上海2018届高三二模数学卷汇总(全)
2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=2．（4分）不等式＜0的解集为．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3=4，a4=﹣8，则S5= 4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）= 5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为7．（5分）满足约束条件的目标函数f=3x+2y的最大值为8．（5分）函数f（x）=cos2x+，x∈R的单调递增区间为9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||=||•||；（3）（）=），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f （x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若=0，求角C的大小；（2）若sinA=，C=，c=，求△ABC的面积．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2=1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．20．（16分）已知函数y=f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）=﹣2f （x）．（1）若f（1）=﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，求函数y=f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．21．（18分）已知数列{a n}中a1=1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n=a n+k ﹣k（k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数得|a﹣a n﹣1列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1=a2=…=a k=1，证明：a n+2k≥（1）n ﹣k．2018年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=2【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法．【分析】变形得到，而，从而求出该极限的值．【解答】解：．故答案为：2．【点评】考查数列极限的定义及求法，知道．2．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．3．（4分）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3=4，a4=﹣8，则S5= 11【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】36：整体思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合数列前n项和公式的定义进行求解即可．【解答】解：∵a3=4，a4=﹣8，∴公比q===﹣2，则a2=﹣2，a1=1，a5=16，则S5=1﹣2+4﹣8+16=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．4．（4分）已知f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，则f﹣1（2）=3【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】令f（x）=log2（x+1）=2，解得x值，进而可得答案．【解答】解：∵f﹣1（x）是函数f（x）=log2（x+1）的反函数，令f（x）=log2（x+1）=2，解得：x=3，故f﹣1（2）=3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是反函数，函数与方程思想，转化思想，难度中档．5．（4分）（）9二项展开式中的常数项为84【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：（）9的展开式的通项为=．取，得r=3．∴（）9二项展开式中的常数项为．故答案为：84．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．6．（4分）椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0）【考点】QL：椭圆的参数方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得椭圆的右焦点坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+=1，其中a=2，b=，则c=1；故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意将椭圆的参数方程变形为普通方程．7．（5分）满足约束条件的目标函数f=3x+2y的最大值为【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．化目标函数f=3x+2y为y=﹣x+，由图可知，当直线y=﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，f有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）函数f（x）=cos2x+，x∈R的单调递增区间为[，]，k∈Z．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数性质即可求单调性；【解答】解：函数f（x）=cos2x+=cos2x+sin2x+=sin（2x+），令2x+，k∈Z．可得：≤x≤，∴单调递增区间为[，]，k∈Z．故答案为：[，]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．9．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为4米【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，求出抛物线的方程，进而利用当水面下降1米后，y=﹣3，可求水面宽度．【解答】解：由题意，设y=ax2，代入（4，﹣2），∴a=﹣，∴﹣3=﹣x2，解得x=2∴水面的宽为4，故答案为：4【点评】本题以实际问题为载体，考查抛物线方程的建立，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，1）、（0，1，1）、（1，1，0），则该四面体的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．利用正方体的体积与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的体积与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】由题意可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果对于任意x∈[1，2]，f（ax+1）≤f（x﹣3）恒成立，可得|ax+1|≤|x﹣3|在x∈[1，2]恒成立，即有|ax+1|≤3﹣x，即x﹣3≤ax+1≤3﹣x，可得x﹣4≤ax≤2﹣x，即1﹣≤a≤﹣1在x∈[1，2]恒成立，由y=1﹣在x∈[1，2]递增，可得y的最大值为1﹣2=﹣1；y=﹣1在x∈[1，2]递减，可得y的最小值为1﹣1=0，则﹣1≤a≤0，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性：求最值，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1，n]上存在m+1个实数a0、a1、a2、…a m，使得f（a0）＞f（a1）+f（a2）+…+f（a m）成立，则m的最大值为6【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】求出n+的最小值，得出f（x）在此区间上的最值，根据最值的倍数关系得出m的值．【解答】解：∵n为正整数，∴n+≥，∴f（x）在区间[1，]上最大值为f（）=，最小值为f（）=，∵=×6+，∴m的最大值为6．故最大值为6．【点评】本题考查了二次函数的最值计算，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为（）A．B．C．，D．，【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据方程x2﹣px+1=0有两虚根x1、x2，知△＜0，写出方程x2﹣px+1=0的两虚根，由|x1﹣x2|=1求得实数p的值．【解答】解：方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，∴△=p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2，∴方程x2﹣px+1=0的两虚根为x1、x2，即x1=，x2=，∴|x1﹣x2|==1，解得p=±．故选：A．【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．14．（5分）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||；（2）||=||•||；（3）（）=），正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】49：综合法；5A：平面向量及应用；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据在复数运算性质、向量运算的性质即可判断出结论．【解答】解：根据在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|；（2）|z1•z2|=|z1|•|z2|；（3）（z1•z2）•z3=z1•（z2•z3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）||≤||+||，正确；（2）而||=||•||cos＜＞，因此不正确；（3）由于与不一定共线，因此（）=）不正确．因此正确的个数是1．故选：B．【点评】本题考查了复数运算性质、向量运算的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，是一道基础题．16．（5分）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数y=f （x）满足：（1）Q={f（x）|x∈P}；（2）对任意x1，x2∈P，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合构成“P→Q恒等态射”，以下集合可以构成“P→Q恒等态射”的是（）A．R→Z B．Z→Q C．[1，2]→（0，1）D．（1，2）→R 【考点】3C：映射．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用题目给出的“P→Q恒等态射”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即Q是函数的值域，且函数为定义域上的增函数，即可得到要选择的答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为P，单调递增，值域为Q，由此判断，对于A，定义域为R，值域为整数集，且为递增函数，找不出这样的函数；对于B，定义域为Z，值域为Q，且为递增函数，找不出这样的函数；对于C，定义域为[1，2]，值域为（0，1），且为递增函数，找不出这样的函数；对于D，可取f（x）=tan（πx﹣），且f（x）在（1，2）递增，可得值域为R，满足题意．故选：D．【点评】本题考查映射的定义和判断，考查构造函数的能力，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=2能求出圆锥的全面积．（2）以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面AOB所成角．【解答】解：（1）∵圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=2，∴圆锥的全面积S=πrl+πr2=+π×22=（4+4）π．（2）∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，OA==6，C（2，0，0），A（0，0，6），B（0，2，0），D（0，1，3），=（2，﹣1，﹣3），平面ABO的法向量=（1，0，0），设直线CD与平面AOB所成角为θ，则sinθ===．∴θ=arcsin．∴直线CD与平面AOB所成角为arcsin．【点评】本题考查圆锥的全面积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）在△ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边．（1）若=0，求角C的大小；（2）若sinA=，C=，c=，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；58：解三角形．【分析】（1）根据矩阵的计算法则，可得2csinC=（2a﹣b）sinA•（1+），利用公式化简可得角C的大小．（2）根据正弦定理求解a，由余弦定理求解b，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意，2csinC=（2a﹣b）sinA•（1+），即2csinC=（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB由正弦定理得2c2=（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．∴c2=a2+b2﹣ab．∴cosC=．∵0＜C＜π．∴C=（2）由sinA=，C=，c=，根据正弦定理：，可得：a=由a＜c即A＜C，∴cosA=那么：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=故得△ABC的面积S=acsinB=．【点评】本题考查△ABC的面积的求法，正弦余弦定理的合理运用．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：x2﹣y2=1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】38：对应思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；（2）设直线MN的方程为y=kx﹣1，联立方程组消元，根据方程在（1，+∞）上有两解求出k的范围，得出线段MN的中垂线方程，从而得出截距t关于k 的函数，得出t的范围．【解答】解：（1）双曲线的右焦点为F2（，0），渐近线方程为：x±y=0．∴F2到渐近线的距离为=1，∴圆的方程为（x﹣）2+y2=1．（2）设经过点P的直线方程为y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y得：（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，∴，解得1＜k＜．∴MN的中点为（，），∴线段MN的中垂线方程为：y+=﹣（x+），令x=0得截距t==＞2．即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．20．（16分）已知函数y=f（x）定义域为R，对于任意x∈R恒有f（2x）=﹣2f （x）．（1）若f（1）=﹣3，求f（16）的值；（2）若x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，求函数y=f（x），x∈（1，8]的解析式及值域；（3）若x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（1）=﹣3，f（2x）=﹣2f（x）．即可求解f（2），f（4）依此类推，即可求解求f（16）的值；（2）根据x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，结合f（2x）=﹣2f（x）．即可递推出x∈（1，8]的解析式及值域；（3）根据x∈（1，2]时，f（x）=﹣|x﹣|，根据规律，即可求y=f（x）在区间（1，2n]，n∈N*上的最大值与最小值．【解答】解：1）f（1）=﹣3，f（2x）=﹣2f（x）．那么f（2）=﹣2f（1）=﹣3×（﹣2）∴f（4）=f（22）=﹣2f（2）=﹣3×（﹣2）2∴f（23）=﹣3×（﹣2）3∴f（16）=f（24）=﹣3×（﹣2）4=﹣48（2）由f（2x）=﹣2f（x）．可得f（x）=﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）=x2﹣2x+2，那么：x∈（2，4]时，f（x）=﹣2f（）=﹣2[）]=那么：x∈（4，8]时，f（x）=﹣2f（）=﹣2[]=故得x∈（1，8]的解析式为f（x）=根据二次函数的性质，可得值域为[﹣4，﹣2）∪（1，2]∪（4，8]．（3）（2）由f（2x）=﹣2f（x）．可得f（x）=﹣2f（）当x∈（1，2]时，f（x）=﹣||，得当x∈（2，22]时，f（x）=﹣2f（）=|x﹣3|；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（1，2]，f（x）=﹣2f（）=（﹣2）n﹣1f（）=（﹣1）n|x﹣3•2n﹣2|；当x∈（2n﹣1，2n]时，n为奇数时，f（x）=|x﹣3•2n﹣2|∈[，0]当x∈（2n﹣1，2n]时，n为偶数时，f（x）=﹣|x﹣3•2n﹣2|∈[0，]综上：n=1时，f（x）在（1，2]上最大值为0，最小值为n≥2，n为偶数时，f（x）在（1，2n]上最大值为，最小值为n≥3，n为奇数时，f（x）在（1，2n]上最小值为﹣，最大值为．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了阅读、转化的能力，解决本题的关键是利用已知定义转化为函数的恒成立问题，结合二次函数的性质可进行求解．属于压轴题．21．（18分）已知数列{a n}中a1=1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n=a n+k ﹣k（k是常数，且k∈N*）成立，则称数列{a n}为“H（k）数列”．（1）若数列{a n}为“H（1）数列”，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}为“H（2）数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{a n}，使a n+1|≤40对一切n≥2，n∈N*恒成立？如果存在，求出这样数得|a﹣a n﹣1列{a n}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3）若数列{a n}为“H（k）数列”，且a1=a2=…=a k=1，证明：a n+2k≥（1）n ﹣k．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）数列{a n}为“H（1）数列”，可得S n=a n+1﹣1，S n+1=a n+2﹣1，两式相减=2a n+1，又n=1时，a1=a2﹣1，可得a2=2=2a1．利用等比数列的通项公得：a n+2式可得a n，即可得出S n．（2）S n=a n+2﹣2，S n+1=a n+3﹣2，相减可得：a n+1=a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2=a n+3，n≥2时，a n+2=a n+1+a n（n≥2），n≥3时，﹣a n a n+2=﹣a n（a n+1+a n）=a n+1（a n+1﹣a n）﹣，可得：|﹣a n a n+2|=|a﹣a n﹣1a n+1|，|a﹣a n﹣1a n+1|=（n≥3），根据a4=a3+a2．可得|a﹣a n﹣1a n+1|=|﹣a2a3﹣|，由S1=a3﹣2，a1=1，可得：a3=3，可得≤40，且≤40．解得：a2．=S n+k，a n﹣1+k=S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k=a n+k﹣1+a n，a k+1=S1+k＞0，由归（3）a n+k＞0，……，a n＞0，a1=a2=……=a k=1，a k+1=k+1，由归纳知，a n≤a n+1．纳知，a k+2=a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1=2a n+k﹣1，n≥2，a n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，可得a n+k a n+k+1则a n+k≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），于是：a n+2k≥≥a n+k+2a2k．a2k=S k+k=2k，进而得到：a n+2k≥（1）n﹣k．【解答】（1）解：数列{a n}为“H（1）数列”，则S n=a n+1﹣1，可得：S n+1=a n+2﹣1，=2a n+1，两式相减得：a n+2又n=1时，a1=a2﹣1，∴a2=2=2a1．故a n=2a n，对任意的n∈N*恒成立，+1故数列{a n}为等比数列，其通项公式为a n=2n﹣1，n∈N*．∴S n=2n﹣1．（2）解：S n=a n+2﹣2，S n+1=a n+3﹣2，相减可得：a n+1=a n+3﹣a n+2，a n+1+a n+2=a n+3，n≥2时，a n+2=a n+1+a n（n≥2），∴n≥3时，﹣a n a n+2=﹣a n（a n+1+a n）=a n+1（a n+1﹣a n）﹣=a n+1a n﹣1﹣．则|﹣a n a n+2|=|a﹣a n﹣1a n+1|，a n+1|=（n≥3），∵a4=a3+a2．则|a﹣a n﹣1∴|a﹣a na n+1|=|﹣a2a3﹣|，﹣1∵S1=a3﹣2，a1=1，可得：a3=3，∴≤40，且≤40．解得：a2=0，±1，±2，±3，±4，5，﹣6．=S n+k，a n﹣1+k=S n﹣1+k（n≥2），可得：a n+k=a n+k﹣1+a n，a k+1=S1+k＞0，（3）证明：a n+k由归纳知，a k＞0，……，a n＞0，+2a1=a2=……=a k=1，a k+1=k+1，由归纳知，a n≤a n+1．则a n=a n+k﹣1+a n≤a n+k﹣1+a n+k﹣1=2a n+k﹣1，n≥2，+ka n+k≤2a n+k﹣1，n≥2，a n+k+1≥a n+k+2≥……≥a n+2k﹣1（n∈N*），∴a n+k于是：a n=a n+2k﹣1+a n+k≥（1+）a n+2k﹣1（n∈N*），+2k于是：a n≥a2k．+2ka2k=S k+k=2k，≥•2k＞（2k＞）．∴a n+2k∴a n≥（1）n﹣k．+2k【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、放缩方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案)
