初中数学：经典几何模型大汇总(扫描版)

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型 ----旋转型全等D（1）等边三角形OOC ECA图 1BA图 2【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形；【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 均分∠ AEDD（2）等腰直角三角形OCEABA图 1D EBDOECB图 2【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 均分∠ AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形DOOC【条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形；DE且∠ COD=∠AOBE【结论】：①△ OAC ≌△ OBD ； C②∠ AEB=∠AOB ；③OE 均分∠ AEDA 图 1BA图 2 BO O二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况D【条件】： CD ∥ AB ，CD将△ OCD 旋转至右图的地址A B 【结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOAO（2）特别情况C D【条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的地址A B【结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ；③ BDOD OB tan ∠ OCD ；④ BD ⊥AC ； ACOC OA⑤连接 AD 、 BC ，必有 AD 2BC222；⑥ S △BCDABCD三、模型三、对角互补模型（1）全等型 -90 °【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 均分∠ AOBECABDOCEA B1AC BD 2 ACDOE B图 1【结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCES△OCDS△OCE1 OC 2A2证明提示：CM①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEND②过点 C 作 CF ⊥ OC ，如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：ON EB图 2以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ；A1OC 2AMC③S△OCES△OCD2CDONBEO图 3 EF BD图 4（2）全等型 -120 °【条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC均分∠ AOB【结论】：① CD=CE；② OD+OE=OC；③S△DCE S△OCD S△OCE 3 OC24证明提示：①可参照“全等型-90 °”证法一；②如右以下图：在OB上取一点F，使 OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。

这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。

同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。

如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。

在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。

题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。

证明CD等于GF。

题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。

证明△PBC是正三角形。

题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。

证明A2B2C2D2是正方形。

题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。

证明∠DEN＝∠F。

题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。

1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。

1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。

PB+PC>BC。

PC+PA>CA。

将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。

2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。

由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。

初中数学几何必杀技八大模型(pdf)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH ）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD 均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD ；②ZAEB=60°；③EO 平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD 均为等腰直角三角形.结论:①左QAC 丝△OBD ；②ZAEB=90°；③EO 平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD 均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD.结论:①左OAC^/\OBD ；②ZAEB=ZAOB ；③EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB,AOACco AOBD ；②延长AC 交BD 于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB,AOACco AOBD,②连接AC,BD 交于点E,必有ZBEC=ZBOA ；®|^=^=^=tanZOCD ；@BD±AC ;⑤连接AD,BC,必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；⑥S mABCD =yACX BD （对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB =ZDCE=90°；②OC 平分ZAOB.结论：®CD=CE ；②OD+OE=7^OC ；③=扌8气证明提示：①过点C 作CM 丄OA 于点M,CN 丄OB 于点N,如图②，证明△CDM^△CEN；②过点C 作CF 丄。

C,如图③，证明△ODC^AFEC.当ZECD 的一边交A 。

的延长线于点D 时，如图④，结论：（DCD=CE （不变）；②OE—OD=72OC ；③S ACCE —S A0CD =yOC 2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试.A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB=2ZDCE=120°；②OC平分ZAOB.结论:①CD=CE；②OD+OE=OC；③S*+S ACCE=^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ECF丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD=OC；®S ACCE—Sg=^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB=2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD+OE=2OC-cosa;③S A0CD+S ACCE=OC2•sina•cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C平分ZAOB OD=2OC-cosa；③S ACC£-S ACCD=0C2•sina,cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。

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初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“ 8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

初中数学几何模型大全

初中数学几何模型大全初中数学几何模型大全全等变换：平移：平移是指将平行等线段（平行四边形）沿着相同的方向平移相同的距离。

这种变换可以用来构造平行四边形。

对称：对称变换可以通过角平分线、垂直线或半角来进行。

这种变换可以用来构造对称全等的图形。

旋转：旋转变换是指将相邻等线段绕公共顶点进行旋转。

这种变换可以用来构造旋转全等的图形。

对称全等模型：这种模型是以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型：这种模型是通过翻折构造对称全等的图形。

可以通过上图中的45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称来实现。

翻折后可以得到正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等的图形。

旋转全等模型：半角：这种模型是指相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。

通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，形成对称全等的图形。

自旋转：这种模型是指有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。

可以通过遇到60度旋60度，造等边三角形；遇到90度旋90度，造等腰直角；遇到等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称的方法来实现。

共旋转：这种模型是指有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点。

通过旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

可以通过“8”字模型来证明。

模型变形：这种变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，可以先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：这种模型是指通过两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

初中数学30种模型汇总(最全几何知识点)

10.等面积模型:D是BC的中点
20.平移构造全等
30.二次函数中平行四边形存在性模型
01.三线八角
同位角：找F型
内错角：找Z型
同旁内角：找U型
02.拐角模型
一.锯齿型
1
1
3
2
2
3
4
∠1+∠3=∠2
∠1+∠2=∠3 +∠4
左和＝右和
二.鹰嘴型
1
1
2
3
3
2
∠1+∠3=∠2
∠1+∠3=∠2
鹰嘴＋小＝大
一.大小等边三角形
虚线相等，且夹角为60°
（全等，八字形）
四.大小等腰三角形（顶角为α）
结论：虚线相等，且夹角为α
（全等，八字形）
三. 大小等腰直角三角形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
二.大小正方形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
15.半角模型
条件：正方形ABCD
∠EDF=45°
证：EF=AE+CF
条件：CD=AD,∠ADC=90°
∠EDF=45°
∠A+∠C=180°
证明：EF=AE+CF
条件：AB=AD
∠B+∠D=180°
∠EAF=1 ∠BAD
2
证明：EF=BE+DF
条件：AB=AC,∠BAC=90°
∠DAE=45°
证明：DE2=BD2+CE2
△CEF为直角三角形
初中数学30种模型汇总
(最全几何知识点)
01.三线八角
02.拐角模型
03.等积变换模型

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最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是 45°、30°、22.5°、15°及有一个角是 30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

初中数学：常见的几何模型汇总(高清图片版)

初中常见几何模型汇总全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

初中数学几何模型大全(精心整理)

三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。

三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

【收藏】初中数学经典几何模型大全

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中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1、直接连接中点；
2、连对角线取中点再相连
【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF 的中点，连接GC、GE．
（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.
角平分线模型
【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .
手拉手模型
【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD 的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .
邻边相等的对角互补模型
【例】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF 为 .
半角模型
一线三角模型
弦图模型
最短路径模型
【两点之间线段最短】1、将军饮马
2、费马点【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】。

初中数学-经典几何模型大汇总

初中数学：经典几何模型大汇总
几何作为好多人的学习难点，向来都是好多学生的学习难点。

好多学生在初中几何的学习过程中都会碰到两个问题，一是定理定义记不住，在需要运用时想不起来，二是记着了做题时又不知该用哪个，思想跳跃、逻辑杂乱是好多孩子在学习几何的过程中碰到的问题。

下边瑞德特刘老师分享一组初中几何模型大汇总，邻近期末考试了，有需要的家长能够作为复习资料拿给孩子看看，必定会对孩子的学习有所帮助的。