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梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。

梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。

如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。

梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。

由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。

本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。

2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。

其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。

梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。

2.4 梅森公式

(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触，解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
L2 L5 G1G2G4G7 H 2 H3
特征式:
1 La Lb Lc
1 ( L1 L2 L3 L4 L5 ) (L1L2 L1L4 L2 L5 )
1 G2 H1 G4 H 2 G1G2G3G4G5 H3 G6G4G5 H3 G1G2G7 H 3 G2G4 H1H 2 G2G4G5G6 H1H3 G1G2G4G7 H 2 H3

C ( s) Gr ( s ) R( s) Gn ( s ) N (s) R( s) N ( s) 1 s
3 1 求出：a1 1, a2 , a3 2 2

8 1 s 1 C ( s) 2 2 s 6s 8 s s 6s 8 s
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
1.给定输入作用下的闭环传递函数令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)

梅森增益公式适用范围.docx

梅森增益公式适用范围标题：梅森增益公式适用范围的阐述引言：梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具，用于计算电路增益和频率响应。

然而，在实际应用中，梅森增益公式的适用范围有一定限制。

本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述，以帮助读者更好地理解和使用这一公式。

一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式，用于计算复杂电路的总增益。

它是由美国电子工程师梅森提出的，一般用于线性、定常、时不变的电路分析。

二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路，即电路的元件和信号是线性的。

对于非线性电路，例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路，梅森增益公式就不再适用。

2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路，即电路的参数是固定的，不随时间变化。

对于具有非定常特性的电路，如含有开关、变阻器等可变元件的电路，梅森增益公式无法提供准确的结果。

3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路，即电路的参数与时间无关。

在实践中，例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变，因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。

三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制，但它仍然是电子电路设计中常用的工具。

以下是梅森增益公式的一些优势：1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法，梅森增益公式简单易懂，计算过程相对简单直观。

这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。

2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。

通过将复杂的电路划分为多个子电路，可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益，进而得到整个电路的总增益。

这种分析方法便于对电路进行优化和调试。

第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果，可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。

这对于电路设计者来说非常重要，可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。

专题5 梅森增益公式

例试用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s) .
1
? 解: 单独回路有四个即 La ? ?G1 ? G2 ? G3 ? G1G2
两个互不接触的回路有四组,即
? LbLc ? G1G2 ? G1G3 ? G2G3? G1G2G3 ? 三个互不接触的回路有一组,即 Ld LeLf ? ? G1G2G3
1
则信号流图特征式为
? ? ? ? ? 1 ? La ? LbLc ? Ld LeLf
? 1 ? G1 ? G2 ? G3 ? 2G1G2 ? G1G3 ? G2G3 ? 2G1G2G3
前向通路共有四条,其增益及余因式分别为
p1 ? G1G2G3K , ? 1 ? 1 ; p2 ? G2G3K , ? 2 ? 1 ? G1 ; p3 ? G1G3K , ? 3 ? 1 ? G2 ; p4 ? ? G1G2G3K , ? 4 ? 1 .
?N (s) ?
C(s) N(s)
?
G2 (s) 1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为
C(s)
?
? N (s) N(s)
?
1
?
G2(s) G1(s)G2 (s)H
(s)
N(s)
显然当输入信号 R(s)和扰动作用N(s)同时作用时,系统输出C(s)为
? C(s) ? ? (s) ?R(s) ? ?N (s) ?N(s)
R(s) 1 ? G1(s)G2 (s)H (s)
由 ? (s)可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为
C (s) ? ? (s)R(s) ? G1(s)G2 (s) R(s)
1 ? G1(s)G2 (s)H (s)