青浦区 2018 届高三年级第二次学业质量调研测试数学试卷（满分 150 分，答题时间 120 分钟）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地点直接填写结果．1．不等式 | x3| 2 的解集为 __________________ ．2．若复数 z 知足 2z 3 1 5i （ i 是虚数单位），则 z _____________．3．若 sin1 cos_______________ ．，则32uuuruuuruuur uuur4．已知两个不一样向量OA (1,m) ，OB (m 1,2) ，若 OAAB ，则实数 m ____________．5．在等比数列a n 中，公比 q 2 ，前 n 项和为 S n ，若 S 51 ，则 S 10．x 2,6 ． 若 x, y满 足x y 1 0, 则 z 2x y 的 最 小 值 为x y 2 0,____________．7．如下图，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，主视图左视图俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个圆柱的体积为 __________ ．．16睁开式中 x 2 的系数为．（第 7 题图）8 (1x 2 )(1x) ______________俯视图9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为 7、3、5 ，8412这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生起码得2 个 A 的概率是．10．已 知 f (x) 是 定 义 在 [ 2,2] 上 的 奇 函 数 ， 当 x(0,2] 时 ， f ( x) 2x 1， 函 数g(x) x 22x m . 假如对于随意的 x 1 [ 2,2] ，总存在 x 2[ 2,2] ，使得 f (x 1)g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是.11．已知曲线 C y9 x2，直线 l ： y 2 ，若对于点 A(0, m) ，存在 C 上的点 P和 l 上的 ：uuur uuur r点 Q ，使得 AP AQ 0 ，则 m 取值范围是．12．已知M a2 a sin 1(a,R , a 0) ，则M的取值范围是．a2 a cos1二、选择题（本大题共有 4 题，满分20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,是两个不一样的平面， b 是直线且b．则“ b”是“”的（）．（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足又不用要条件14．若已知极限lim sin n0 ，则 limn 3sin n的值为（）．n n n sin n 2n（A）3（ B）3（ C）11 2（ D）215．已知函数f ( x)是R上的偶函数，对于随意x R 都有 f (x6) f (x) f (3) 成立，当 x1 , x20,3 ，且 x1 x2f (x1) f ( x2 )时，都有x1x20 ．给出以下三个命题：①直线 x 6 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴；②函数 f ( x) 在区间9,6上为增函数；③函数 f ( x) 在区间9,9上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个16．如下图，将一圆的八个平分点分红相间的两组，连结每组的四个点获得两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后能够形成一正八角星.设正八角星的中心为O ，而且uuur ur uuur uur16个极点的向量都写成OA e1,OB e2．若将点O到正八角星Bur uure1e2，、R 的形式，则的取值范围为（）．e2e1 22, 2A（ A）（B）22,12O（ C）12,12（D）12, 2（第16 题图）三、解答题（本大题共有5题，满分76 分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤．17．（此题满分 14 分，第 1 小题满分如图，在正四棱锥 P ABCD 中， 6 分，第PA AB 2 小题满分 8 分）2 2，E ，F 分别为PB ， PD 的中点．（ 1）求正四棱锥 P ABCD 的全面积；（ 2）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ，求平面AEMF与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）ur (cos x , r ( 3 sin xur r1 ．已知向量 m 1)， n ,cos 2 x ) ，设函数 f (x) m n2 2 2（ 1）若 x11 ，求 x 的值；[0, ] ， f ( x)210（ 2）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a,b, c 且知足 2bcos A2c 3a, 求 f ( B) 的取值范围．19．（此题满分 14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分）x 2y 2已知椭圆C ：a 2b 21 (a b 0) 的一个极点坐标为 A(2,0) ，且长轴长是短轴长的两倍．（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过点 D (1,0) 且斜率存在的直线交椭圆于 G 、H ， G 对于 x 轴的对称点为 G ，求证： 直线 G H 恒过定点4,0 ．20.(此题满分 16 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分 .设函数 f ( x)2 a R ．ax 5x（ 1）求函数的零点；（ 2）当 a3 时，求证： f ( x) 在区间 , 1 上单一递减；（ 3）若对随意的正实数a ，总存在 x1,2 ，使得 f ( x 0 ) m ，务实数 m 的取值范围．21.(此题满分 18 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分 .给定数列 a n ，若数列 a n 中随意 （不一样） 两项之和还是该数列中的一项，则称该数列是 “关闭数列” . （ 1）已知数列 a n 的通项公式为 a n 3n ，试判断 a n 能否为关闭数列，并说明原因；（ 2）已知数列a n 知足 a n 2 a n2a n 1 且 a 2a 1 2 ，设 S n 是该数列 a n 的前 n 项和，试问：能否存在这样的“关闭数列”a n ，使得对随意 n N *都有 S n 0 ，且1 1 1 L1 11 ，若存在，8 S 1 S 2S n 18求数列 a n 的首项 a 1 的全部取值；若不存在，说明原因；（ 3）证明等差数列a n 成为“关闭数列”的充要条件是：存在整数m 1 ，使 a 1 md ．青浦区 2017 学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参照答案及评分标准一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． x 1x 5 或 (1,5) ； 2．5 ； 1 ；4． ；2 i3．1235． 33；6．1 ； 7．π；8． 30；249. 151 ；10. m5 ；11． [ 1,1]；12.47 M 47 .192233二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，不然一律得零分 .13. A ；14. D ；15．B ； 16. C .三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分） 解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤． 17．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（ 1）因为正四棱锥P ABCD ，取 AB 中点 G ，连结 PG ，QPA AB 2 2，PG6，S 全 =S 底 S侧(2 2)24122 68832（2）连结 AC ，连结 BD ，记 AC I BD O，因为 OA ， OB ， OP 两两相互垂直，如图成立空间直角坐标系O - xyz．因为 PB AB 2 2 ，因此Rt △POBRt △ AOB ．因此 OA OP 2 ．因此 A(2,0,0) ， B(0,2,0) ， C ( 2,0,0) ， D(0, 2,0) ， P(0,0,2) ， E(0,1,1) ， F (0, 1,1)．uuuruuur因此AE ( 2,1,1)，AF ( 2,．1,1)rr uuur( x, y, z) ，因此 n AE 0, 2x y z 0, 设平面 AEMF 的法向量为 nr uuur0,即yz 0.n AF2x因此 y0 ．令 x1， z 2r(1,0,2) ．，因此 nur(0,0,1)因为平面平面ABCD 的一个法向量为 murrur r 2 2 52 5， cosm narccos设 m 与 n 的夹角为ur r1555m n因此平面 AEM F 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是arccos25 ．518．（此题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（ 1） f ( x)3 sin x cosxcos 2x13sin x1 cos x1222223sin x1cos x 1 sin( x 6)1222 2∵ f ( x)11 sin(x) 3 ; 又 Q x [0, ]106 5 2∴ xarcsin3x6arcsin 3655（2）由 2b cos A2c3a 得 2sin B cos A 2sin C3 sin A2sin B cos A 2sin( A B) 3 sin A2sin B cos A 2[sin Acos B cos A sin B) 3 sin A3 B(0,]2sin Acos B3 sin A cos B26∴ sin(B)1sin(B) 1f ( B) (0, 1( ,0], 即f (B)2]6262 19．（此题满分 14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分）x 2y 2 (a b0) 的一个极点坐标为 A(2,0) ，即 a2解：（ 1）因为椭圆 C ：2b 21a又长轴长是短轴长的两倍，即 2a4bb1 ，因此椭圆方程 x 2y 21；4（2）解一：设直线GH 的方程为 yk (x 1) ,点 G （x 1, y 1） ,H( x 2 , y 2 ) 则 G( x 1 , y 1）y k (x 1) 4k 2) x 28k 2x4k24 0 联立方程组x 24 y 2消去 y 可得 (14由韦达定理可得 x 1 x 21 8k2 2 , x 1 x 2 4k242 ,4k1 4k，y 2y 1(x x 1 ),直线 GH ： y y 1x 2 x 1当 x4时， yy 1y 2y 1(4 x 1)= y 1x 2x 1 y 2 4( y 2 y 1 )x 2 x 1x 2 x 1k[5( x 1 x 2 )2x 1x 28] k[51 8k 22 4k 2 48]4k21 4k2 =x 2 x 1x 2 x 1k[ 40 k 2 8k 2 8 8]= 1 4k 2 1 4k 2=0x 2x 1因此直线则 GH 过定点（ 4,0）20.(此题满分 16 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题6 分，第（ 3）小题 6 分 .解：（ 1）①当 a0 时，函数的零点为 x2 ；5②当 a25 且a 0 时，函数的零点是 x5258a ；82a③当 a25时，函数无零点；8（2）当 a3 时， f (x)2 ，令 g (x)2 3x+53x+5 xx任取 x 1 , x 2( , 1) ，且 x 1x 2 ，则 g( x 1) g( x 2 ) 2 523x 2 5(x 2x 1) 2 3x 1 x 23x 1x 2 x 1x 2x 1因为 x 1 x 2 ， x 1 , x 2(, 1) ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1 x 2 1 ，进而 ( x 2 x 1) 2 3x 1 x 2x 1x 2即 g( x 1 )g( x 2 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) 故 g( x) 在区间, 1 上的单一递减当 x, 1 时， g(x)6,f (x)2 3x+5 =23x+5 g(x)xx即当 a 3 时， f ( x) 在区间 , 1 上单一递减；（3）对随意的正实数a ，存在 x 01,2 使得 f ( x 0 )m ，即 f ( x 0 )max m ，当 x0,时，25, 0 5 25 8a2axx2af ( x)ax+5 xx 2525 8aax 5, xx2a即 f (x) 在区间0,525 8a 上单一递减，在区间 5258a ，上单一递加；2a2a因此 f ( x 0 )maxmax f (1), f (2)max 7 a , 6 2a ，又因为 a 0 ， max 7 a , 62a 8 8，因此 m．3321.(此题满分 18 分）此题共 3 小题，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分 .解：（ 1） na 不是关闭数列．因为取 n1,n 2 ，则 a 1 a 2 3 9 12 ，32 12 33 即 a 1 a 2 3m , m N * 进而 a 1 a 2 a n ，因此a n 不是关闭数列；（2）因为 a n2a n2a n 1，因此 a n是等差数列，又a 2a1 2 ，因此 a n a1 2 n 1 ，若 a n是“关闭数列” ，因此对随意s,t N*，必存在p N*，使得a1 2 s 1a1 2 t1a1 2 p1，即 a12p s t 1 ，故a1是偶数，又对随意n N*都有S n111L1111111188 ，故a1可取的值为2,4,6经检0 ，且S2S n18，因此S118，故a18 S1811验得： a1 4 或 a1 6 ；（3）证明：（必需性）任取等差数列的两项a s, a t (s t ) ，若存在 a k，使 a s a t a k，则2a1(s t2)d a1(k1)d a1(k s t1)d ，故存在 m k s t 1Z ，使 a1md下边证明 m1①当 d0 时，明显成立②当 d0 时，若m 1 时则取 p m 2 ，对不一样的两项a1 , a p，存在a q，使a1 a p a q，即2md( m1)d md(q1)d qd0，这与 q0, d0矛盾，故存在整数 m1，使 a1md （充足性）若存在整数m1，使 a1md ，则任取等差数列的两项a s , a t ( s t ) ，于是a s +a t a1(s 1)d a1(t1)d a1( s1)d md(t1)d a1 (s m t 2)d a s m t 1，因为s t3,m 1 ，s t m1为正整数，即 a s m t 1a n证毕．。
上海2018届高三二模数学卷汇总(全)
宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=．（结果用数值表示）6．（4分）方程的解x= ．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．316．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，m}，3﹣m∈A，∴或或，解得m=2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|1﹣x|＞1，∴1﹣x＞1或1﹣x＜﹣1，∴x＜0或x＞2，故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是[﹣2，2] ．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得=，分析可得a的值，即可得f（x）=，据此分析函数的定义域即可得答案．【解答】解：函数，则f（﹣x）=f（x），则有=，解可得a=0，则函数f（x）=，有8﹣2x2≥0，解可得﹣2≤x≤2，则函数f（x）的定义域为[﹣2，2]；故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，注意函数的奇偶性的定义．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用余弦定理，化简已知条件，然后求解即可．【解答】解：△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a2=b2+c2﹣2bcsinA，又a2=b2+c2﹣2bccosA，可得sinA=cosA，所以A=．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=﹣6．（结果用数值表示）【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的投影公式计算．【解答】解：设的夹角为θ，则向量在向量方向上的投影为||•cosθ=||•==﹣2，∴=﹣2||=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（4分）方程的解x= 2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可．【解答】解：方程，化为：3•2x+5=4x+1，解得（2x+1）（2x﹣4）=0，即2x﹣4=0，解得x=2，故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，指数运算法则的应用，方程的解法，考查计算能力．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据矩阵的运算可得f（x）=2sinxcosx+cos2x，利用二倍角辅助角化简即可求解f（x）的单调递增区间．【解答】解：由题意，f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），令≤2x+≤，k∈Z．可得：≤x≤．函数f（x）的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，二倍角辅助角化简能力．属于基础题．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【专题】34：方程思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数．【分析】α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，可得也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，由△＜0，=|α|2=m2+1≤4，解得m范围．【解答】解：α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，则也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，∴△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2+1）＜0，解得m．=|α|2=m2+1≤4，解得．则．则实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了实系数一元二次方程虚数根成对原理及其与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是140人．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据条件求出抽取比例，结合比例关系进行求解即可．【解答】解：抽取比例为750÷50=15，则抽取总人数为（450+750+900）÷15=2100÷15=140人，故答案为：140．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出抽取比例是解决本题的关键．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=50．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．=a n﹣1﹣变形可得a n+1a n﹣a n﹣1a n=﹣n，据此可得（a3a2【分析】根据题意，将a n+1﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n﹣1﹣，变形可得：a na n﹣a n﹣1a n=﹣n，+1则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，（a5a4﹣a4a3）=﹣4，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），相加可得：a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，又由a1=24，a2=51，a k=0，则有k2﹣k﹣2450=0，解可得：k=50或﹣49（舍）；故k=50；故答案为：50．=a n﹣1﹣的变形．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对a n+112．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是3．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由二次函数的性质得，代入化简得：≥，设t=，由0＜2a＜b得t＞2，利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：因为∀x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，所以，得b2≤4ac，又0＜2a＜b，所以，所以=≥===，设t=，由0＜2a＜b得，t＞2，则≥==[（t﹣1）++6]≥=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，式子的变形是解题的关键和难点，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由为整数求得r值，可得有理项的项数．【解答】解：二项式的展开式的通项为=．∵0≤r≤40，且r∈N，∴当r=0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．∴二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出w的最大值即可．【解答】解：画出命题条件的平面区域，如图示：，将w=2x+y﹣3转化为y=﹣2x+w+3，平移直线y=﹣2x，结合图象直线过（3，0）时，w最大，故w max=3，故选：D．【点评】不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值．16．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题正确；对于C，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；对于D，举例说明命题错误．【解答】解：对于命题A，（m∈R），∴﹣=m（﹣），∴=m，且有公共点C，∴则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理知，向量是一组基底，则平面α上的任一向量，都可表示为，且表示方法唯一，B正确；对于C，平面向量满足||=r（r＞0），且=，∴+=﹣，即+=，∴+2•+=，即r2+2r2•cos＜，＞+r2=r2，∴cos＜，＞=﹣，∴、的夹角为120°，同理、的夹角也为120°，∴△ABC是等边三角形，C正确；对于D，如=（0，1），=（1，1），=（﹣1，1），=（﹣1，0），满足（+）•（+）=1×（﹣2）+2×1=0，∴（+）⊥（+），D错误．故选：D．【点评】本题利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】L7：简单空间图形的三视图；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由题意能作出主视图．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的大小．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（10分）．解（1）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．作出主视图如下：（2）根据题意，可算得AB=1，AD=2．又PA=BC=1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，可得，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．于是，有．设平面PCD的法向量为，则即令z=2，可得y=1，x=1，故平面PCD的一个法向量为．设直线PB与平面PCD所成角的大小为θ，则．所以直线PB与平面PCD所成角的大小为．【点评】本题考查主视图的作法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；（2）根据面积公式求出y关于x的函数值，从而得出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可算得弧BC=x•θ（m），弧AD=10θ（m）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ=30，∴．（2）依据题意，可知，化简得：y=﹣x2+5x+50=．∴当，（m2）．答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）结合题意求出．通过，求动点M（x，y）的轨迹C的方程．（2）联立方程组，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，结合点O到直线l的距离．求解三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．解：（1）结合题意，动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，可得．又，于是，，化简得．因此，所求动点M（x，y）的轨迹C的方程是．（2）联立方程组得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则于是，弦，点O到直线l的距离．由，得=，化简得k4﹣2k2+1=0，解得k=±1，且满足△＞0，即k=±1都符合题意．因此，所求直线的方程为x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法．考查转化思想以及计算能力．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．【考点】4R：反函数；53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；（3）判断f（x）与2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2=2（x2﹣x1）得出a的值．【解答】解：（1）∵∴当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，且0＜f（x）≤2．由y=﹣2x，得，互换x与y，可得．当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．由y=x2﹣1，得，互换x与y，可得．∴（2）函数图象上存在两点关于原点对称．设点A（x0，y0）（0＜x0≤1）、B（﹣x0，﹣y0）是函数图象上关于原点对称的点，则f（x0）+f（﹣x0）=0，即，解得，且满足0＜x≤1．因此，函数图象上存在点关于原点对称．（3）令f（x）=2，解得x=﹣，①当时，有，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0，解得，令，解得：．②当时，，原方程可化为，化简得（a2+4）x2+4ax=0，解得，又，∴．∴．由x3﹣x2=2（x2﹣x1），得，解得a=﹣（舍）或a=．因此，所求实数．【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】32：分类讨论；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据题意，有．由，，即可求解数列{a n}的通项公式．（2）通过逐项递推关系，可得，n∈N*．，n∈N*．即可正数列是首项为、公差为1的等差数列．（3）由题意，求解：．{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r ＞0），则．对其进行讨论，从而求解满足题意的a1、b1的数值．【解答】解：（1）根据题意，有．由，，得，n∈N*．所以，n∈N*．证明：（2）∵，，∴，，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列是首项为、公差为1的等差数列．解：（3）由，，由，得．∵{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r＞0），则．∴当r＞1，即，与矛盾．因此，r＞1不成立．当0＜r＜1，即，与矛盾．因此，0＜r＜1不成立．∴r=1，即数列{a n}是常数列，于是，a n=a1（）．∴．∵b n＞0，∴b1＞0，数列{b n}也是等比数列，设公比为q（q＞0），有．∴，可化为，n∈N*．∵，∴关于x的一元二次方程有且仅有两个非负实数根．一方面，q n（n∈N*）是方程的根；另一方面，若q≠1（q＞0），则无穷多个互不相等的q，q2，q3，q4，…，q n，…都是该二次方程的根．这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！∴q=1，即数列{b n}也是常数列，于是，b n=b1，n∈N*．∴由，得．把，代入，解得．∴．【点评】本题考查等差、等比数列的通项公式和综合能力的运用，考查运算能力，属于中档偏难的题．。
2018高三二模汇编(精)(带参考答案)
2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
届静安区高三二模数学版附解析
上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r的坐标为7. 方程3cos2x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差 14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.22 B. 3 C. 6 D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2. 23. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10. 9411. 1 12. 19[14+- 二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B 三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -．所以(1,0,2)AP =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ，52AP BM ⋅=u u u r u u u u r ，||AP =u u u r，||BM =u u u u r ． ……3分则30cos ,||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 （2）1(1,,0)2AB =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =u u u r ， ……10分 所以n r 2OB ⋅=u u u r ，||29n =r ，1||2OB =u u u r ．则4cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分（2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<，所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可） （2）由01xx>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。
2018年上海市静安区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是．2．（4分）若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数的定义域为．4．（4分）在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是．5．（4分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm．6．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为．7．（5分）方程的解集为．8．（5分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5．则该抛物线的标准方程为．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为4，2，则输出q的值为．（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5*2=10）10．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，，则a3的值为．11．（5分）在直角三角形ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且．若，则3λ+4μ的最大值等于．12．（5分）已知集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）能反映一组数据的离散程度的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差14．（5分）若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，且|α﹣β|=3，那么实数m的值是（）A．B．1C．﹣1D．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．C．D．016．（5分）已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间t的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度C是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为这里的t是从午夜开始的小时数，m是实常数，m=C（8）．（1）求m的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．18．（14分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为F1和F2，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12．圆的圆心为A k．（1）求△A k F1F2的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆．问：是否存在实数k使得圆A k包围椭圆Γ？请说明理由．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．20．（16分）已知数列{a n}中，．又数列{b n}满足：．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若数列{b n}的各项皆为正数，，设T n是数列{c n}的前n和，问：是否存在整数a，使得数列{T n}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由．21．（18分）设函数f（x）=|2x﹣7|+ax+1（a为实数）．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥0；（2）若当时，关于x的不等式f（x）≥1成立，求a的取值范围；（3）设，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围．2018年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是{0，2，4} ．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据Venn图判断元素和集合的关系进行求解即可．【解答】解：由Venn图得元素是属于B但不属于A的元素构成，即B∩∁U A，∵A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，∴B∩∁U A={0，2，4}，故答案为：{0，2，4}【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．2．（4分）若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z（1﹣i）（1+i）=2i（1+i），∴2z=2（i﹣1），∴z=i﹣1．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数的定义域为[﹣1，+∞）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，直接求出x的范围即可．【解答】解：应该满足，即2+x≥1，解得x≥﹣1所以函数的定义域为[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）【点评】本题考查了对数函数定义域的求法，属于基础题型．4．（4分）在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=，其中含有字母d的事件有m==3，由此能求出其中含有字母d事件的概率．