3.5基本定理证明

3.5基本定理证明3.5.1 域的扩张下面我们介绍有关域扩张的知识.如果Q 是有理数域，则2是Q 上的代数元，因为2是多项式022=-x 的根，将2加到Q 上，得到一个Q 的扩域 Q[2]=},|2{Q b Q a b a ∈∈+我们称Q[2]是Q 的单纯扩张.一般地，如果α是域F 上不可约多项式0111)(b x b x b x b x g n n n n +++=--的根，即 0)(011=+++=--b b b g n n n n ααα 则一切形如012211a a a a n n n n ++++----ααα其中1,,1,0,-=∈n i F a i 的元素构成一个域，它是F 的扩域.实际上只要证明上述形式的元素有加、减、乘、除四种运算即可.对于α的一切大于等于n 次的多项式都可化为α的n -1次多项式.因为若011)(a x a x a x f k k k k +++=--其中k ≥n ，则 011)(a x a x a x f k k k k +++=-- 其中 k ≥n ，则)()()()(x r x q x g x f +=，其中r (x )的次数≤n -1)()()()()(αααααr r q g f =+=另一方面，任何α的分式)0)(()()(≠αααk k f 也一定是α的多项式.因为0)(≠αk ，g (x )是不可约多项式，所以1))(),((=g g x k ，即存在)(),(x v x u ，使得1)()()()(=+x v x g x u x k所以 1)()(=ααu k所以 )()()()()()()()(ααααααααu f u k u f k f == 由上面两个论断不难得出，一切形如02211a aa a a n n n n +++---- 的元素构成一个域，我们称它为F 的单纯扩张，用][αF 表示.上述论断说明一个很重要的问题：既使是不可约多项式g (x )的根求不出来，我们也可以形式上认为α就是它的根.一切形如011a a a n n ++-- 的元素都构成了F 的扩域；或者说，只要g (x )是不可约多项式，F 就有一个单纯扩张，所以任何一个F 上的多项式，从理论上讲都可以把这个多项式的所有根添到F 上得到域的扩张，这个扩张就是近世代数所讲的F 的分裂域.3.5.2代数学基本定理的证明下面给出代数基本定理的两个证明.第一个证明与高斯原始证明基本相同.引理3.14(a) 实系数奇次多项式至少有一个实数根.证明 设多项式)0)(()(12120212120221212≠+++=+++=++++++n n n n n n n n n a xa x a a x a x a x a x f 当x →+∞时，括号中除12+n a 外，其余均无穷小量.所以当x →+∞时，函数f (x )所取符号与12+n a 相同；当x →-∞时，函数f (x )所取符号与12+n a 相反.由函数的连续性质可得，存在一个实数α，使得f (α)=0定理3.15 （代数学基本定理）任何实系数（n >0）次多项式至少有一个复数根.证明 设f (x )为实系数多项式，次数为2k ·q (奇次已证毕)，这里q 是奇数，我们对k 实行归纳证明.当k =0时，定理显然成立.设定理对k -1成立，往证定理对k 成立.设P 是由实数域R 添加f (x )的所有根n ααα,,,21 所得扩域（近世代数称为分裂域）R[n ααα,,,21 ].（注意，我们前面已经讲过，无论f (x )的根有没有求出来，我们都可以形式上得到一个单纯扩张)(αR ，这里α是f (x )的根.这样,当然可以一个一个添加f (x )的其他根而得R 的扩张R[n ααα,,,21 ]）.在扩域P = R[n ααα,,,21 ]中，设n j n i j i c j i j i ij ,,2,1,,,2,1,),( ==<++=ααααβ这里a i 是f (x )在P 中的根，c 为固定实数元素，ij β的个数为'1·22)12(22)1(q q q n n k k k -=-=- 'q 为奇数. 令g (x )=∏<-j i ij x )(β 这时g (x )的次数为'1·2q k -.g (x )的系数为ij β的对称多项式，而ij β又是n ααα,,,21 的多项式，所以g (x )的系数是n ααα,,,21 的多项式.由于对换任何两个根j i αα和只能得出ij β这组元素的一个置换，并不改变g (x )为系数，所以g (x )的系数是n ααα,,,21 的对称多项式，由定理3.14知g (x )的系数为实数. 又由归纳g (x )的次数为'1·2q k -，所以g (x )至少有一个根为复数，即至少有一个ij β为复数.