梅森公式文档

梅森公式简介梅森公式是用来判断一个自然数是否为梅森数的公式。

梅森数是指形如2^p - 1的素数，其中p是一个自然数。

梅森公式可以用来生成梅森数，并且能够高效地验证一个给定的梅森数是否为素数。

梅森数的生成梅森数的生成基于梅森公式。

根据梅森公式，如果一个数p是素数，那么2^p - 1也是一个梅森数。

这个公式由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出。

下面给出一个例子来说明梅森数的生成过程。

假设我们要生成第n个梅森数。

首先，我们需要找到第n个素数p。

我们可以使用素数生成算法来生成素数序列，并取第n个素数作为p的值。

接下来，我们使用梅森公式计算得到梅森数M，即M =2^p - 1。

这个过程可以简化为对2进行p次幂运算，然后减去1得到最终的梅森数。

验证梅森数的素性验证一个给定的梅森数是否为素数是一个关键的问题。

传统的素数测试算法在验证大数是否为素数时效率较低，而梅森公式给出了一种高效的验证方法。

根据梅森公式，如果一个梅森数M是素数，那么对于所有小于M的素数q，满足以下条件：2^q ≡ 1 (mod M)。

这个条件可以用来验证一个梅森数的素性。

具体的验证过程如下：1.首先，选择一个小于M的素数q（通常选择q为M的因子）。

2.计算2^q (mod M)的值。

3.如果计算得到的值等于1，那么继续选择下一个小于M的素数q进行计算。

若计算得到的值不等于1，说明M不是素数。

4.如果所有小于M的素数都满足2^q ≡ 1 (mod M)，那么M就是一个素数。

由于梅森数是形如2^p - 1的数，所以可以利用快速幂算法来高效地计算2^q (mod M)的值。

这样，通过选择合适的q和运用快速幂算法，可以在较短的时间内验证一个梅森数的素性。

应用和发展梅森数及其相关的梅森公式在数论和密码学中具有重要的应用和研究价值。

梅森数作为一类特殊的素数，具有较大的数值和特殊的性质，因此在数论研究中具有重要的地位。

梅森数也广泛应用于密码学领域，例如在RSA公钥加密算法中，使用了素数p和q的梅森数形式来增强算法的安全性。

2.6信号流图与梅森公式

G2 ( s) H ( s) N ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N ( s)
7）系统的总输出 X o (s) i (s) X i (s) N (s) N (s)
8）系统的总偏差 (s) i ( s) X i ( s) N (s) N (s) 结论
练习试化简下图所示系统的方框图，并求系统传递函数。
可看出此题方框图化简较复杂,试用梅森公式化简.
• 两条前向通路 • 两条回路 • 主特征式
P G1G3G5 , P2 G2G4G5 1
L1 G3 H , L2 G4 H
1 ( L1 L2 ) 1 G3 H G4 H
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t ) 1 R1 [ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
一般闭环控制系统的结构如下图所示
1）闭环系统的开环传递函数将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即 H(s)的输出通道断开时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数 ,记为GK(s)。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数，即：
X o ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) ( s)
B( s) H ( s) X o (s)
4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：

梅森公式的理解

是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。

具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。

对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。

1 第九章梅森公式状态方程

1
系统的信号流图表示法
X s H s
H s
Y s
方框图流图
X s
Y s
实际上是用一些点和支路来描述系统：
X s 、 Y s
称为结点
线段表示信号传输的路径，称为支路。
信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。
2
术语定义
X 1 X1
e (t )
vC t

R 1 1 d d t i L t L i L t L v C t L e t d v t 1 i t L dt C C
33
写为矩阵形式：
d R d t i L t L d v t 1 dt C C
L LL
d e d ,e , f
f

6
1 H
g
k
k
k
——表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号。 k
gk——表示由源点到阱点之间的第k 条前向通路的增益。
它是除去与 k 条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
条前向通路特征行列式的余因子。 k ——称为对于第 k
7
例
4
方框图 to 信号流图
信号流图的梅森增益公式 1 H gk k k 式中： △——称为流图的特征行列式。 1 (所有不同环路增益之和）
（每两个互不接触环路增益乘积之和）（每三个互不接触环路增益乘积之和） 1 La Lb Lc
a b ,c
X
2
X3
H3 G3
X
4
H5
Y
它只有一对两两互不接触的回路 X 3 X X1 X 2 X1

信号与系统7_梅森公式的证明及应用

W=[wij]，wij={ wij，i=j，wij是支路i的权，即支路传输 }
0，
i j
• 上述B，S，W三个矩阵完全描叙了信号流图。
梅森公式的推导
• 下面介绍一些定理和性质。
对于下列方程组： AX=Y ………………（1）
式中
A=
1
a a a a 21
...
12
1 ...
，Y=
y
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
• 由定理6和7很容易推出梅森公式。
梅森公式
• 梅森公式不仅能求输入输出函数的比值的（传输函数），对与流图中的任意一个节点的信号与输入结点信号的比值也同样是成立的。这个很好理解，因为输出节点并没有什么特殊的地方，也仅仅是流图中的一般点，只是我们赋予了它特殊的含义罢了。下面就就举一例说明梅森公式对流图中任一点与输入点的信号的比值的作用。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke

2.7 梅逊公式

△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触条前向通道相接触（ △k：将中△与第条前向通道相接触（有重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。试用梅逊公式求传函。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递、： H1 H2 H3 函数（总增益）。函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式，应用梅逊公式，将大大简化结构变换的计算。变换的计算。但当系统结构较复杂时，容易将前向通道、杂时，容易将前向通道、回路数及余子式判断错，需格外注意。及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。试用梅逊公式求传函。 G4 4 G3 2 H2

Mason增益公式

通路
沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。
输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节节点
混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。
从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点前向通路不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之
Lm —任何m个互不接触回路传递函数乘积之和
∆k
—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第 k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。
一个前向通道的情况
只有一条前向通路
三个不同回路
L1、L2不接触
P1与L1、L2、L3均接触
多个前向通道的情况
C(s) R(S)
五、信号流图梅逊公式
G —系统总传递函数
G(s)
1
n k 1
Pk k
Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）
∆ —流图特征式
1
L 1
L2
L3 ... (1)m
Lm
L1 —所有不同回路的传递函数之和
L2 —每两个互不接触回路传递函数乘积之和 L3 —每三个互不接触回路传递函数乘积之和
乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的回路闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回
路增益，用Lk表示。
X2、X3 X3、X4 X5
不接触回路相互间没有任何公共节点的回路
二、信号流程图的简化
三、根据方框图绘制信号流图方块图转换为信号流图示例1
方块图转换为信号流图示例2
一、信号流图的组成要素及其术语
信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。

梅森增益公式_自动控制原理_[共2页]

第2章　控制系统的数学模型３１㊀2 4 1　信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络图,可以由微分方程组绘制,也可以由结构图转化而来.如图２３６所示为简单的结构图与信号流图之间的转换,变换中,将结　图236　结构图与信号流图之间的转换构图中的输入量㊁输出量变为节点,以小圆圈表示;连接两个节点的定向线段,称为支路;将结构图中的方框去掉,传递函数标在支路的旁边表示支路增益;支路增益表示结构图中两个变量的因果关系,因此支路相当于乘法器,即有C ＝G R .由此可见结构图转换为信号流图的规则:将系统的输入量㊁输出量以及中间变量转化为节点;引出点转化为节点;综合点后的变量转化为节点.方框去掉,将方框的输入量和输出量连起来形成支路.方框中的传递函数标在支路旁边,即为支路增益.　图237　信号流图在信号流图中,常使用以下名词术语.(１)源节点(或输入节点)只有输出支路的节点称为源节点,如图２３７中的R (s )和N (s ).它一般表示系统的输入量.(２)阱节点(或输出节点)只有输入支路的节点称为阱节点,如图２３７中的C (s ).它一般表示系统的输出量.(３)混合节点㊀既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点,如图２３７中的X １㊁X ２㊁X ３.它一般表示系统的中间变量.(４)前向通道信号从源节点到阱节点传递时,每一个节点只通过一次的通道,称为前向通道.前向通道上各支路增益之乘积,称为前向通道总增益,一般用p k 表示.在图２３７中,对于源节点R (s )和阱节点C (s ),有一条前向通道,是R (s )ңX １ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P R ＝a b c ;对于源节点N (s )和阱节点C (s ),是N (s )ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P N ＝f c .(５)单回路如果回路的起点和终点在同一节点,而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.如果从一个节点开始,只经过一个支路又回到该节点的,称为自回路.回路中所有支路增益之乘积叫回路增益,用L a 表示.在图２３７中共有两个回路,L １＝b e ,L ２＝d .(６)不接触回路如果一信号流图有多个回路,而回路之间没有公共节点,这种回路叫不接触回路.在信号流图中可以有两个或两个以上不接触回路.在图２３７中,有一对不接触回路,L １L ２＝b e d .2 4 2　梅森增益公式在系统的信号流图上,可以用梅森公式直接求出系统的传递函数,由于信号流图和结构图存在着相应的关系,因此梅森公式同样也适用于结构图.。