【解答】解：在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，基本事件总数n=，其中含有字母d的事件有m==3，∴其中含有字母d事件的概率是p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：4【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题．6．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为（﹣4，﹣3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5H：空间向量及应用．【分析】推导出DA=4，AB=3，DD1=2，从而B（4，3，0），D1（0，0，2），由此能求出的坐标．【解答】解：以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴DA=4，AB=3，DD1=2，∴B（4，3，0），D1（0，0，2），∴的坐标为（﹣4，﹣3，2）．故答案为：（﹣4，﹣3，2）．【点评】本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）方程的解集为．【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：满足方程的解集为：令2x=（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故解集为：{x|x=（k∈Z）}．故答案为：{x|x=（k∈Z）}【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．8．（5分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5．则该抛物线的标准方程为x2=﹣4y．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设抛物线的方程为x2=﹣2py，求出准线方程，由抛物线的定义分析可得﹣（﹣4）=5，解可得p的值，将p的值代入抛物线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，要求抛物线的焦点在y轴上，且开口向下，设其方程为x2=﹣2py，则其准线方程为y=，又由抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5，则M到准线的距离也为5，则有﹣（﹣4）=5，解可得p=2，则抛物线的方程为x2=﹣4y；故答案为：x2=﹣4y．【点评】本题考查抛物线的定义，涉及抛物线的定义，关键是求出抛物线的准线方程．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为4，2，则输出q的值为50．（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5*2=10）【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的q，i的值，当i=﹣1时，满足条件跳出循环，即可得解．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：q=1，i=3q=1×2+3=5，i=2，不满足条件i＜0，执行循环体，q=5×2+2=12，i=1，不满足条件i＜0，执行循环体，q=12×2+1=25，i=0，不满足条件i＜0，执行循环体，q=25×2+0=50，i=﹣1，此时，满足条件i＜0，退出循环，输出q的值为50．故答案为：50．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，，则a3的值为．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知利用等比数列的求和公式可求q，进而由已知可求首项，利用通项公式即可计算得解．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，设其公比为q，且，∴==﹣，可得：8q6+19q3﹣27=0，∴解得：q3=﹣，或1，解得：q=﹣，或1（舍去），∵，∴a1q3﹣a1q=﹣a1+a1=﹣，解得：a1=1，∴a3=a1q2=1×（﹣）2=．故答案为：．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式和通项公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11．（5分）在直角三角形ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且．若，则3λ+4μ的最大值等于1．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】4M：构造法；5A：平面向量及应用．【分析】先由直角三角形建系，以两直角边做基底，由边长关系，将向量问题平方转化为模的问题，经过三角代换，转化为三角函数最值问题．【解答】解：根据题意以和为基底建立坐标系，Rt△ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且；．若，∴||2=（3λ）2+（4μ）2=∴∴3λ+4μ=（sinθ+cosθ）=sin（θ+φ）当θ+φ=时，3λ+4μ取到最大，最大值是1，故答案为：1．【点评】本题考查向量的基底思想，以及函数中三角代换的处理方法，属于中档题．12．（5分）已知集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．【考点】1B：空集的定义、性质及运算．【专题】59：不等式的解法及应用；5B：直线与圆；5J：集合．【分析】集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合A={（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a ﹣1）2=a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，∴集合A={（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2=a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．其圆心在直线x﹣2y+2=0上．由A∩B≠∅，①a≤0时，由≤，解得：≤a≤．②a时，由≤，解得：a∈∅．综上可得：实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、不等式性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）能反映一组数据的离散程度的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【考点】BC：极差、方差与标准差．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用众数、平均数、中位数、方差的定义及意义直接求解．【解答】解：众数代表一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的集合趋势，中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，方差能反映一组数据的离散程度，综上，能反映一组数据的离散程度的是方差．故选：D．【点评】本题考查方差的概念，考查基础知识、基本概率，考查基本定义的掌握程度，是基础题．14．（5分）若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，且|α﹣β|=3，那么实数m的值是（）A．B．1C．﹣1D．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，解得：z=，利用|α﹣β|=3，即可得出．【解答】解：实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，解得：z=，则|α﹣β|==3，解得m=．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．C．D．0【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出θ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，分析可得g（x）为奇函数，且在R上为增函数，又由x1+x2＜0，即x1＜﹣x2，结合函数g（x）的奇偶性与单调性综合可得g（x1）+g（x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，将3个式子相加，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，则有g（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）在R上为增函数，若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，则有g（x1）＜g（﹣x2）=﹣g（x2），即有g（x1）+g （x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得：f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜30；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析g（x）=f（x）﹣10的奇偶性与单调性．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间t的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度C是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为这里的t是从午夜开始的小时数，m是实常数，m=C（8）．（1）求m的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据解析式计算C（8）即可；（2）令cos（（t﹣8））=0，求出t的值即可得出结论．【解答】解：（1）m=C（8）=1000（cos0+2）2﹣990=8010．（2）当时，C达到最小值，令，又t∈[8，16]，解得t=10或14．所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10．【点评】本题考查了分段函数值的计算，函数的最值计算，属于中档题．18．（14分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为F1和F2，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12．圆的圆心为A k．（1）求△A k F1F2的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆．问：是否存在实数k使得圆A k包围椭圆Γ？请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意，分析可得a、b的值，即可得椭圆的标准方程，求出圆的圆心坐标，分析可得答案；（2）根据题意，分k≥0与k＜0两种情况讨论，分析可得总有点在椭圆外部，结合题目中圆包围椭圆的定义即可得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为：，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12，则有2a=12，即a=6，又由，长轴长是短轴长的2倍，即a=2b，则b=3，则椭圆方程为：，圆心A k（﹣k，2），所以，△A k F1F2的面积；（2）当k≥0时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：62+02+12k﹣0﹣21=15+12k ＞0，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；当k＜0时，（﹣6）2+02﹣12k﹣0﹣21=15﹣12k＞0，可知椭圆顶点（﹣6，0）在圆外；所以，不论k取何值，圆A k都不可能包围椭圆Γ．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与BM所成角的余弦值．（2）求出平面ABM的一个法向量和平面PAC的一个法向量，利用向量法能求出平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．（16分）已知数列{a n}中，．又数列{b n}满足：．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若数列{b n}的各项皆为正数，，设T n是数列{c n}的前n和，问：是否存在整数a，使得数列{T n}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列是等比数列．（2）利用数列的单调性，求出数列的参数的范围．（3）利用假设法进行说明【解答】证明：（1）已知：，=，=，即：（3分）又：，由，则b1≠0所以{b n}是以为首项，2为公比的等比数列．解：（2），所以，若{a n}是单调递增数列，则对于n∈N*，a n+1﹣a n＞0恒成立=，=（8分）由：，得：对于n∈N*恒成立由于单调递增，且，，所以，又，则．解：（3）因为数列{b n}的各项皆为正数，所以，则．，若数列{T n}是单调递减数列，则T2＜T1，即﹣2log2（a+）﹣1＜﹣log2（a+），可得log2（a+）＞﹣1，即a+＞，即a＞0，且c n＜0时，a＞0成立．存在正整数a，使得数列{T n}是单调递减数列．【点评】本题考察：数列的通项公式的求法及应用，数列的单调性的应用，相消法的应用．21．（18分）设函数f（x）=|2x﹣7|+ax+1（a为实数）．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥0；（2）若当时，关于x的不等式f（x）≥1成立，求a的取值范围；（3）设，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】（1）由f（x）≥0得|2x﹣7|≥x﹣1，解得即可，（2）由解得0＜x＜1，再分类讨论，即可求出a的取值范围，（3）先化简g（x）=2|x﹣1|+a（x+1），即可得到|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1≤a，构造函数h（x）=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，求出函数的最值即可，【解答】解：（1）由f（x）≥0得|2x﹣7|≥x﹣1，即或解不等式得．（利用图象求解也可）（2）由解得0＜x＜1．由f（x）≥1得|2x﹣7|+ax≥0，当0＜x＜1时，该不等式即为（a﹣2）x+7≥0；当a=2时，符合题设条件；下面讨论a≠2的情形，当a＞2时，符合题设要求；当a＜2时，，由题意得，解得2＞a≥﹣5；综上讨论，得实数a的取值范围为{a|a≥﹣5}；（3）由，代入f（x）≤g（x）得|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1≤a，令h（x）=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，，∴h（x）min=﹣4，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，则h（x）min≤a，即a≥﹣4．【点评】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．。
上海市虹口区2018届高考二模数学试题含答案
上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C == 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，8MN ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小. 【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅u u r u r，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论； （2）:MA l y x =+，∴P y =，同理Q y =，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式 1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k nθ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）. （1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.【解析】（1）(023f a ≤⇒≥； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n qa q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31qa q =-在(-上递减，在上递增，∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.。
2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=．5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=[﹣1，3] ．【考点】1D：并集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁U A={x|﹣1≤x≤3}，即∁U A=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是20．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由．由6﹣2r=0，得r=3．∴常数项是．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为（0，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（3x﹣2x），∴3x﹣2x＞0，∴3x＞2x，∴＞1，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=ay，则其准线方程为y=﹣，又由抛物线x2=ay的准线方程是，则有﹣=﹣，解可得a=1；故答案为：1【点评】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的运算化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数f（x）==（sinx+cosx）2+1=2+sin2x，故它的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查行列式的运算，正弦函数的周期性，属于基础题．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解答．【解答】解：由已知得到圆锥的体积12π=，解得h=4，所以圆锥的母线长度为=5，所以圆锥的侧面积为=15π；故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】易得总的基本事件有36种，由向量垂直可得m﹣n=0，共6种，由概率公式可得．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次出现的点数情况共6×6=36种，由，向量，由于向量，所以m﹣2+2﹣n=0，即m﹣n=0，上述满足m﹣n=0的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共6种，故所求概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式和向量垂直的条件，属基础题．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是（x﹣1）2+（y﹣）2=．【考点】J2：圆的一般方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点P的方程，判断对m ∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上．