这样，对每一个选定的实数c ，均有一个ij β为复数，由于c 的选择是无穷的，而i,j 的选择却是有限的，所以一定存在两个不同的实数c 1和c 2使得 bc ac j i j i j i j i =++=++)()(21αααααααα其中a 与b 为复数.由上式可得 121221c c bc a c c c b a j i j i --=--=+αααα显然，这时可得j i αα与是一个复系数一元二次方程的根，即j i αα与是复数.由此证明了f (x )至少有一个复数根.定理3.16 复系数n (n >0)次多项式至少有一个复数根.证明 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--是复系数n 次多项式，此时有011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 其中i i a a 是的共轭复数.令.)()(121222b x b x b x f x f n n n n +++=-- 这里，∑∑=+=+⋅==kj i k j j k j i j i k x f x f b a a a a b )()(,,即为实数所以是实系数多项式. 由高斯代数学基本定理)()(x f x f 至少有一个复数根β，0)()(=⋅ββf f .若)(,0)(x f f 则=β有一复数根；若0)(=βf ，则0)(=βf ，即)(,0)(x f f =β有复数根β.所以，无论哪种情况f (x )均有复数根.推论3.16(a) 复系数n 次多项式有n 个根（包括重根）.证明 若f (x )有复数根α，则)()()(x g x x f α-=由归纳即可证明此推论.代数学基本定理的证明需要域论知识，所用代数知识较多，下面我们给出一个纯分析上的证明，这个证明只要有大学一年级的分析知识就足够了.引理3 .16(b) 对于复系数n 次多项式0,)(001≠+++=a a x a x a x f n n如果一点x 0有0)(0≠x f ，则存在一个充分小的h ,使得|)(||)(|00h x f x f +>证明 由泰勒公式)(!)(!2)(!1)()(0)(0"0'00x f h h x f h x f h x f h x f n n++++=+ 注意 上式对多项式f (x )是恒等式.由于,0!)(0≠=n n a n x f 所以存在一个k ,使得,0)()(010'==-x f x f k,0)(0≠x f k 而所以=+++=++++=+)(!)()(!)(1)()()(!)(!)()(00"00000)(000x f n x f h x f k x f h x f h x f x f n h x f k h x f h x f n k k n nk kn n k k k k h c h c h c ++++++ 111这里 ()n k i x f x f i c i i ,,,)(!100)( == 所以，)(1)()(22100k n kn k k k k k k k k h c c h c c h c c h c h c x f h x f -++++++=+ 选取充分小h ，使得,21||,21221<<++-++k k k n k n k k k k h c h c c h c c h c c 这时有严格不等式|21||1|)()(00k k k k h c h c x f h x f ++<+ 选取h 的幅角，使得k k h c 的幅角为π，使k k h c 为负实数，则有1||21||1)()(00<+-<+k k k k h c h c x f h x f )()(00x f h x f <+利用上述引理3.14(a)证明代数学基本定理：)|||||||||||(|||||||||||||)(|01011011n n n n n n n n n n n n x a x a a x a x a x a a x a x a x f ---=---≥+=-----由于0≠n a ,而当,0|||,||,|||,||01→∞→-n n x a x a x 时所以，对任意大的数M ，当|x |充分大时，均有|||)(|0a x f >.当0|)(|,||a x f N x >≥时.这时)(x f 在闭区域N x ≤||内是连续复函数，|)(|x f 也是连续函数，在N x <||内有极小值，设极小值为|)(|0x f .显然|||)0(||)(|00a f x f =≤，且,||0N x ≠如果0)(0≠x f ，则由引理3.16(b)存在一个h ，使得|)(||)(|00h x f x f +>，这与|)(|0x f 是极小值的结论矛盾，所以0)(0=x f .。