梅森公式例子 PPT

-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3
1 1 C(s)
G8
1 1 C(s)
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
1 1 C(s)
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4 G5
三．（15分）系统的方框图如图所示，用Mason公式求系统的传递函数
C(s)
C (s)
E (s)
R(s)
N (s)
R (s)
（要求有主要过程，只给出结果的要扣分）
R(s) G1
R(s) G1
G7 G2 G3
H3 G7 G2 G3 G4
G9
G4
G5
H1 G8
G8
G9
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
C(s) G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3

微格教学梅森增益公式

其中： ΣL1——所有单独回路的增益之和 ΣL2——所有两个互不接触单独回路增益乘积之和 ΣL3——所有三个互不接触单独回路增益乘积之和 Δk—— 为第k条前向通道特征式的余子式
注意：
确定前向通道的条数，即 n=? 确定回环的个数及其相互接触性
下面通过一个例题，来说明如何利用梅森公式求系统的传递函数
总结：
1、熟记梅森增益公式表达式
Xc 1 n Gs Pk k X r k 1
2、理解公式中各字母的含义及意义 3、灵活运用公式求系统的闭环传递函数
信号流图：
a
X2(s) 支路
信号传递方向
（2）信号流图中主要术语闭通路（回环）：起点和终点在同一节点，并且与通路中其它各节点只交一次。回环增益（传输）：回环中各支路增益的乘积。前向通道：从输入结点到输出结点传递时，每个结点只通过一次的通路。不只一条前向通道增益：在前向通道中，各支路增益的乘积不接触回环：各回环间无任何公共节点。这个是回环 h
Xc 例求如图所示系统的闭环传递函数： G s Xr
f
3
xr 1 x1
a
x2 b x3 c x4 d x5 1 x c 1
e
-g 2
解：⑴ 确定n及其增益: n=2 ；P1=abcd；P2=fd
⑵ 确定回环数：系统中有3个回环
G1 = be；G2 = -abcdg；G3 =-fdg (3) 确定Δ： ΣL1= be –abcdg-fdg；ΣL2= be(-fdg)=-befdg； ΣL3=0
xr 1 x1
a
x2 b x3
么？ c x4 d 1 x c 2
g
1
e
本节重点
梅森增益公式

梅逊公式简单讲解

• 不接触环路—环路之间没有公共节点。
• 前向通路—从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点不多于一次。
• Gk —从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益
• Δ —特征式且 1 La Lb Lc Ld LeL f
• La 所有不同回路的增益之和
• Lb Lc 所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• La —所有不同回路的增益之和
• Lb Lc —所有两两互不接触回路的增益乘积之和
• Ld Le Lf —所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后余下的部分
术语解释
• 节点—表示系统中的变量或信号的点称为节点。 • 支路—连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。 • 输入节点(源点)—仅有输出支路的节点称为输入节点，一般为系统的输入。 • 输出节点（阱点）—仅有输入支路的节点称为输出节点，一般为系统的输出。 • 混合节点—既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。
• Ld Le Lf 所有三个都互不接触回路的增益乘积之和
• k —在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后
余下的部分 • 通路—从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支
路到达另一节点的路径称为通路
例2 求C(s)/R(s)
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定义和公式
• 梅逊公式是求解信号流图或等效的系统框图输入点与输出点之间的系统函数的算法，广泛用于拉普拉斯变换或域模型求解系统函数中。公式为：
• G—从输入节点到输出节点之间的系统特从征输式入且节点到 1输出节点La的第k条L前b L向c 通路增Ld益Le L f

信号流图与梅森公式

7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式，且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
信号流图及梅森公式
❖ 是表示复杂系统的又一种图示方法。
❖ 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x2 b
上各支路增益的乘积，如：
R(s) +
E(s) G(s)
C(s)
2
_
H(s)
N(s)
R(s) + E(s)
++
C(s)
3
_ G1(s)

梅森公式例子

-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触，特征式的余因子 ∆3=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
C(s)
R(s) G 1
G2
1
1
1
C(s)
-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P1=G1 G2 G8
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
-H2
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6 第四条前向通路与各个回路都接触，特征式的余因子 ∆4=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6 第五条前向通路与各个回路都接触，特征式的余因子 ∆5=1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
还有没有前向通路啦？
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第一条回路增益 L1= - G4 H1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)

梅森公式——精选推荐

、梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式，称为梅森公式。

该公式如下：()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁，此处略去。

现从应用角度对此公式予以说明。

式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。

式中：i L 为第i 个环路的传输函数， i i L 为所有环路传输函数之和；n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积，n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积， ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积；k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。