【解答】解：如图所示：l1：mx﹣y=0，过定点O（0，0），k=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，过定点A（2，1），k=﹣，∵k•k=﹣1，∴直线与直线互相垂直，故有PO⊥PA，∴直线与直线的交点P必在以O（0，0），A（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心为AO线段的中点C（1，），半径r=OA==，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=．【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心；【解答】解：函数==2+令h（x）=由h（﹣x）==g（x），∴h（x）是奇函数，∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min即h（x）mxx+h（x）min=0那么：函数f（x）的最大值M=2+h（x）mxx，最小值为m=2+h（x）min∴：M+m=2+h（x）mxx+2+h（x）min=4可得：函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]=4x+sin（4x﹣1）．令4x﹣1=kπ，k∈Z．可得x=，当k=0时，可得x=，此时g（）=1，故得一个对称中心为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的最值问题和奇偶性的应用．将函数化简，转化为奇函数的最值之和是关键．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，得[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，求不等式解集可得结果．【解答】解：设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得=1，∴，∴（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，利用柯西不等式得：[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，化简，得64t2﹣60t+11≤0，解得，∴=，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积与不等式的角法与应用问题，考查柯西不等式等基础知识，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5N：数系的扩充和复数．【分析】由无穷递缩等比数列所有项和公式求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由题意，，即a=2．∴=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查无穷递缩等比数列所有项和公式的应用，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°﹣A，cosB+sinB=cos（90°﹣A）+sin（90°﹣A）=sinA+cosA，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12【考点】J7：圆的切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），代入点（2，1），求得周长关于a的式子：t=a+b+（t＞2），运用平方和二次方程的判别式大于等于0，解不等式可得周长的最小值．【解答】解：可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），由切线经过点（2，1），可得：+=1，可得b=，a＞2，则周长为t=a+b+（t＞2），即为（t﹣a﹣b）2=a2+b2，化为t2﹣2（a+b）t+2ab=0，即有t2﹣2（a+）t+2a（）=0，即（2﹣2t）a2+（2t+t2）a﹣2t2=0，△=（2t+t2）2+8t2（2﹣2t）≥0，化为t2﹣12t+20≥0，解得t≥10或t≤2（舍去），可得a=，b=时，△MON的周长取得最小值10．故选：A．【点评】本题考查直线方程的运用，考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连AC、AC1，推导出C1C⊥BC，C1C⊥CD，从而C1C⊥平面ABCD，进而C1C⊥AC．由此能求出CC1．从而能求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1M与B1N 所成的角．【解答】解：（1）连AC、AC1．∵△ABC 是直角三角形，∴AC==2．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，又DC∩BC=C，C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．又在Rt△ACC1中，AC1=，AC=2，∴CC1=1，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=S矩形ABCD×CC1=AB×AD×CC1=2×4×1=8．（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（4，0，1），M（4，1，0），B1（4，2，1），N（2，2，0），∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），10分则向量与所成角θ满足cosθ==．异面直线A1M与B1N 所成的角等于arccos．14分【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积、空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基础题．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果．（2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：（1）已知：AB=10 （公里），在△BCD中，由，得BC=5（公里）．于是，由于：＞50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．（2）在△ABD中，）=300，得AD=10（公里），在△BCD中，∠CBD=105°，由：，得CD=5（1+）（公里），由：≈45.98＜51.21（分钟）知，汽车能先到达C 处．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据反函数的定义即可求出，（2）分类讨论，即可求出t的范围．【解答】解：（1）当t=2，f（x）=x2﹣6x+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，∴y=；（2）若，即t≤0，则y=f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若，即t≥10，则y=f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【点评】本题考查了反函数的定义和函数解析函式的求法，考查了分类讨论的能力，属于中档题．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；34：方程思想；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设N（x0，y0），由于A，B，由点N在椭圆C 上，可得+=1，于是=﹣2，利用斜率计算公式可得：k2•k3=•=，即可得出．（2）设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立得（m2+2）y2+my﹣=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．（3）由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，与椭圆方程联立得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•=，把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】（1）解：设N（x0，y0），由于A，B，∵点N在椭圆C 上，∴+=1，于是=﹣2，∴k2•k3=•==﹣．（2）证明：设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+my﹣=0，于是y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴k1•k3=•====﹣．（3）解：由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，联立直线MN：，可得：得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，于是：y1+y2=﹣，y1y2=．∵直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•====•=．于是xt=2，所以x=，即直线与直线BN的交点Q落在定直线x=上．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论和分类讨论思想求出结果．（3）利用分类讨论思想和整除问题求出数列为等差数列．【解答】解：（1）因为，于是数列{}是首项为1，公差为的等差数列，所以，则：，当n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n，又因为a1=1，所以a n=n，﹣2b n+1+b n=0，又因为b n+2于是数列{b n}是等差数列，设{b n}的前n 项和为B n，由于B9=9b5=36，则：b5=4，由于：b3=2，则：2d=b5﹣b3=2，解得：d=1．所以：b n=2+（n﹣3）=n﹣1；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，则：数列{a n}的前n项和．当n=2k时，=．当n=4k﹣3时，=k（2k﹣1）+（2k﹣3）（k﹣1）=4k2﹣6k+3．当n=4k﹣1时，S n=S4k﹣1=A2k﹣1+B2k=（2k﹣1）k+（2k﹣1）k=4k2﹣2k；进一步整理得：S n=．（3）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数k（k≥2）存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列．则：2c l=c m+c k，即：，解得：m==，即：．则对于任意的正整数k（k≥2）4k﹣2l﹣1能整除（2k﹣1）2，且4k﹣2l﹣1＞0．由于当k≥2时，2k﹣1中存在多个质数．所以：4k﹣2l﹣1只能取1和2k﹣1或（2k﹣1）2．若4k﹣2l﹣1=1时，则l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2．于是，m﹣l=4k2﹣7k+3=（4k﹣3）（k﹣1）＞0，符合k＜l＜m．若4k﹣2l﹣1=2k﹣1时，k=l出现矛盾，则舍去．若4k﹣2l﹣1=（2k﹣1）2，则：m+k=2，于是m≤0，出现矛盾，故舍去．综上所述：当k≥2时，存在正整数l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2，满足k＜l＜m，使得c k，c l，c m成等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用．。
2018年上海市金山区高考数学二模试卷
2018年上海市金山区高考数学二模试卷2018年上海市金山区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若向量=(2, 0)，=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．A. =1B. ||=C. ()⊥D. ∥2.椭圆的参数方程为(θ为参数)，则它的两个焦点坐标是( )．A. (±4, 0)B. (0, ±4)C. (±5, 0)D. (0, ±3)3.如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图是( )．A.B.C.D.4.若对任意，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则的值等于( )．A. 3B. 2C. 1D. -1二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.函数y=3sin(2x+)的最小正周期T=___________．6.函数y=lg x的反函数是_____．7.已知集合P={x| (x+1)(x–3)<0}，Q={x| |x| > 2}，则P∩Q=______．8.函数，x∈(0，+∞)的最小值是________．9.计算：=________．10.记球O1和O2的半径、体积分别为r1、V1和r 2、V2，若，则________．11.12.在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=8．(1) 求PB与平面ABCD所成角的大小；(2) 求异面直线PB与DC所成角的大小．13.复数是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根．(1) 求m和n的值；(2) 若(u∈C)，求u．14.已知椭圆Γ：的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点(点A在x轴上方)，点A关于坐标原点的对称点为P，直线PA、PB分别交直线l：x=4于M、N两点，记M、N两点的纵坐标分别为y M、y N．(1) 求直线PB的斜率(用k表示)；(2) 求点M、N的纵坐标y M、y N (用x1, y1表示) ，并判断y M×y N是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．15.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=a n+2．(1) 证明：数列{a n–4}是等比数列；(2) 求使不等式成立的所有正整数m、n的值；(3) 如果常数0 < t< 3，对于任意的正整数k，都有成立，求t的取值范围．16.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f(x)=(x–1)2在定义域[m，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m、n乘积mn 的取值范围；(3) 已知函数f(x)=(x–a)2 (a<)在定义域[，4]上为“依赖函数”．若存在实数x∈[，4]，使得对任意的t∈R，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求实数s的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判别，即可得到本题答案．本题给出两个向量的坐标，判断几个式子的正确性，着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识，属于基础题．【解答】解：对于B因为||==，||=，所以||与||不相等，故B项不正确；对于A，•=2，得A项不正确；对于C，-=（1，-1），则()=0，所以（+），因此C项正确；对于D，不存在实数λ，使=λ成立，得D项不正确．故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.将参数方程化成普通方程，写出焦点坐标即可.【解答】解：椭圆的参数方程为(θ为参数)，所以椭圆的标准方程为半焦距故焦点坐标为(±4，0).故选A.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，难度一般.【解答】解：下面两个正方形，上面一个正方形.根据几何体的三视图，它的左视图应该是下面两个正方形，上面一个正方形.故选A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据多项式相乘原理求出某项的系数,是基础题目.根据题意,=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…化为,利用系数相等,列出方程,求出,,,,,的值计算即可.【解答】解:对任意时,都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，即,,且,解得,,,,,，故答案为-2.5.【答案】π【解析】【分析】本题考查给出三角函数表达式求函数的最小正周期，着重考查了函y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题.将题中的函数表达式与函数y=Asin （ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期.【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π.故答案为π.6.【答案】【解析】【分析】本题考查反函数，属于基础题.同底的对数函数和指数函数互为反函数.【解答】解：函数y=lgx的反函数是.故答案.7.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【解答】解：所以故答案为（2,3）.8.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值, 利用基本不等式，注意当a=b时，等号成立，从而求得最小值. 【解答】解：因为x∈(0，+∞)，由基本不等式得：,即,所以当x=3时，y的最小值为6，故答案为6.9.【答案】1【解析】【分析】本题zhuy主要考查等比数列的求和，考查极限的求法，属于基础题. 【解答】解：===1.故答案为1.10.【答案】【解析】【分析】本题考查球的体积.【解答】解：由已知得：，又，所以，所以，故答案为.11.【答案】m≠±2【解析】【分析】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．根据题意得到二元线性方程组的表达式，此方程组有唯一一组解，则两直线不平行也不重合，求解即可.【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到二元线性方程组的表达式，因为此方程组有唯一一组解，所以两直线不平行也不重合，故∴m≠±2，故答案为m≠±2.12.【答案】【解析】【分析】此题考查的知识点是古典概型，其中计算出所有取法的基本事件总数，及两个球中恰有一个白球的基本事件个数，是解答本题的关键.根据已知中口袋中装有大小相同的3个黑球，2个白球，从中任取两个球，我们易计算出所有取法的基本事件总数，及两个球中恰有一个白球的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到答案.【解答】解：∵口袋中装有大小相同的3个黑球，2个白球，分别计为A，B，C，1，2，则任取两个球共有：（A，B），（A，C），（A，1），（A，2）、（B，C），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2）共10种，其中恰有一个白球共有（A，1），（A，2），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），共种，故取出的两个球中至少有一个白球的概率P=.故答案为.13.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项，解题的关键是熟练掌握通项，属于基础试题.由题意可得T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求.【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为5.14.【答案】{–1，0，–2}【解析】【分析】三条直线将平面划分为六部分，则直线x+ky=0过另外两条直线的交点，或这条直线与另外两条直线平行，由此求出k的值．【解答】解：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是x+ky=0过另外两条直线的交点，由x−2y+1=0和x−1=0的交点是(1,1)，解得k=−1；②是这条直线与另外两条直线平行，此时k=0或−2，综上,k的取值集合是{0,−1,−2}.故答案为{−1,0,−2}.15.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的概念和标准方程，涉及直角三角形的内切圆，属中高档题. 设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,在Rt△F1PF2中，利用勾股定理求得s的值，即可算出内切圆半径【解答】解：双曲线C：，，设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,所以,即,所以,解得或s=-2,∴内切圆半径,故答案为2.16.