数学建模初等模型2
合集下载
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模第二章初等方法建模
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
《数学建模》第二章 初等模型
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、刹车时间
模型
d t1v kv 2 0 .75 v 0 .06 v 2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、刹车时间
模型
d t1v kv 2 0 .75 v 0 .06 v 2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
2(初等模型)
~状态转移律
dk D, S k S 按照以上规 使状态 问题: 求决策 ,0 ) 律由初始状态 S1 ( 3,3)经过有限步到达状态 S n 1 ( 0 ．
当然n 越小越好．
(3,2) (0,1) (3,1) (0,2) • 穷举法 S1 (3,3) d1 (1,0) S 2 ( 2,3) ( 2,2) (1,1) (1,3) ( 2,0) (3,3)循环 (0,1) (0,2) (3,4) S2 (3,2) d 2 (1,0) S 3 ( 4,2) ( 4,3) (1,1) ( 2,0) (5,2)
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
2 2 3
4
结论 动物的体重与躯干长度的4次方成正 比．当然，比例系数与动物的种类有关．
评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法．在 这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大 胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细 检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度 与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转 化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲 问题的作法，是值得借鉴的． (2)使用该模型时，要注意其条件．在建立此 模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体 的，也就是说，对于躯干太不近似圆柱体的四 足动物，该模型就不适用了，比如乌龟．
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
数学建模培训初等模型
人口增长模型
总结词
人口增长模型是用来描述人口随时间变化的 规律和趋势的数学模型。
详细描述
该模型通常由一组微分方程组成，表示人口 在不同年龄和性别的增长率。通过求解这组 微分方程，可以预测未来人口数量和结构的 变化，为政策制定提供依据。
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用来描述一个国家或地区经 济随时间变化的规律和趋势的数学模型。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
求解模型
运用数学方法和计算工具对建 立的模型进行求解。
明确问题
首先需要明确建模的目标和问 题，理解实际问题的背景和需 求。
建立模型
根据问题的特点和收集的数据， 选择合适的数学模型进行建模。
验证与优化
对求解结果进行验证，并根据 实际情况对模型进行优化和改 进。
建立数学模型的步骤
收集数据
根据问题收集相关数据，包括 实验数据、观测数据、统计数 据等。
02
它能将现实世界中的问题转化为 数学问题，并运用数学方法进行 求解，进而对现实世界的问题作 出预测和决策。
什么是数学建模
01
数学建模是运用数学语言和方法 ，通过抽象、简化建立能近似刻 画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。
数学建模_初等模型
模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
数学建模 第一章 初等模型
2 2
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
M02_初等模型数学建模
以上距离，车速在每小时 100公里以下时，可适当缩
短与同车道前车车距，但应 保持50米以上距离。
2. 核军备竞赛
核军备竞赛
背 景
• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威 慑战略”，核军备竞赛不断升级。
• 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列
的核裁军协议。
问
❖ 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。
全部核导弹攻击己方的核导弹基地； ➢ 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核
导弹，给对方工业、交通等目标以毁灭性的打击。
• 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
• 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度 和另一方的防御能力决定。
图 y=f(x) ~ 甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 的 x=g(y) ~ 乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数
预报A
正确率
实测 预报
有雨
无雨
有雨 6
10
17/30=0.57 无雨 3
11
实测 预报
有雨
无雨
有雨 0 0
无雨 9 22
预报B ×
正确率
22/31=0.71
预报C
实测 预报
有雨
无雨
正确率 有雨 22/27=0.81 无雨
53 2 17
预报实测 有雨 无雨 有雨 6 0 无雨 2 21
√ 预报D
正确率
s(2 s) 2 s
x=2y, y=y0/s2
y0
0
y=f(x)
当 x=ay 时, 猜测有：
y
y0 sa
y0 sx/ y
第2讲 数学建模初等模型.ppt
假设(1)、(2)是解剖学(((123)))中LAB的=-=k根来Bk越k统o12据比Al=大b计ak的,,较3成b规al大<3<选绩律21小手越，成好在L绩。假的因设L优而(（B劣建3。议）3中5)O13’
Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
第2讲 初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
1βBiblioteka ab 32 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤1， β 3
故有：L k(B 35)3
模型5（Vorobyev公式）
这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不 光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B， 可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4 类似的方法，得出了按
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
令：
h
a2 a2
1b, r 1
数学建模中的初等模型
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
分析 模型 x<y, y= y0+(1-s)x
x=y, y=y0/s
x=a y,
y
y0 sa
y0 sx/ y
y
x=y
x=2y
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 s
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
1. 双层玻璃窗的功效
室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层
内 T1
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm , ym )
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.
乙安全线y=f(x)不变 y
甲方残存率变大
威慑值x 0不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率
利用微积分知识可知 y是一条上凸的曲线，且
y=f(x)
y0 0
• y0变大，曲线上移、变陡. • s变大，y减小，曲线变平.
x
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.
