3 D1
D2
例1 计算由 y2 x 和 y x2所围成的图形的面积.
x y2 y x2
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1 的面积.
介绍：旋轮线（摆线） 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
2a at
0
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
a
2a
x
.
狄卡儿叶形线
x
3at t3 1