【答案】±1【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，三角函数的有界性等知识点，属于基础题，首先通过化简处理，再利用三角函数的有界性，将不等式化为等式处理.【解答】解：由已知得，∵左边，右边，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴.故答案为±1.17.【答案】解：(1)连BD，因为PD⊥平面ABCD，则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角，在△PBD中，tan ∠PBD = ，所以∠PBD=arctan，所以PB与平面ABCD所成的角的大小为arctan；(2)因为AB∥DC，所以∠PBA就是异面直线PB 与DC所成的角，因为PD⊥平面ABCD，所以AB⊥PD，又AB⊥AD，所以AB⊥PA，在Rt△PAB中，PA=10，AB=6，所以tan∠PBA=，∠PBA=arctan，异面直线PB与DC所成角的大小为arctan．【解析】本题考查四棱锥的知识，考查线面成角和异面直线所成角的大小的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）由PD⊥平面ABCD，则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角即可求出；（2）由AB∥DC，得∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角，由此能求出异面直线PB与DC所成角的大小．18.【答案】解：(1)因为，所以，由题意知：z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根，由，解之得：，(2)设u=c+di(c,d∈R)，则，,则有，解得，所以．【解析】(1)化简可得，则，根据z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根，利用根与系数的关系求解；(2)设u=c+di(c,d∈R)，则，,利用复数相等的充要条件则有，求解即可.19.【答案】解：(1)设直线AB方程为，联立，消去，得，因为、，且，又，所以k PB=，；(2)又直线的方程为，则，由题意可知，，直线的方程为y+y 1=(x+x1)，则，，y M×y N===–9，综上，乘积y M×y N为定值–9．【解析】本题主要考查了椭圆与直线的关系，(1)设直线AB方程为，联立，消去，得，再由韦达定理即可k PB；(2)又直线的方程为，则，由题意可知，，直线的方程为y+y 1=(x+x1)，则，，即可求出y M×y N为定值–9．20.【答案】（1）证明：由a n+1=a n+2，所以a n+1–4 =(a n–4 )，且a1–4=–2，故数列{a n–4}是以–2为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）题，得a n–4=–2，得，于是，当m≥4时，，无解，因此，满足题意的解为或或；（3）解：①当k =1时，由，解得0<t<1或2<t<3，②当k≥2时，，故分母恒成立，从而，只需a k+1–t<2(a k–t)对k≥2，k∈N*恒成立，即t<2a k–a k+1对k≥2，k∈N*恒成立，故t<(2a k–a k+1)min，又，故当时，，所以，综上所述，的取值范围是(0,1)∪(2,)．【解析】本题考查了数列的函数特征和等比数列的判定与证明，是中档题.（1）由a n+1=a n+2，所以a n+1–4 =(a n–4 )，即可得证等比数列；（2）由(1)题，得，于是，求解即可；（3）分k=1和k≥2两种情况分别由数列的函数特征求解即可.21.【答案】解：(1) 对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”；(2) 因为m>1，f(x)=(x–1)2在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m–1)2(n–1)2=1，由n>m>1，得(m–1) (n–1) =1，故，由n>m>1，得1<m<2，从而在上单调递减，故；(3) 因，故在上单调递增，从而，即，进而，解得或(舍)，从而，存在，使得对任意的t∈R，不等式都成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在单调递增，故当时，，从而，解得，故实数s的最大值为．【解析】(1) 取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，根据新定义可得g(x)=2x是“依赖函数”；(2) m>1，f(x)=(x–1)2在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m–1)2(n–1)2=1，从而在上单调递减，故可得；(3) 因，故在上单调递增，从而解得，原不等式即即恒成立，由，且在单调递增，故当时，，从而，求解即可．。
2018年上海市闵行、松江区高三二模数学卷(含答案)
13.“ xy 0 ”是“ x 0且y 0 ”成立的().闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷考生注意：1 .本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分.2 •作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等.3•所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位•在试卷上作答一律不得分. 4•用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果.2y1 (a 0)的渐近线方程为3x 2y 0，则a9&若球的表面积为100，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ____________ .x |y|9•若平面区域的点(x, y)满足不等式1 (k 0)，且z x y 的最小值为 5，则常数k __—k 4210. ___________________________________________________________________________ 若函数f(x)l°g a (x ax 1) (a 0且a 1)没有最小值，则a 的取值范围是 ___________________________________ . 11.设x 1，x 2,x 3,x 41, 0, 2，那么满足2 x 1 x 2 x 3 x 4 4的所有有序数组(为，x ?,X 3,沧)的组数为*312.设n N , a n 为(x 4)n (x 1)n 的展开式的各项系数之和，c t 2 , t R ,4L( x 表示不超过实数 x 的最大整数).则(n t)2 (b n c)2的最小值5 52 5n2x1 .双曲线一2 a2.若二元 次方程组的增广矩阵是 1 2G ，其解为 x 3 4 c 2y10则 C 10,C 23.设m R ，若复数 (1 mi)(14.定义在R 上的函数 f(x)2x i)在复平面内对应的点位于实轴上，则1 --1的反函数为yf 1(x)，则 f 1(3) 5.直线I 的参数方程为1 t ,2t(t 为参数)， 则I 的一个法向量为6.已知数列 a n ，其通项公式为 3n 1 , nN *, a n 的前n项和为Sn ，则n im卷2,若(a 2b) (xa b)，则实数x 的值为 a n 7.已知向量a 、b 的夹角为60° ,为4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的、选择题(本大题共有相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.16.给出下列三个命题命题1：存在奇函数 f (x) (x D 1)和偶函数g(x) (x D 2),使得函数f(x)g(x) (x D 1I D 2)是偶函数； 命题2:存在函数f(x)、g(x)及区间D ，使得f(x)、g(x)在D 上均是增函数，但f (x)g(x)在D 上 是减函数；命题3：存在函数f(x)、g(x)(定义域均为 D ),使得f(x)、g(x)在x x 0(x ° D)处均取到最大值，但 f (x)g(x)在x x °处取到最小值.(C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件uurOC (0, 0,2)，平面 ABC 的法向量为n (2,1, 2)，设二面角C AB O 的大小为则( )•OB -(A )-(B )(C ) -( D )233 33cos(A )若 S 3 0 ,则 a 2018 0(B )右 S 3,则 a 2018(C )右 a 2a 1，则 a 2019a 20181(D )若一32 ，则 a2019 3132018那么真命题的个数是()•(A) 0 (B) 1(C ) 2(D) 3三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 中, (本题满分14分，第 如图所示，在棱长为 分别是的中点• (1) 求三棱锥的体积；(2) 求异面直线与所成的角的大小18. (本题满分14分， 第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f(x)、、3sin x cos x ,(1)当 f30,且 1时，求 的值;14 •如图，点 A B C 分别在空间直角坐标系 O xyz 的三条坐标轴上,15.已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，则下列判断一定正确的是()•1小题满分7分，第2小题满分 2的正方体(2)在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A B 、C 的对边，a . 3 , b c 3 , 当 2, f (A)1时，求bc 的值•19. (本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分)某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品 A ，产品A 在上市20天内全部售完.据统计，线上日销 售量f(t)、线下日销售量g(t)(单位：件)与上市时间 t(t N *)天的关系满足：20,15 t 20(1) 设该公司 产品A 的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式； (2)产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元?20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)X 2 V 2已知椭圆 ：二 2 1(a b 0)，其左、右焦点分别为印F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,a b(1) 若直线I 垂直于x 轴，求-PF ^的值；PF 2(2)若b 2，直线I 的斜率为-，则椭圆 上是否存在一点 E ，使得R 、E 关于直线I 成轴对称？2如果存在，求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由；— uuu uuur uuuu(3) 设直线l 1: y ,6上总存在点 M 满足OP OQ 2OM ，当b 的取值最小时，求直线I 的倾斜角•21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)10t, f(t)=10t1 t 10, 2g(t)t 20t (1 t 20)，产品A 每件的销售利润为200, 10 t 20,40, h(t) 1 t 15 (单位：元)(日销售量 线上日销售量线下日销售量).过F 2的直线I 交椭圆于 P 、Q 两点，sin BF |O.3 3无穷数列a n (n N*)，若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n , a n i , a n 2 ,L , a “ t 中至少有一个等于 ，则称数列 a “具有性质T .集合P p p a n , n N .r » _ n *(1) 若a n ( 1) , n N ,判断数列 a n 是否具有性质T ；(2) 数列 a n 具有性质 T ,且 a 1 1,a 4 3, a 8 2, P {1,2, 3}，求 a 20 的值； (3) 数列a n 具有性质T ，对于P 中的任意元素P i ，a i k 为第k 个满足a i k P i 的项，记b k i k 1 i k (k N *)，证明：“数列b k 具有性质T ”的充要条件为“数列a n 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数” •闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分) 1. 2 ; 2.40; 3.14. 2 ; 5 .(2, 1)不唯一； 6. 1 ;—?27. 3; 8. .16 ; 9. 5 ; 10.(0,1) U 2, 11.45 ;12. 425二、选择荤题(本大题共有4题， 满分20分，母题5分)13.B ;14. C ;15.D ; 16. D .三、解答题(本大题共有 5题， 满分76分)17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分 7分)［解］(1)因为为正方体，所以 FC 平面DEC ，且FC 1，又△ DEC 的底DC 2，高为E 到DC 的 1距离等于2,所以S A DEC - 2 2 2 , 2分2(2)取 B,B 中点 G ，连接 AQ , EG .由于 A 1G//D 1F ,所以 GA 1E 为异面直线AE 与D 1F 所成的角. 在厶 AGE 中，AG= .5 , AE= -5 , GE 2 ,所以V DFCV F S A DEC FC由余弦定理，得cos GA 1E 匕5)一(回_C 2)4, ................ 12分2 45 45544即 GAE arccos —,所以异面直线 A E 与D i F 所成的角为arccoA .5 518. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) ［解］(1) f (x).3 sin x cos x=2sin x -62分4分1 . 6分21又因为f(A) 1,所以sin 2A16 219. (本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分)40 ( t 2 30t),1 t 10,［解］(1) F(t)40 ( t 2 10t+200), 10 t 15, 8 分20 ( t 2 10t+200), 15 t20(2)①当 1 t 10 时，由 40( t 2 30t)5000 解得 5 t 10； .......... 10 分 ②当 10 t 15时，由 40( t 2 10t 200) 5000解得 10 t 15；……12分 ③当 15 t 20时，由 20( t 2 10t 200)5000，无解•故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元• ...... 14分(或：注意到F(t)在1,10单调递增，F(t)在10,20单调递减且F(5) F(15)…14分由已知，得 2si n3 -0,6所以 k -k Z ,36即3k 1 又1,所以2’而一2A —26，故2A66，所以A6 6.2 2 2由余弦定理得 cos A 1b c a ，即 b 2 c 23 bc ,22bc又 b c 3, 解得bc 210分12分 14分(2)因为2，所以 f(x) 2sin 2x 65000 （12分）故第5天至第15天该公司日销售利润不低于 5000元•（ 14分））20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） ［解］（1）因为 sin BFQ3 a 3即a ,3b ，设椭圆的半焦距为 c ，则c ,2b ，uuu uuir uuuu因为点M 满足OP OQ 2OM ，所以点M 是线段PQ 的中点 设M 的坐标为 x, y ，则yy 1 y 2.2bm................... 12分22m 3l 1 : y -、6上总存在点 uur uur uuiu因为直线 M 满足OP OQ 2OM所以y2bm €，且m 0,所以bG3 m2.3 6,m 3m当且仅当 3 m ，即m ■. 3时取等号.................... 14分所以当m cot、3时，b min6，此时直线I 的倾斜角 —. ............... 16分621. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）F 1F 2PR ，即 4c 2b 2 运-5灵PF 1 PF 2——b , P~^—b ，所以-a 33 PF 2(2)由 a,3b ，b ,2，得F T F 2的坐标分别为（2,0）、（2,0），直线 已知可得:(捲 2) 2 y 1 1屮 1捲 2 12 2 2，解得y 1PF 2 I 的方程为 2 5 16，5(2a PF 2)223 y 6，…6分y -x 1，设点E 坐标为（x 「yj ，则由2|)2 3( 16)2772 25即点Eg%）不在椭圆上,所以，椭圆上不存在这样的点E ，使得F ,、 E 关于直线 l 成轴对称.10分（3）由a 13b ，得椭圆方程为x 2 3y 2 3b 2 .2b ，F 2的坐标为（、2b,0），所以可设直线I 的方程为x my /2b （m cot ），代入x 23y 2 3b 20 得：m 2 3 y 2 2 2bmy b 2 02在直角△ PF 1F 2中，PF 25.方程为解得 a因此椭圆［解］（1）因为a n （ 1）n, n N*, a n是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列,a n 是周期为2 的周期数列，对于任意的正整数n，a n 2 a n ，满足性质T 的条件，故数列a n 具有性质T . .......................... 4分(2) a20 2.由条件可知t 3，考虑a8后面连续三项a9, a10, a11，若a11 2，由a8 2及T性质知a9, a10中必有一数等于2，于是a8,a9,a10中有两项为2，故必有1或 3 不在其中，不妨设为i(i 1或3)，考虑a1,L ,a7中最后一个等于i 的项，则该项的后三项均不等于i ，故不满足性质T 中条件，矛盾，于是an 2 . ................ 8 分同理a i4 2, a i7 2, a?。
