2015方浩概率强化讲义3

4.条件概率密度：
f ( x, y) Y y 条件下 X 的概率密度： f X Y ( x y ) fY ( y )
(需要确保 fY y 0)
f ( x, y) X x 条件下Y 的概率密度： fY X ( y x ) f X ( x)
(需要确保 f X x 0)
F ( , y ) F ( x , ) F ( , ) 0
3 单调不减： F ( x , y )分别关于 x , y 单调不减 ○
4 右连续性： F ( x , y )分别关于 x , y 右连续 ○
4.边缘分布函数：
FX ( x ) P X x P X x ,Y F ( x, )
'
扩展到多个相互独立的随机变量
4.离散+连续 [ 定义 ] X 为离散型，Y 为连续型，相互独立
Z g ( X ,Y )
[结论] FZ z P X xi f y dy
yi i


[题型一 联合分布函数的概率] 【例】二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数为


其中
pij 0;
p
i 1 j 1

ij
1.
3.边缘分布律：
P X xi P{ X xi ,Y y j } pij pi
j 1 j 1



P Y y j P{ X xi ,Y y j } pij p
bY
2 （需求 2 个参数） N 0 , 0


4 X 和Y 相互独立 0 ○
[注]独立性仅有数字特征决定
（四）二维随机变量函数的分布 1.二维离散型：已知( X ,Y )联合概率分布律为 P X xi ,Y y j Pij ，求 Z g( X ,Y )的分布律 方法：枚举，合并
A发生 B发生 1, ，Y A不发生 0, B不发生
(1)求二维随机变量 X ,Y 的概率分布. (2)说明 X ,Y 是否相互独立
【P349，例 2】
[题型三 二维连续型随机变量] 【例】设随机变量 X ,Y 联合概率密度为
6 x, 0 x y 1 f x, y 其它 0,
2 1 2 1 2 1 ( x 1 )2 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 exp 2 2 2 1 2 2 2(1 ) 1 f ( x, y) 1
其中 1 1
（1）求 X 的边缘概率密度 f X x （2）求 X x 条件下Y 的概率密度 fY X y x
（3）判断随机变量 X ,Y 是否相互独立 （4）求 P X Y 1
【例】设 X ,Y 是二维随机变量， X 的边缘概
3 x 2 ,0＜x＜1 率密度为 f x ( x ) ，在给定 0, 其他 X =x(0＜x＜1)的条件下，Y 的条件概率密度为 3 y2 3 ,0＜y＜x fY | X ( y | x ) x 0, 其他
【例】设随机变量 X ,Y 相互独立， X
FY ( y ) P Y y P X ,Y y F ( , y )
边缘分布 联合分布
（二）二维离散型随机变量 1.定义：( X ,Y )的可能取值是有限或可列对 2.联合分布律：
P X xi ,Y y j pij ,( i , j 1,2, )
X ,Y 相互独立,分布函数分别为 FX x , FY y ，
'
FZ1 z FX z FY z , f Z1 z F z Z 1
FZ2 z 1 1 F z 1 F z , f z F z X Y Z Z 2 2
x y
[应用] P ( X ,Y ) D f ( x , y )dxdy
D
F ( x, y) f x, y . 在 f ( x , y )的连续点上， x y
2
3.边缘概率密度
f X ( x) fY ( y )

f ( x , y )dy; x , y G f ( x , y )dx; x , y G
[性质]
1 ○
( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 ; , ; ) X ~ N 1 ,

