高中数学等差数列教学教案.docx

课题：等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道 a n , a1 , d , n 中的三个，求另外一个的问题
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
授课类型：新授课
课时安排： 1 课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，
这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列( 从几何上看两点可以决定一条直线)
教学过程：
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式 .. 这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看
这样一些例子 :
2.小明目前会 100 个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每
天忘掉 2 个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100 ， 98，96，94，92 ①
3.小芳只会 5 个单词，他决定从今天起每天背记 10 个单词，那么在今后的五天
内他的单词量逐日依次递增为 5 ，15， 25，35，45②
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字
——等差数列
二、讲解新课：
通过练习 2 和 3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后
面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。

由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到
抽象、由特殊到一般的认知能力。

( 二)新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列 , 从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数
列就叫等差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 来表示。

强调：
①“从第二项起”满足条件；
②公差 d 一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1- an=d (n≥1)
同了配合概念的理解，我找了 5 数列，由学生判断是否等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ， 8， 7， 6，5，4，⋯⋯；√ d= -1
2.，，，，⋯⋯；√ d=
3.0 ，0，0，0，0，0，⋯⋯ .; √ d=0
4.1 ，2，3，2，3，4，⋯⋯；×
5.1 ，0，1，0，1，⋯⋯×
其中第一个数列公差 <0, 第二个数列公差 >0, 第三个数列公差 =0
由此：公差可以是正数、数，也可以是 0 2、第二个重点部分等差数
列的通公式
在等差数列通公式中，我采用式的教学方法。

出等差数列的首，公差 d，由学生
研究分 a4 的通公式。

通 a4 的通公式由学生猜
想a40 的通公式，而 an 的通公式。

整个程由学生完成，通互相
的方式既培养了学生的作意又化解了教学点。

若一等
差数列 {an } 的首是 a1, 公差是 d,
据其定可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d
⋯⋯
猜想 : a40 = a1 +39d
而出等差数列的通公式：
an=a1+(n-1)d
三、例解
例1 ⑴求等差数列 8， 5， 2⋯的第 20
⑵-401 是不是等差数列 -5 ，-9 ， -13 ⋯的如果是，是第几
解：⑴由 a1 8, d58253
n=20，得a208(201)(3)49
⑵由 a15, d9( 5)4
得数列通公式：a n54(n1)
由意可知，本是要回答是否存在正整数n，使得401 5 4(n 1) 成立解之得n=100，即 -401 是个数列的第100
例 2 在等差数列a n中，已知 a510 ， a1231 ，求 a1,d ,a20,a n
解法一：∵ a510
， a1231，
a14d10a12
∴ a n a1 (n 1)d3n 5 a111d31 d 3
a
20a1 19 d 55
解法二：∵ a12a57d31107d d3
∴ a20a
128d 55a n
a
12(n12)d3n5
小：第二通公式a n a m(n m)d
例 3 梯子最高一33cm，最低一110cm，中有10 ，各的度成等差数列，算中各的度
解： a n表示梯子自上而上各度所成的等差数列，
由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12
∴ a12a1(12 1)d ,即10=33+11d解得： d 7
因此， a233740, a340747, a454, a561,
a668, a775, a882, a989, a1096, a11103,
答：梯子中各的度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm， 96cm， 103cm.
例 4 已知数列 { a n } 的通公式a n pn q ，其中p、q是常数，那么个数列是否一
定是等差数列若是，首与公差分是什么
分析：由等差数列的定，要判定a n是不是等差数列，只要看a n a n 1（n≥2）是不是一个与 n 无关的常数
解：当 n≥ 2 ,（取数列a n中的任意相两 a n1与 a n（n≥2））
a n a n 1 ( pn q) [ p( n1)q]pn q ( pn p q)p 常数
∴ { a n } 是等差数列，首a1p q ，公差p
注：①若 p=0， { a n } 是公差0 的等差数列，即常数列q， q，q，⋯
②若 p≠ 0,{ a n } 是关于 n的一次式 , 从象上看 , 表示数列的各点均在一次函数
y=px+q 的象上 , 一次的系数是公差, 直在 y 上的截距 q.
③数列 { a n } 等差数列的充要条件是其通
a n =pn+q (p 、q 是常数 ) 称其 第 3 通 公
式
④判断数列是否是等差数列的方法是否 足
3 个通 公式中的一个
四、 ：
1. （ 1）求等差数列 3， 7， 11，⋯⋯的第 4 与第 10 . 分析：根据所 数列的前 3 求得首 和公差，
写出 数列的通 公式，
从而求出所求
.
解：根据 意可知：
a 1 =3, d =7－3=4.
∴ 数列的通 公式 ：
a n =3+（ n － 1）× 4, 即 a n =4n － 1（ n ≥ 1, n ∈ N* ）
∴ a 4 =4× 4－ 1=15, a 10 =4× 10－ 1=39. 述：关 是求出通 公式 .
（ 2）求等差数列 10， 8，6，⋯⋯的第
20 .
解：根据 意可知： a 1 =10, d =8－ 10=－ 2.
∴ 数列的通 公式 ：
（ n － ）×（－
2
） 即： a n =
－ n
a n =10+
1
,
2 +12,
∴ a 20 =－ 2× 20+12=－ 28.
述：要注意解 步 的 范性与准确性 .
（ 3）100 是不是等差数列
2，9，16，⋯⋯的 如果是，是第几 如果不是， 明理由
.
分析：要想判断一数是否 某一数列的其中一 ， 关 是要看是否存在一正整数
n
，使得 a n 等于 一数 .
解：根据 意可得：
a 1 =2, d
－
=9 2=7.
∴此数列通 公式 ：
（ n － ）× 7=7 n －
5.
a n =2+1
令 7 － 5=100, 解得：
n =15, ∴ 100 是 个数列的第 15 .
n
（ 4）－ 20 是不是等差数列
0，－3 1
，－ 7，⋯⋯的 如果是， 是第几 如果不是，
2
明理由 . 解：由 意可知： a 1 =0, d =－ 3 1 ∴此数列的通 公式 ： a n =－
7
n + 7
,
2
2 2
令－ 7
n + 7
=－ 20, 解得 n =
47
2
2
7
因 － 7 n + 7
=－ 20 没有正整数解，所以－
20 不是 个数列的 .
2
2
2. 在等差数列 { a n } 中，（ 1）已知 a 4 =10, a 7 =19, 求 a 1 与 d ;
（ 2）已知 a 3 =9,
a 9 =3, 求 a 12 .
a13d10a11
解：（ 1）由题意得：,解之得：.
a16d19d3
a12d9a111
（ 2）解法一：由题意可得：, 解之得
a18d3d1
∴该数列的通项公式为：a n=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴ a12=0
解法二：由已知得：d即：d∴ d －
a9= a3+6 ,3=9+6 ,=
1
又∵d∴×（－）
a12= a9+3 ,a12=3+31
=0.
Ⅳ . 课时小结
五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a n－
a n 1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：a n a1(n 1)d ，
并掌握其基本应用. 最后，还要注意一重要关系式：a n a m( n m)d 和 a n=pn+q (p 、 q 是常数 ) 的理解与应用 .
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。