2018年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市普陀区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2=12y的准线方程为2．（4分）若函数f（x）=是奇函数，则实数m=3．（4分）若函数f（x）=的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为（结果用数值表示）5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tanA=bc，则角A的大小为6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为9．（5分）设函数f（x）=log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）=7，则f（a）+f（a）+f（a）+…f（a）的值为10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是11．（5分）设M={y|y=（）x，x∈R}，N={y|y=（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2=2，则||的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣114．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．1015．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d=0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k=5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k=6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k=7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k=8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1=2，点E在棱CC1上，且=（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1=EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）=﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）=kx+3，求实数k和t的值；（2）当t=2时，若x∈[0，2]，f（x）=x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p=a q=c（c 为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n=n；②a n=sin；③a n=|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n=，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n=（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．2018年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2=12y的准线方程为y=﹣3【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用跑完操方程求解准线方程即可．【解答】解：抛物线x2=12y的准线方程为：y=﹣3．故答案为：y=﹣3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．（4分）若函数f（x）=是奇函数，则实数m=【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便可得出，从而得出﹣x﹣2m+1=﹣x+2m﹣1，这样即可解出m的值．【解答】解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴﹣x﹣2m+1=﹣x+2m﹣1；∴﹣2m+1=2m﹣1；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的概念，以及多项式相等的充要条件．3．（4分）若函数f（x）=的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为【考点】4R：反函数；51：函数的零点．【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得f（0）=，又由反函数的性质可得g（）=0，由函数零点的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，则f（0）=，若函数f（x）=的反函数为g（x），则g（）=0，则函数g（x）的零点为；故答案为：．【点评】本题考查反函数的性质以及应用，注意利用反函数的性质进行分析．4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为24（结果用数值表示）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，将上、下册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》全排列，安排在两边的4个位置即可，由排列数公式计算即可得答案．【解答】解：根据题意，在中间位置摆放中册《白话史记》，将上、下册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》全排列，安排在两边的4个位置，有A44=24种排法；故答案为：24．【点评】本题考查排列数公式的应用，注意排列与组合的区别．5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tanA=bc，则角A的大小为【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求sinA=，结合A为锐角，可求A的值．【解答】解：∵（b2+c2﹣a2）tanA=bc，∴由余弦定理可得：2bccosA•tanA=bc，可得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0可得n=，结合r∈N可得最小正整数n的值．【解答】解：（x3﹣）n的展开式的通项为=．取3n﹣5r=0，得n=，∴当r=3时，n为最小正整数5．故答案为：5．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出一年内该单位在此种保险中获赔的概率．【解答】解：某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】首先利用转换关系把方程进行转换，进一步建立方程组求出交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x=2y﹣．椭圆C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：x2+4y2=1，则：，解得：，故公共点的坐标为：，故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，二元二次方程组的解法．9．（5分）设函数f（x）=log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）=7，则f（a）+f（a）+f（a）+…f（a）的值为﹣1990【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】运用对数的运算性质和等比数列的性质，计算可得所求和．【解答】解：函数f（x）=log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）=7，则f（a）+f（a）+f（a）+…f（a）=log m（a）+log m（a）+log m（a）+…+log m（a）=2log m（a1a3...a2017）+2log m（a2a4 (2018)=2log m+2×7=2（7﹣1009）+14=﹣1990．故答案为：﹣1990．【点评】本题考查对数的运算性质和等比数列的定义和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是（0，1]∪[，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式．【分析】画出满足条件的平面区域，根据图形直接求出m的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；显然当0＜m≤1时，不等式组表示的区域为三角形；当直线x+y=m经过可行域的B时，可行域是三角形OAB，由可得：B（，）．则m=x+y=，∴满足条件的点P（x，y）表示的平面区域为一个三角形，m的取值范围是：（0，1]∪[，+∞）．故答案为：（0，1]∪[，+∞）．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了数形结合思想，是中档题．11．（5分）设M={y|y=（）x，x∈R}，N={y|y=（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是（﹣1，0）【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出M={y|y＞0}，由此利用N={y|y=（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N⊆M，列出不等式组，能求出m的取值范围．【解答】解：∵M={y|y=（）x，x∈R}={y|y＞0}，N={y|y=（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N⊆M，∴，解得﹣1＜m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2=2，则||的最大值为6+【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，求得，求得=（6cosα+1，6sinα﹣3），利用向量的模长公式，利用辅助角公式及余弦函数的性质，即可求得答案．【解答】解：由题意可知：F1（﹣1，0），F2（1，0），N（0，1），设M（x0，y0），由||2=2，则x02+（y0﹣1）2=2x02﹣2+2y02，整理得：x02+（y0+1）2=4，设，|=（2cosα﹣1，2sinα﹣1），=（2cosα+1，2sinα﹣1），则=（6cosα+1，6sinα﹣3），则||===≤=6+，∴||的最大值为6+，故答案为：6+．【点评】本题考查椭圆的标准方程，向量的数量积的坐标运算，考查向量的模长公式，辅助角公式及余弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为0且实部大于0求得a 值．【解答】解：∵（a+i）2i=（a2﹣1+2ai）i=﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a=﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．10【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径，然后画出主视图，求解即可．【解答】解：由题意设圆锥的底面半径为R，则：几何体，其表面积为（5+）π，上部圆锥的母线长为，可得：=（5+）π，解得：R=1．则该几何体的主视图的面积为：2×2+=6．故选：B．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，考查几何体的表面积以及主视图的面积的求法，考查计算能力．15．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d=0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据等差数列前n项和公式以及极限的性质分别进行判断即可．【解答】解：等差数列的前n项和公式为S n=na1+d=n2+（a1+）n，若S n存在，则=0且a1+=0，即d=0，a1=0，则充分性成立，若d=0，a1≠0，则S n=na1，则S n不存在，即“S n存在”是“该数列公差d=0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合数列极限的定义和性质是解决本题的关键．16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k=5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k=6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k=7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k=8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形【考点】6P：不等式恒成立的问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】利用排除法根据题意排除A，C，D，由此能求出结果．【解答】解：对于A，由不等式：x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，排除A；对于C，对x=1，y=2，z=3，得：7（2+3+6）＞5（12+22+32），不等式成立，但是不能构成三角形，排除C；对于D，k=8时，取x=3，y=4，z=5，8（12+15+20）=376＞5（32+42+52）=250，不等式成立，且存在以3，4，5为边长的直角三角形，排除D．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1=2，点E在棱CC1上，且=（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1=EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由题意画出图形，由可得CE，然后直接代入三棱锥体积公式求解；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出与的坐标，结合异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos列式求λ的值．【解答】解：（1）∵AA1=2，=，∴当时，CE=1．∴三棱锥D1﹣EBC的体积V=；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），C1=（0，1，2），则，=（﹣1，0，0）+（0，0，2λ）=（﹣1，0，2λ），∵异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos，∴|cos＜，＞|=||=||=．解得：λ=（λ＞0）．【点评】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的图象性质可得实数a的取值范围；（2）根据对称问题，x1∈[﹣]，求解范围，结合图象即可确定点Q的坐标．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）令，得上是单调递增；∵函数f（x）在区间[a，]上递增，∴即实数a的取值范围是[，）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，则2x﹣∈[，]Q在函数图象上，且是一个零点．可得2x﹣=0，即x=∴点Q的坐标为（，）．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，图象关于点Q（x1，y1）对称，Q在函数图象上，是一个零点是解决本题的关键．属于中档题．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【考点】KE：曲线与方程．【专题】38：对应思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据圆锥曲线的定义得出方程；（2）设G（x，y），得出GM2关于y的函数，从而得出G点坐标．【解答】解：（1）∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，∴线路AB的轨迹为以MN为焦点的双曲线的一部分，设双曲线方程为=1，则，∴a=5，b=5．∴线路AB的方程是：﹣=1（x≤﹣5，y≥0），同理可得线路CD的方程为：﹣=1（x≥0，y≤﹣5）．故而B（﹣5，0），∵线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，∴线路BC的方程为：x2+y2=25（﹣5≤x≤0，﹣5≤y≤0）．（2）Q（0，5），设G（x，y），则x2﹣y2=25，∴GQ2=x2+（y﹣5）2=2y2﹣10y+75=2（y﹣）2﹣25，∴当y=时，GQ最小，代入双曲线方程可得x=﹣，∴G（﹣，）．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，两点距离的计算，属于中档题．20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）=﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）=kx+3，求实数k和t的值；（2）当t=2时，若x∈[0，2]，f（x）=x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由新定义可得k（x+t）+3=﹣t（kx+3），即有k，t的方程组，解方程可得k，t的值；（2）由f（x）在[0，2]的解析式，结合新定义，作出f（x）在[﹣2，6]的图象，即可得到所求最值；（3）讨论t=﹣1，t=1，结合周期函数的定义，可得f（x）的周期，当t≠1且t ≠﹣1时，f（x）的值域不关于原点对称，即可得证．【解答】解：（1）对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）=﹣tf（x）成立，可得k（x+t）+3=﹣t（kx+3），即有kt+k=0，kt+3t+3=0，解得k=0，t=﹣1；（2）f（x+2）=﹣2f（x），若x∈[0，2]，f（x）=x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1，作出函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的图象，由图象可知f（3）=﹣2最小，f（5）=4最大，可得值域[﹣2，4]；（3）证明：定义在R上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）=﹣tf（x）成立，当t=﹣1时，f（x﹣1）=f（x），即f（x+1）=f（x），f（x）为最小正周期是1的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t=1时，f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），f（x）为最小正周期是2的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t≠1且t≠﹣1时，由f（x+t）=﹣tf（x），可得f（x）的值域不满足数f（x）的值域为[﹣a，a]，当函数f（x）的值域为[﹣a，a]，函数f（x）为周期函数．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查方程思想和函数的图象及运用，周期函数的定义，考查运算能力，属于中档题．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p=a q=c（c 为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n=n；②a n=sin；③a n=|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n=，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n=（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；23：新定义；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）在①中，a n=n是双底数列；在②中，a n=sin不是双底数列；在③中，a n=|（n﹣3）（n﹣5）|是双底数列．（2）由a50=a51，能求出实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n．（3）假设存在整数k，使得数列{a n}为双底数列，由a n=a n+1，得（kn+3）•（）n=[k（n+1）+3]•（）n+1，从而n=9﹣，由此能求出结果．【解答】解：（1）在①中，a n=n是双底数列；在②中，a n=sin不是双底数列；在③中，a n=|（n﹣3）（n﹣5）|是双底数列．（2）∵a n=，数列{a n}是双底数列，∴a50=a51，即101﹣100=251﹣5+m=2+m，解得m=﹣1，当1≤n≤50时，a n=101﹣2n，{a n}是首项为a1=99，公差d=2的等差数列，∴S n=99n+=100n﹣n2；当n≥51时，，S n=2n﹣49﹣n+2548．（3）a n=（kn+3）（）n，假设存在整数k，使得数列{a n}为双底数列，根据题意，k＜0，由a n=a n+1，得（kn+3）•（）n=[k（n+1）+3]•（）n+1，整理，得n=9﹣，∵k∈Z，∴k=﹣1或k=﹣3．【点评】本题考查双底数列的判断，考查实数值、数列的前n项和的求法，考查满足双底数列的实数值的求法，考查等差数列、双底数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
(完整版)浦东区高三二模数学word版(附解析).docx
得：f ( x)
1
( x
2)2
2, x
tan CDO
10
,
CDO
arctan10⋯⋯⋯⋯⋯2分
5
5
所以，直CD与平面AOB所成角的arctan10⋯⋯⋯⋯⋯1分
5
18.在ABC中，a、b、c分 角A、B、C所 的.
2c
(2a
b)sin A
（1）若
(2b
a)sin B
sin C
0，求角C的大小；
1
(2 a
b)sin A
（2）若sin A
4
，若| x1
x2| 1，则实数p的值为（
）
A.3
B.
5
C.