2 1
2 1
,Y ~ N ,
2 2 2
2 2
2 aX bY , cX dY 服从二维正态分布； ○
(只管求五个参数即可确定联合分布)
3 aX ○
(1)求 X ,Y 的联合分布律 (2)求Y 的边缘分布 (3)求 X 1条件下Y 的分布 (4)说明随机变量 X ,Y 是否相互独立
1 【例 3.4】设 A, B 为随机事件,且 P A 4 1 1 P B A , P A B ,令 3 2
1, X 0,
5.独立性： 随机变量 X ,Y 相互独立的充要条件是
x , y ， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 G 非矩形区域， X ,Y 不可能独立 [注] ○ 2 若 f x , y 对于 x , y 不可分离， X ,Y 不 ○ 可能独立
6.常见的二维连续型随机变量:
2 2
(1) 求常数 A (2) 求条件概率密度 fY X y x
[题型五 随机变量函数的分布] 【P353，例 5】二维随机变量( X ,Y )概率密度
2 x y ,0 x 1,0 y 1 f ( x, y) 0, 其他
(1)求 Z X Y 的概率密度 f Z ( z ) (2)求 Z XY 的概率密度 f Z ( z )
【P347，例 3】二维随机变量( X ,Y )概率密度
1,0 x 1,0 y 2 x f ( x, y) 0, 其他
(1)求 X ,Y 的边缘概率密度 f X (x), fY (y) (2)求 Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z )
【 P352 ，例 1 】设随机变量 X ,Y 独立同分布， 且 X 分布函数为 F x ，则 Z max X ,Y 的分 布函数为（ ）
1 ,( x , y ) G , （ 1 ）二维均匀分布： f ( x , y ) SG ， 0, ( x , y ) G ,
称( X ,Y )服从区域G 上的二维均匀分布. [注] X ,Y 相互独立
（2）二维正态分布（5 个参数） [定义]：( X ,Y ) ~ N ( 1 , 2 ; 12 , 22 ; )
2.二维连续型：已知( X ,Y )联合概率密度为 f x , y ，求 Z g( X ,Y )的概率密度 方法：
1 分布函数法：先求 Z 的分布函数 ○ z FZ ( z ) P g X ,Y z，求导 f Z z FZ
2 卷积公式法（ Z g( X ,Y )） ○
【P356，3】设 X ,Y 服从二维正态分布，且 X ,Y 不相关， f X x , fY y 分别为 X ,Y 边缘概 率密度，则Y y 条件下 X 概率密度 f X Y x y 为（ ）
A f X x C f X x fY y
（Ⅰ）求( X ,Y )的联合概率密度 f ( x , y ) （Ⅱ）求Y 的边缘概率密度 fY ( y ) （Ⅲ）求概率 P{ X 2Y }
[题型四 二维正态分布] 【例】设二维随机变量 X ,Y 服从二维正态 分布，则下列说法正确的是( )
A X ,Y 一定相互独立 B X ,Y 非零组合 l1 X l2Y 服从一维正态分布 C X ,Y 必服从同一分布 D X 服从标准正态分布
Y Z X
fZ (z)

f ( x , z x )dx

பைடு நூலகம்
f ( z y , y )dy
Z X Y
fZ (z)

f ( x , x z )dx


f ( y z , y )dy
3.较大值与较小值
Z1 max X ,Y ， Z 2 min X ,Y ，


P X xi ,Y y j P X xi

p
ij
pi .
, j 1,2,
，
5.[独立性] 对任意 i , j ，
P X xi , Y y j P X x i P Y y j




称二维离散型随机变量 X ,Y 相互独立，否则 X ,Y 不独立
第三章 多维随机变量及其分布
（一）二维随机变量及其分布函数 1.二维随机变量： 2.二维随机变量联合分布函数： F ( x , y ) P { X x ,Y y }
3.联合分布函数的性质
1 非负性： 0 F ( x , y ) 1, x , y R ； ○ 2 规范性： F ( , ) 1 ○
B F x F y
1 F x C 1 D 1 F x 1 F y
2
2 A F x
【例】设随机变量 X 和Y 相互独立，分别服 从参数为 1 与 2 的指数分布，V min( X ,Y ). 求随机变量V 的概率密度
F x, y 1
x , y .分别求随机变量 X ,Y

2
A arctan x B arctan 2 y ，
的边缘分布函数.
[题型二 二维离散型随机变量] 【P351，2】袋子中有 1 只红球，2 只黑球， 3 只白球，现有放回的从中取两次，每次取 一球，以 X ,Y 分别表示两次取球中取到红球 与黑球的个数.
B fY y
D f X x /
fY y
1 1 【例】已知( X ,Y ) ~ N (0,0; , ;0) 2 2
(1) Z X 2 Y 2,求随机变量 Z 的概率密度
fZ z
3Y (2)求概率 P X 2
【例】设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为 2 x 2 xy y f ( x , y ) Ae , x .
i 1 i 1



j
4.条件分布律:
Y y j 条件下 X 的条件分布律：
P X xi Y y j


P X xi ,Y y j P Y yj




pij p. j
, i 1,2,
，
X xi 条件下Y 的条件分布律.
P Y y j X xi
X ,Y 不独立 [注] pij 0
（三）二维连续型随机变量 1.定义： F ( x , y ) f ( u, v )dudv 2.联合概率密度 f x , y
1 非负性： f ( x , y ) 0 ； x , y R [性质]：○ 2 规范性： ○ f ( x, y )dxdy 1