【ILMT】零点区间的寻找技巧和常见模型(找点策略)

或写得好看一点，取 x0 1, 3 a 1 也能符合要求.


方法三：目测。成功关键：数感与大胆.
【示例】证明：当 a e 时， f x e ax 有两个零点.
x
l a a 1n 分析：极值点为 x ln a （大于 1 ） ， f n l a 0
2 1 x x 0 只需 ， 2 2 1 x x x 1 1 ax 2 x 0




1 5 5 1 0 x , 3 a 1 即可使得 f x0 0 . 2 即 ，因此取 x0 x 1 2 3 a 2
x . e
1 1 1 1 x x 1 ， ln x x 0 x 1 ， 2 x 2 x
零的点，显然点应满足如下几个条件： ①始终为正数； ②既能开根，也能取对数； ③当 a 越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零. 从条件①②来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件③来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无 穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：
2
优化②：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即
a x 2 e ， 2 x 12 2 x
所以，取 b 满足 b 0 且 b ln
a 即可使得 f b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路） 2
零点区间的寻找技巧
方法一：直接放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
1 时， f x ln x ax 有两个零点. e
1 1 f ln 1 0 ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. a a
1 1 e 1 1, ，考虑到 0 a ，所以 ， 1 a e 1 1 a e
1 （大于 e ） ， a
因为 ln x x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要 x 1 ax 0 ，即 x 所以左侧可取：
f 1 a 0 ，
方法五：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
2 时， f x a x ln x 有两个零点. e
2 1 1 1 （接近 0） ， f 2 a 0 ，显然 f 1 a 0 ，难点是在 2 1 的左侧找一个函数值大于 2 e e e e
2 2
x a e ， 2 x 1 2 x
1 5 且 b ln a 即可使得 f b 0 . 2 很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化：
即取 b 满足 b 优化①：弱化 x 1 2 x 的解，也就是取 b 1 且 b ln a 也可使得 f b 0 .
a a 1 1 1 f 1 0； ln 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
另一方面：因为 ln x x x 1 或 ln x x 右侧可取：
源自文库
1 x
x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要
x ax 0 ，即 x
方法四：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.
【示例】证明：当 a 0 时， f x x 2 e a x 1 有两个零点.
x 2
分析：极值点为 x 1 ， f 1 e 0 ， f 2 a 0 ，难点是在 1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小 越容易成功，要使得 x 2 e x a x 1 0 ，即 a x 1 2 x e x ，只需要满足
左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：
，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.
1 1 1 f e a 1 0 ， f 0 1 0 ， f 1 a 0 . e a
右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：
f 2ln a e2ln a 2a ln a a a 2ln a 0 ， f a ea a 2 0 .
4 4 4 a f e a a a a a a 0. 2 4 ea a2
附：常用放缩公式
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x x 1 ， ln x x ， ln 1 x x ， ln x （放缩成双撇函数） ln x
1 ，所以 a2
1 1 1 1 1 f 2 ln 2 a a 0 . a a a a a
方法二：在特定条件下进行放缩。成功关键：找到的点一定要在特定的条件下.
【示例】已知 a 2 ， f x 1 x x 2 e x 1 ax 2 x 2 ，试找一个 x0 0 使得 f x0 0 . 分析：因为 e x x 1 ，要利用它来放缩，还需要考虑因式 1 x x2 的正负. 要使得 f x 1 x x 2 e x 1 ax 2 x 2 0 ，