3，5
D.3，5
14.在复数运算中下列三个式子是正确的：
（1）| z1z2| | z1| | z2
|；（2）| z1
z2| | z1| | z2|；
（3）( z1z2)
z3
z1
( z2z3)，相应的在向量运算中，下列式子：（
r
r r
r
1）| a
b | | a |
| b |；
r
r
r
r
r r
r
r r r
（2）| a
b |
| a | | b |；（3）( a b)
c
a (b c)，正确的个数是（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中
后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）
A.充分条件
B.必要条件
2018年上海市静安区高考数学二模试卷(解析版)
17．（14 分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度 C 是指每平方米的昆虫数量，这个 C 的函数表达式为
这里的 t 是从午夜开始的小时
数，m 是实常数，m＝C（8）． （1）求 m 的值； （2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．
cm．
6．（4 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为（4，3，2），则 的坐标为
．
第 1 页（共 16 页）
7．（5 分）方程
的解集为
．
8．（5 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（a，﹣4）（a＞
0）到焦点 F 的距离为 5．则该抛物线的标准方程为
．
9．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值
的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若
输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 q 的值为
．（在算法语言中用“*”表示乘法
运算符号，例如 5*2＝10）
2018 年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4 分）已知集合 A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合
用列举法表示的结果是
（1）若 a＝﹣1，解不等式 f（x）≥0；
2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．【考点】1D：并集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据并集的定义与性质，直接写出m的值．【解答】解：集合A={1，2，m}，B={2，4}，若A∪B={1，2，3，4}，则实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．（4分）（x+）n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n=4．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，结合已知可得r=2时，x的指数为0，则答案可求．【解答】解：=．∵展开式中的第3项为常数项，∴n﹣4=0，得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）已知复数z满足z2=4+3i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z|．【解答】解：由z2=3+4i，得|z2|=|z|2==5，∴|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）已知平面直角坐标系xOy中动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，则点P的轨迹方程为y2=4x．【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件通过抛物线的定义，写出动点P的轨迹方程．【解答】解：∵动点P（x，y）到定点（1，0）的距离等于P到定直线x=﹣1的距离，满足抛物线的定义，∴p=2，所以y2=4x所以动点P的轨迹方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．5．（4分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是其前n项和，则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式和前n项和公式，利用极限的定义进行求解即可．【解答】解：等差数列的通项公式a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，前n项和公式S n=n+×2=n+n2﹣n=n2，则===，故答案为：．【点评】本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．6．（4分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，由已知求出扇形的半径，进一步得到圆锥的母线长，底面半径及高，则答案可求．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R=3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r=1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥剪展前后量的关系是关键，是中档题．8．（5分）三棱锥P﹣ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB的长为4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】由主视图知CP⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CP长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BP的长．【解答】解：由主视图知CP⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=2；由左视图知CP=4，BE=2，在Rt△BCE中，BC==4，在Rt△BCP中，BP==4．故答案为：4【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．9．（5分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率．【解答】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n=4×4=16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种，∴顾客抽奖中三等奖的概率为p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax＞0恒成立，再求此不等式恒成立时a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，即（1﹣a2）x2+1＞0恒成立；∴1﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．11．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，∠A=120°，•=﹣，则线段AM 长的最小值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意表示出向量，利用基本不等式求出的最小值，即可得出线段AM的最小值．【解答】解：△ABC中，点M是BC中点，∴=（+）；再由∠A=120°，•=﹣，可得||•||•cos120°=﹣，∴||•||=1；又=（+2•+）=[++2×（﹣）]≥（2||•||﹣1）=，∴||≥，即线段AM的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是（2，4] ．【考点】4E：指数函数综合题；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．【解答】解：∵4x+4y=（2x+2y）2﹣2••2x2y=s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1=2（2x+2y）=2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y=2s，即2•2x2y=s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x=2y，即x=y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．二、选择题（每题5分）13．（5分）“x=2”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=2时，满足x≥1，当x=3时，满足x≥1但x=2不成立，即“x=2”是“x≥1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．14．（5分）参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y=10，结合x、y的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，又由参数方程，则y+2=（x﹣4），即x﹣3y=10，又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，则参数方程表示的是线段；故选：C．【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．15．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合．【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点评】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．16．（5分）在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y等于不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），则b2018等于（）A．2B．5C．7D．8【考点】8H：数列递推式．【专题】49：综合法；4F：归纳法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），可得：a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，……，可得：b n+6=b n．利用周期性即可得出．【解答】解：∵a n=INT（×10n），b1=a1，b n=a n﹣10a n﹣1（n∈N*，且n≥2），∴a1=2=b1，a2=28，b2=28﹣10×2=8，同理可得：b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，b8=8，……，可得：b n=b n．+6则b2018=b336×6+2=b2=8．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、取整函数、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦化简变形，再由周期公式求得周期，结合正弦函数的值域求得原函数值域；（2）由已知求得sinB，再由f（A）=2求得A，结合sinC=sin（A+B），展开两角和的正弦求解．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的周期及其最值的求法，训练了两角和的正弦的应用，是中档题．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与PC所成角的大小．（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，4），C（2，4，0），=（﹣2，1，0），=（2，4，﹣4），∵=﹣4+4+0=0，∴BD⊥PC，∴异面直线BD与PC所成角的大小为．（2）=（0，0，4），=（2，4，0），=（0，﹣1，4），=（2，3，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣6，4，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（14分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件得出f（x）的三个条件，并判断y=+2是否满足3个条件；（2）根据（1）的三个条件列不等式即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．【解答】解：（1）f（x）满足的基本要求是：①f（x）是定义域[10，1000]上的增函数，②f（x）的最大值不超过9，③f（x）≤在[10，1000]上恒成立．若f（x）=+2，则当x=10时，f（10）=+2＞2，而=2，故不满足条件③，∴y=+2不符合团队要求的奖励函数模型．（2）f（x）==10﹣（10≤x≤1000）．∵f（x）是增函数，∴3a+20＞0，即a＞﹣．∴f（x）的最大值为f（1000）=10﹣≤9，解得：a≥．令≤在10，1000]上恒成立，即x2﹣48x+15a≥0在10，1000]上恒成立，∴242﹣48×24+15a≥0，解得a≥．综上，a≥．又a为正整数，∴符合条件的最小正整数a的值为328．【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20．（16分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C，D（点C在点D的上方），试求△COD面积的最大值；（3）若直线m经过点M（1，0），且与椭圆Γ交于两个不同的点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到直线l0的距离d A，d B满足=恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】16：压轴题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的焦距求出c，由P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上可得a=2，即可求出b2，可得椭圆方程，（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，再根据函数的性质即可求出最值．（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理，假设存在这样的直线l0，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得=，化简整理代入，即可判断．【解答】解：（1）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴2c=2，即c=，∵P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上，∴（﹣2，0）在椭圆Γ上，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=1，∴+y2=1；（2）设过点P（0，2）的直线方程为y=mx+2，联立方程组可得，消y可得（1+4m2）x2+16mx+12=0，△=4m2﹣3＞0，设C（x C，y C），D（x D，y D），∴x C+x D=﹣，x C x D=，∴|CD|=•=•，∴点O到直线CD的距离d=，∴S=|CD|•d=4×，△COD设1+4m2=t，则t＞4，=4=4=4，∴S△COD当t=8时，取得最大值，即为1，（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），即有x1+x2=，x1x2=，存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到l0的距离d A，d B满足：=恒成立，∴=，即为2x1x2+2x0﹣（1+x0）（x1+x2）=0，即有+2x0﹣（1+x0）•=0，即为8k2﹣8+2x0（1+4k2）﹣8k2（1+x0）=0，∴2x0=8，解得x0=4＞2．故存在这样的x0的值：x0=4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n=（a n+1）2，若数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b nb n+1对任意n≥2成立．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得b n．进而得出c n，T2n．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由4S n=（a n+1）2，n=1时，4a1=，解得a1=1．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=（a n+1）2﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）数列{b n}满足b1=2，b2=4，且等式b n2=b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为=2．∴b n=2n．∴c n=，k∈N*．∴T2n=+=n2+2n+1﹣2．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，n=2k时，λ≤的最小值，f（k）==+2，k≥2时单调递减，∴f（k）≤+2=．k=1时，f（1）==．∴λ≤．n=2k﹣1时，λ≤的最小值，同理可得：λ≤1．综上可得：实数λ的取值范围是λ≤1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,,y y L 且()1006y y y R =∈，若()()()()11122n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ-*+-≥⎧⎪=∈⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则当01y=时，下列结论正确的应为 （ ）)(A 数列12,,,y y L 的“准最大项”存在，且为2π。
)(B 数列12,,,y y L 的“准最大项”存在，且为3π。
)(C 数列12,,,y y L 的“准最大项”存在，且为4π。
)(D 数列12,,,y y L 的“准最大项”不存在。
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17.本题满分14分，（本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，43===AB PA AD ，，点E在侧棱PA 上，且1=AE ，F 为侧棱PC 的中点. （1）求三棱锥ABD E -的体积； （2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小.18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设1z +为关于x 的方程20,,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位。
（1）当1z i =-+时，求,m n 的值（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围。
19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为,0x x >（单位：尾/立方分米）。
当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式。
（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值。
20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行。
（1）求C 的方程（2）如图，12,F F 为C 的左右焦点，动点000(,)(1)P x y y ≥在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴，y 轴分别交于点(,0)(55),M m m N -<<，试比较m 与2的大小，并说明理由。
（3）在（2）的条件下，设过点1,F N 的直线l 与C 交于,D E 两点，求2F DE ∆的面积最大值。
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设(),()k t kx tf x x+=（这里的,,k t x R ∈且0x ≠） （1）()(2,2)(1,3)1,2(1),(),(3)f f x f 成等差数列，求x 的值。
（2）已知*(0,1)1()n f n N x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是公比为32的等比数列，*15,x x N ∈，是否存在正整数u ，使得41x u ≥，且45(1)x u ≤+？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由。
（3）如果存在正常数M ，使得n y M ≤对于一切*n N ∈的成立，那么称数列{}n y 有界，已知0,a m >为正偶数，数列{}n x 满足10x b =<，且*1(,)1()n b a m nx f n N x +=∈证明：数列{}n x 有界的充要条件是120m ab -+≥。
参考答案1、{}22、24y x =3、1.724、4π5、4π6、97、1688 8、9、31010、[)2,+∞ 11、4- 1213-16、BACB17、（1）2；（2）arccos106618、（1）1n =，0m =；（2）()20,3219、（1）()(][]()2,0,4,15,4,2082x g x x N x x *⎧∈⎪=∈⎨-+∈⎪⎩；（2）12.5千克/立方分米 20、（1）2214x y -=；（2）m ≤（3）21、（1）4x =；（2）1u =或2u =；（3）证明略上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅u u u r u u u r ，当PM PN ⋅u u u u r u u u r取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. B. 4C. D. 8 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r，则称此“向量列”为“等差向量列”， d u r 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n nb q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u u r 和“公差向量” d u r 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+u u r u u r u u r ；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =u r ，1(1,1)a =u u r ，(,)n n n a x y =u u r ，{}n b u u r是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r ，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u u r u r u u r u u r u u r u u r.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(1,2-和[2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是 【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a d γ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C == 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn 11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B动且满足PC k BC =⋅u u u r u u u r，当PM PN ⋅u u u u r u u u r 取得最小值时，实数k 的值为（ ）A.12 B. 13 C. 14D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r ，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. B. 4C. D. 8【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，8MN ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==.19. 平面内的“向量列” {}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r，则称此“向量列”为“等差向量列”， d u r 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n nb q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u u r 和“公差向量” d u r 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+u u r u u r u u r；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =u r ，1(1,1)a =u u r ，(,)n n n a x y =u u r ，{}n b u u r是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r ，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u u r u r u u r u u r u u r u u r.【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+u u r u u r u u r u u r u r；（2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅u u r u r，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论；（2）:MA l y x =+，∴P y =，同理Q y =，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点 （3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2m k n-=切，由夹角公式 1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k nθ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x =-（x ∈R ）. （1）如果x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x在(-和的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是a ≥【解析】（1）(023f a ≤⇒≥； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增；（3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 q结合第（2）问，31q a q =-在(1,2-上递减，在[2上递增，∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.4.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．函数lg 1y x =-的零点是 ．2．计算：=+∞→142limn nn ．3．若()13nx +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n = ．5．若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．6．若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是 ．8．若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．9．若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 ． 10．若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 ． 11．在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ． 12．已知非零向量OP uuu r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++u u u u r u u u r u u ur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤u u u u r u u u r恒成立，则实数k 的最小值为 ．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为 （ ）)(A4π )(B 2π )(C 2π-)(D 3π-14．设B A 、是非空集合，定义：B A ⨯={|}x x A B x A B ∈⋃∉⋂且.已知{|A x y ==， }{1>=x x B ，则A B ⨯等于 （ ）)(A ),2(]1,0[+∞Y ． )(B ),2()1,0[+∞Y ．)(C ]1,0[． )(D ]2,0[．15．已知222211220,0a b a b +≠+≠,则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=”平行的（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件16．已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）1()arccos()arccos()arccos()arccos3399A B C D三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足 21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2≥n ，n *∈N ， λ，μ∈R .(1) 若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和； (2) 若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知椭圆222:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数tx g x +=21)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数；（3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论.杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷答案一、填空题1. 10x = ；2．21； 3．4 ； 4. 12 ； 5．3 ； 6. 2； 7． ；8．4； 9． 2424.77-或 ；10．4 ； 11． ； 12. 34二、选择题13． C ； 14 . A ； 15． B ; 16. D ;三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 【解】（1） 要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， …………………………………2分解得8040<<x . …………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分（2）6080021+--=xx x y …………………………………9分 20604002=+-≤当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0），B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（1）证明：1(1,0,1)DA =u u u u r ，1(1,,1)ED m =--u u u u r………2分111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u r u u u u r………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ，所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，可得45sin 11=︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分由于AB=1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o 时，点E 在线段AB 中点处. …14分 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S .即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n=2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+.又32λμ+=可以解得21=λ，1=μ ………9分所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明：①当n=1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立；②假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列. ………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+- 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 【解】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K所以2212()(,)8KF KF x y x y x y ⋅=-⋅--=+-u u u r u u u u r由于2299x y +=，所以2299y x =-，22212(99)881KF KF x x x ⋅=+--=-+u u u r u u u u r …3分由椭圆性质可知11x -≤≤，所以12[7,1]KF KF ⋅∈-u u u r u u u u r……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ，所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于 -9为定值. …………10分 （3）因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mk kx y +-=3. 由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分 由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k kmm k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【解】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++， ……5分化简得，22(1)(22)(2)2a xa x a btb t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20ab t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+由（1 ） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-=由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-，所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数。