乙方威慑值 y0变大 （其他因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。
20
图 y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数. 的 x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数. 模 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值
Q k T1 T2
2
1 2d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
4
室 外 2d T2
Q2
Q1 2 , s h k1 , h l
墙
Q2 s 2
k2
d Q Q
1
2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
反 反应时间
应
距
刹离
车速
司机 制动系统 状况 灵活性
常数
车 距
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候…
离
动 距
最大制动力与车质量成正比，
常数
离 使汽车作匀减速运动。
29
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 k1为反应时间
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
y
用x,y分别表示甲(乙)占有 yo•
X,Y的数量。设交换前甲占
有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图：
y
.p
0 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点
xp(x,y)•xo
x
都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y)
汽车刹车距离
问 汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车； 题 车速越快，刹车距离越长；
刹车距离与车速之间是什么关系？(线性、…)
刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。
27 实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m)
用固定牌子的车，由同一司机驾驶，在不变的道路、 气候等条件下测得：
• 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
19
模 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。
型
假定双方采取如下同样的核威慑战略：
假
设 •1、 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其
全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 2、乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核 导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。
k2 = 0.0853
31
模型结果 模型 d k1v k2v2
用实验数据对k1 , k2 的拟合结果:k1=0.6522, k2=0.0853
y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
22
精细 模型
x=a y,
y
x<y, y= y0+(1-s)x
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 sx=yFra bibliotek y=y0/s
x=2y, y=y0/s2
y
y0 sa
y0 sx/ y
y0~威慑值
s~残存率
a~交换比(甲乙导弹数量比)
x=y
x=2y
y是一条上凸的曲线
y=f(x)
y0 0
y0变大，曲线上移、变陡
s变大，y减小，曲线变平
x
a变大，y增加，曲线变陡
23
模型解释
•1、 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对
于每种动物而言，b 已经达到其最合适的数值，换句话 说，b 应视为与这种l 动物的尺寸无关的常数。
l
10
由（2）式得
l3 d2
（3）
再从 f sl, s d 2 以（3）式代入得
f l4
（4）
即体重与躯干长度的4次方成正比。在根据统计数据 确定出上述比例系数后，就能从躯干长度估计出动物 的体重了。
1
第二章 初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上可以使 用初等数学的方法来构造和求解模型。
衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是 采用了多么高深的数学方法。
2
双层玻璃窗的功效 室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内
外
题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 T1 d l d T2
问 在夏季商品交易会上，冰淇淋销售者要预测其冰淇淋的销 题 售量，而他认为该量与下列因素有关
人数，温度，价格
1)与来参加交易会的人数成正比 2)与超过 15°C的温度成正比 3)与所售的价格成反比
假设 符号：冰淇淋销售量Y,人数为n，温度为t，价格为p
模型建立
Y kn(t 15) p
13
实物交换
乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
P(xm , ym )
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
24
模型解释
• 2、甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭
甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.
y y y0 x
y 乙安全区
双方 安全区
y=f(x) 乙安全线
y1
y=f(x) P(xm,ym)甲 安
y0
x=g(y) 全
y0
区
0
x
y0 y f (x) y0 x
0
x0 x1
x
P~平衡点(双方最少导弹数)
x
x
• 互不相交
在p1点占有x少、y多， 宁愿以较多的 y换取
较少的 x;
在p2点占有y少、x多， 就要以较多的 x换取
较少的 y。
16
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同
y
性质（形状可以不同）
g(x,y)=c2 c2
双方的交换路径
甲的无差别曲线族 f=c1
O
x
两族曲线切点连线记作AB
设动物在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度为 b ， 即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究:
fl 3 b
sd 2
因为 f sl ，所以
(1)
b l3
l d2
（2）
9
b 是动物躯干的相对下垂度，b 太大，四肢将无法
l 支撑；
b
l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯
l
干的需要，无疑是一种浪费。
比例关系 几何模拟 图形方法
参数识别 量纲分析
第二章 初等模型
2.1 冰淇淋销售量 2.2 公平的席位分配 2.3 划艇比赛成绩 2.4 圆盘切割 2.5 爬山问题 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 汽车刹车距离 2.9 录像机计数器的用途 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 冰淇淋的销售
交换路 径AB
AB与CD的 交点p
双方的无差别曲线族
等价交 换原则
X,Y用货币衡量其价值，设交换 前x0,y0价值相同，则等价交换原 则下交换路径为
(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD
.y
yo D
p
0A
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
B
.C
xo x
乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 x’ y
系x’O’y’, 且反向）
yo
O‘
双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上
因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p
•p
B
•
A
P’ f=c1
O g=c2
xo x
y’
17
交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y)
0xx0, 0yy0矩 形内任一点
d1 k1v
3. 刹车使用最大制动力F，F F d2= m v2/2 F = ma 作功等于汽车动能的改变;
且F与车的质量m成正比
d k1v k2v2
d2 k2v2
k2 1 2a
参数估计 模型 d k1v k2v2
30 对k1 , k2 作拟合:
k1 = 0.6522
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1
Tb
T2 d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
,
s h k1 , k2
h l d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
乙安全线y=f(x)不变 y 甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近