求k ∆的公式仍然是式(6-35)。

例6-19 图6-34(a)所示系统。

求系统函数()()()s F s Y s H =。

解：1 求Δ(1) 求∑iiL：该图共有5个环路，其传输函数分别为2L 1=，8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=，()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组：()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 0LL L rrq,p,qp=∑；…。

故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P ：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。

信号流图梅森公式

支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。
Sunday, March 08, 2020
8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, March 08, 2020
13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
Sunday, March 08, 2020
12
梅逊公式
P

1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1

P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
Sunday, March 08, 2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4

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信号流图：
a
X2(s) 支路
信号传递方向
（2）信号流图中主要术语闭通路（回环）：起点和终点在同一节点，并且与通路中其它各节点只交一次。回环增益（传输）：回环中各支路增益的乘积。前向通道：从输入结点到输出结点传递时，每个结点只通过一次的通路。不只一条前向通道增益：在前向通道中，各支路增益的乘积不接触回环：各回环间无任何公共节点。这个是回环 h
梅森增益公式
利用公式直接求传递函数
Xc 1 n 梅逊增益公式： Gs Pk k X r k 1
式中:G ——系统的闭环传递函数 n ——系统的前向通道数 Xr——系统的输入量 Pk——第k条前向通道的增益
Xc——系统的输出量
Δ——信号流图的特征式，其意义如下：
Δ=1-ΣL1+ ΣL2- ΣL3+…
xr 1 x1x4 d x5 1 x c 2
g
1
e
本节重点
梅森增益公式
在控制工程中一般需要确定信号流图的输入输出关系，即系统的闭环传递函数。对于比较复杂的系统，即使是上节学习的信号流图的简化也是很繁琐的，此时可以直接用公式求出系统的传递函数，既方便又简单快捷，这个公式就是梅森公式。不必化简
Δ= 1-ΣL1+ ΣL2- ΣL3=1- be +abcdg+fdg -befdg
(4) 确定Δ1、 Δ 2 ： Δ 1=1； Δ 2=1-be (5) 系统的总传输
P 1 P2 2 abcd fd (1 be) 1 Gs 1 be ( f abc bef )dg
第五节信号流图和梅森公式应用
复习信号流图知识学习梅逊增益公式
主讲人：王丽测控0942班 08号
复习上节内容
（1）信号流图概念：是一种用图线表示线性系统方程组的方法。即：用一些圆圈和带箭头的线段组成。如：一简单系统 X2(s)=aX1(s) 节点：代表系统中的变量支路：连接两个节点的定向线段增益或传输 X1(s) 信号（节点）
其中： ΣL1——所有单独回路的增益之和 ΣL2——所有两个互不接触单独回路增益乘积之和 ΣL3——所有三个互不接触单独回路增益乘积之和 Δk—— 为第k条前向通道特征式的余子式
注意：
确定前向通道的条数，即 n=? 确定回环的个数及其相互接触性
下面通过一个例题，来说明如何利用梅森公式求系统的传递函数
总结：
1、熟记梅森增益公式表达式
Xc 1 n Gs Pk k X r k 1
2、理解公式中各字母的含义及意义 3、灵活运用公式求系统的闭环传递函数
Xc 例求如图所示系统的闭环传递函数： G s Xr
f
3
xr 1 x1
a
x2 b x3 c x4 d x5 1 x c 1
e
-g 2
解：⑴ 确定n及其增益: n=2 ；P1=abcd；P2=fd
⑵ 确定回环数：系统中有3个回环
G1 = be；G2 = -abcdg；G3 =-fdg (3) 确定Δ： ΣL1= be –abcdg-fdg；ΣL2= be(-fdg)=-befdg； ΣL3=0

微格教学梅森增益公式

梅森公式_精品文档

2.4 梅森公式

梅森增益公式适用范围.docx

专题5 梅森增益公式

最新梅森公式例子

梅森公式文档

2.6信号流图与梅森公式

梅森公式的理解

1 第九章 梅森公式 状态方程

信号与系统7_梅森公式的证明及应用

2.7 梅逊公式

Mason增益公式

梅森增益公式_自动控制原理_[共2页]

梅森公式例子 PPT

微格教学梅森增益公式

梅逊公式简单讲解

信号流图与梅森公式

梅森公式例子

梅森公式——精选推荐

信号流图梅森公式

1 第九章梅森公式状态方程