基于贝叶斯推理的标准k_湍流模型参数识别

Identification of Parameters for Standard k － ε Turbulence Model Based on Bayesian Inference
ZHU Song1 ， LIU Guohua2* ， MAO Xinwei2 ， CHENG Weiping2 ，Huang Yuefei3
［ 7］
x 为未知参数， y 为测量数据。 p（ x） 为参数的 式中， 先验概率密度， 对于参数识别反问题， 其表示了在无 任何该问题的数据时未知参数的分布规律 ， 一般来 源于已有历史资料或经验； p（ y | x） 为似然函数， 代 表在参数 x 已知的条件下， 观测数据的分布规律， 在 反问题中对应正演计算， 此外测量噪声也体现在似 然函数中； p（ x | y） 为后验概率密度函数， 代表在测 量数据 y 获得之后未知参数 x 的分布规律， 因而使用
（ 1． Guangdong Electric Power Design Inst． ， Guangzhou 510663 ，China； 2． College of Civil Eng． and Architecture， Zhejiang Univ． ，Hangzhou 310058 ，China； 3． Dept． of Hydraulic Eng． ，Tsinghua Univ． ，Beijing 10084 ，China）
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(
－
)
（ 2） ρ
ρ
ε ε + ρu k t x k
( ) η ε = + + x [ ( η σ ) x ] c u u u ε －c ρ η k x ( x + x ) k
u i u i u j － ρε + x j x j x i
t k ε k 1 i i j t 2 j j i －
RANS 方程， 控制方程如下：
－
ui = 0 x i
－ － － －
（ 1）
（ ρ u i ） （ ρ u i u j ） p ui =－ + + － ρ u ＇i u ＇j η t x x x j i j x j k k + ρu j = t x j x j ηt η k [(η + σ ) x ] +
第4 期
朱
嵩， 等： 基于贝叶斯推理的标准 k － ε 湍流模型参数识别
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参数的选取仍然采用手工调节的方法， 即通过试错 来使预测值接近实测值。 这主要受客观条件的限 即湍流模型参数的识别 （ 估计 ） 一般需要迭代调 制， 用较为耗时的正向计算 （ 例如采用有限体积法或有 限单元法等方法求解 ） ， 因而一般在具有高性能计 算的条件下才能开展相关研究。然而目前随着并行 计算技术的发展和相关计算方法的提出， 对湍流模 型参数识别 （ 估计 ） 已经较为现实。 开展湍流的模 型参数识别（ 估计） 十分重要和必要， 它有助于建立 可靠和准确的湍流模型从而提高预测精度 。 标准 k － ε 模型是 Jones 等人于 1972 年提出的 ［ 2］ 一种两方程湍流模型 ， 其模型简单而又能满足一 般的工程问题， 因而得到了广泛的应用， 目前大量的 计算流体动力学商业软件都包含了此模型。 对于 k Raiszadeh 等人较早地提出 － ε 模型参数识别问题， ［ 3］ 和研究了 k － ε 模型的参数敏感性问题 。钱炜祺 等人研究了 3 种典型流动条件下的 k － ε 模型的参 ［ 4］ 数识别问题 。 他们均指出敏感性分析和参数识 但由 别手段是提高湍流预测精度的一种重要手段 ， 于流动条件的复杂性很难对众多的流动做出一个普 适的结论， 需要针对不同的流动具体地加以研究相 关参数。 作者拟选取很有代表性的、 考验湍流模型适用 性的后台阶流动作为参数识别的研究对象 。一般湍 Stokes 方 程 流 模 型 都 是 基 于 雷 诺 时 均 Navier（ RANS） 的， 相关研究还很少。 作为研究基础， 基于 NavierStokes 方程的参数识别可参见文献［ 5］ 。 在参数识别的方法上， 采用最优化方法是一种 经典的方法， 在湍流模型参数识别上的运用可参见 4］ 文献［ 等。虽然最优化方法易于实施且计算效率 较高， 但若考虑测量噪声、 模型误差对参数识别的影 响时， 采用最优化方法建模往往较为困难。 作者采 用贝叶斯推理对湍流模型进行参数识别和分析 ， 这 种方法能够统筹考虑测量噪声、 先验信息等不确定 性对参数识别的影响， 它认为参数的后验概率分布 即是反问题的解
3087 （ 2010 ） 04007805 文章编号： 1009-
基于贝叶斯推理的标准 k － ε 湍流模型参数识别
朱
1 2* 2 2 3 嵩， 刘国华 ， 毛欣炜 ， 程伟平 ， 黄跃飞 3． 清华大学 水利水电工程系， 北京 100084 ） （ 1． 广东省电力设计研究院， 广东 广州 510663 ； 2． 浙江大学 建筑工程学院， 浙江 杭州 310058 ；
第 42 卷
后验概率作为反问题解是天然合理。 使用后验概率 作为反问题的解可以同时考虑先验信息和和测量噪 声对参数识别的影响。 关于应用贝叶斯推理求解反 6］ 。 问题可参见文献［ 2． 2 马尔科夫链蒙特卡罗抽样技术 马 尔 科 夫 链 蒙 特 卡 罗 （ Markov chain Monte Carlo，MCMC ） 抽样技术特别适用于高维 （ 识别变量 多） 复杂（ 无简单的正演映射， 需采用数值解 ） 后验 参数分布的抽样。MCMC 方法是采用随机游走方式 它广泛应用于以贝叶斯推理 的一种机器学习方法， 为基础的概率反演中。 该方法主要利用了 Markov Has链的无后效性， 通过特定的规则 （ 如 Metropolistings 算法等） 使得随机游走产生的样本符合目标概 率分布。 MetropolisHastings 算法是由 Metropolis 及其学 生 Hastings 分别在 1953 年和 1970 年提出并发展起 来的一种抽样算法
遇到的湍流问题， 求解精度也能够满足解决实际问 题的需要。一般而言， 采用湍流模型求解流体问题 的可靠性和准确性主要来源于两个方面： 湍流模型 结构的特性与湍流模型参数选取的合理性 。迄今为 止， 对湍流模型结构的特性开展研究得较多 ， 取得了 ［ 1］ 较为丰富的研究成果 。 湍流模型的参数合理化 选择问题， 它本质上是一个湍流模型参数识别 （ 估 计） 问题， 研究得相对较少。 现阶段工程湍流模型
Abstract ： To decrease the numerical error in the engineering turbulence problem，which comes from the uncertainty of turbulence model，a Bayesian method was developed to identify the parameters for widely used k － ε turbulence model based on the back step flow． The method combines direct computation with finite element method and inverse computation with MetropolisHastings sampling algorithm，which can give the posterior distribution of standard k － ε model parameters once the velocity on some observation sites are known． Case computation indicated that after parameter identification the computation has a lower numerical error than that without parameter identification． Key words： k － ε turbulence model； parameter identification； MetropolisHastings algorithm； Bayesian inference； inverse problems
。此外， 由于湍流模型参
数识别反问题是一类不适定的稳定， 主要表现为解 即从控制参数到计算数据的映射是多 得非唯一性， 对一的。此时采用参数后验分布计算分析方法能给 ［ 8］ 出其多个局部最优解 ， 这也是开展基于不确定性 的参数后验分析的一个重要目的 。目前很少有关于
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四川大学学报（ 工程科学版）
［ 9 － 10 ］
虽然湍流问题还没有从根本上得到解决， 但目 前已经可以通过使用湍流模型的办法来求解工程上
收稿日期： 2009 － 09 － 11 基金项目： 国家 973 计划资助项目（ 2005CB724202 ） ； 国家自然 科学基金资助项目（ 50879075 ） 作者简介： 朱 嵩 （ 1981 － ） ， 男， 博士后． 研究方向： 计算流体力 mail： zhusong． zju@ hotmail． com 学． E* 通讯联系人 Email： zjuliu@ 163． com
摘
要： 为了降低湍流模型湍流参数不确定性给工程湍流问题求解带来数值误差， 以后台阶流动为例研究了适用
范围很广的 k － ε 湍流模型的参数识别问题 。针对模型和实验数据的不确定性而采用了贝叶斯概率反演方法， 该 Hastings 抽样算法的反向计算， 方法集成了有限单元法的正向计算和 Metropolis从而给出在流速测量值已知的条 件下标准 k － ε 湍流模型参数的后验概率分布 。算例计算表明， 采用参数识别后的参数值进行计算比传统推荐值 有效地降低了数值误差 。 Hastings 算法； 贝叶斯推理； 反问题 关键词： 标准 k － ε 湍流模型； 参数识别； Metropolis中图分类号： O242． 2 ； O357． 5 文献标识码： A
［ 6］
湍流模型参数的后验分析的相关报道 。 作者拟采用贝叶斯推理结合马尔科夫链蒙特卡 以后台阶标准算例为 罗抽样作为参数识别的手段， c1 、 c2 、 背景对标准 k － ε 模型的 5 个控制参数 （ c u 、 σ k 和 σ ε ） 的进行后验分析。
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标准 k － ε 湍流模型
k － ε 模型属于涡粘性模型， 采用 k － ε 模型封闭
第 42 卷 第 4 期 2010 年 7 月
四川大学学报（ 工程科学版）
JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY （ ENGINEERING SCIENCE EDITION）
Vol． 42 No． 4 July 2010

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2． 1
参数识别及后验计算方法
贝叶斯推理
贝叶斯推理是一种通过测量数据把先验信息转 化为后验信息的一种知识发现过程， 其数学基础为 贝叶斯定理， 可用如式（ 5 ） 表达， p（ x） p（ y | x） p（ x | y） = p（ y） （ 5）
。 在后验概率分布的基础上， 可
以对参数进行后验分析， 能够得到关于模型参数的 ， 各种统计量 能更准确刻画在实测数据已知的条件 下模型参数的分布情况
（ 3）
2
（ 4）
－
u i 为 i 方向上的时均流速， p 式中， ρ 为流体的密度， u i ' 为 i 方向上的脉动流速； k 为湍 为压强的时均值， ε 为湍流耗散率， η t 为湍流粘性系数。 在k －ε 动能，
2 k － ε 湍流模型参数主要有 c u 、 模型中， η t = c u ρk / ε。 c1 、 c2 、 σk 和 σε ， 它们是本文研究的 5 个控制参数。