数学数据的数字特征
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x 0 1 2 3
y 1 3 4 7 A.(2,2) B.(1,3) C.(2,4) D.(1.5,3.75)
【解析】回归直线方程必过中心点(x,y),即(1.5,3.75),故选 D.
− −
4
下表表示的是某地的年降雨量与年平均气温的关系,判断 两者是否是相关关系.求回归直线方程有意义吗? 年平均 12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05 气温(℃) 年降雨量 (mm) 748 542 507 813 574 701 432
A.y=-10x+200 C.y=-10x-200 B.y=10x+200 D.y=10x-200
【解析】因为商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相 关,所以 b<0,排除选项 B,D.又 x=0 时,y>0,故选 A.
2
下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的回归直线 必过点( D ).
2
=2.
一组数据 3,-1,0,2,x 的极差是 5,则 x=
-2或4 .
【解析】若 x<-1,则极差为 3-x=5,解得 x=-2;若 x>3,则极差为 x-(-1)=5,解得 x=4.
4
有甲、乙两个球队,甲队有 6 名队员,乙队有 20 名 队员,他们的身高数据如下(单位:c来自百度文库): 甲队:187 181 175 185 173 179 乙队:180 179 182 182 181 176 (1)求两队队员的平均身高; (2)甲、乙两队哪一队的身高更整齐些?
画频率分布直方图和频率分布折线图
已知 50 个样本数据的分组以及各组的频数如下: 153.5~155.5,2 161.5~163.5,10 155.5~157.5,7 163.5~165.5,6 157.5~159.5,9 165.5~167.5,4 159.5~161.5,11 167.5~169.5,1 (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
2 2 2
如果用 x 用
������
则可以求得 b= = a=
x 1 y 1 +x 2 y 2 +…+x n y n -nx y
2 2 x2 1 +x 2 +…+x n -nx 2
, .
y-bx
这样得到的直线方程称为线性回归方程,a、b 是线性回归直 线方程的系数.
k=
问题4
求线性回归直线方程的步骤是什么?
第5课时
数据的数字特征
1
下列调查中,必须采用“普查”的是( A ).
A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5
B.91.5 和 92 D.92 和 92
【解析】将此组数据按从小到大排列得 到:87,89,90,91,92,93,94,96,易得到中位数为 91.5; 平均数= ×(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5,故选 A.
通过数据分析,知道单价与销量具有线性相关关系, 且回归直线方程为 y=-20x+250. (1)求表中 m 的值; (2)已知该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利 润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)由于x= ×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,所以y=6
(1)补全频率分布表; (2)在频率分布直方图中,长方形 ABCD 的面积是 ;这 次调查的样本容量是 ; (3)研究所认为,应对消费 150 元以上的学生提出勤俭节约的 建议.试估计应对该校 1000 名学生中约多少名学生提出这项 建议?
【解析】(1)从上到下分别填 0.2 和 30; (2)频率分布直方图中,长方形 ABCD 的面积是 0.25,这次调查的 样本容量是 100; (3)消费 150 元以上的学生所占的频率为:0.3+0.1+0.05=0.45, 所以应对该校 1000 名学生中的 0.45×1000=450 名学生提出这 项建议.
【解析】(1)频率分布表如下: 分组 153.5~155.5 155.5~157.5 157.5~159.5 159.5~161.5 161.5~163.5 163.5~165.5 165.5~167.5 167.5~169.5 合计
频数 2 7 9 11 10 6 4 1 50
频率 0.04 0.14 0.18 0.22 0.20 0.12 0.08 0.02 1.00
线性相关
非线性相关
不相关 :无明显依赖关系
1
下列变量之间是函数关系的是( A ).
A.已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a,c 是 已知常数,变量 b 与函数零点的个数之间的关系 B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
【解析】由于 a,c 为常数,故 b 与函数零点的个数之间为确定关 系,是函数关系.
− 1
−
20×8.5+250=80, 所以 ×(90+84+83+m+75+68)=80,
6 1
解得 m=80. (2)设工厂获得的利润为 l 元,依题意得 l=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x8.25)2+361.25. 当且仅当 x=8.25 时,l 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
8 1
2
样本中共有 5 个个体,其中四个值分别为 0,1,2,3, 第五个值丢失,但该样本的平均值为 1,则样本方差 为( D ).
A.
30 5
B.
6 5
C. 2
x+0+1+2+3 5
2
D.2
【解析】设第 5 个值为 x,则
2 2 2
=1,得 x=-1.则
s2=
3
(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) 5
【解析】由题意可得样本在区间[10,50)
2+3+4+5 的频率为 =0.7. 20
4
未成年人思想道德建设越来越受社会的关注.某青少年研究 所随机调查了某校 100 名学生寒假期间花零花钱的数量(钱 数取整数元),以了解学生的消费情况,从而引导学生树立正 确的消费观.根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直 方图,如图所示. 分组 频数 频率 0.5~50.5 50.5~100.5 100.5~150.5 150.5~200.5 200.5~250.5 250.5~300.5 合计 10 5 100 10 20 25 0.25 0.3 0.1 0.05 1 0.1
散点 图;
− − n i=1
①作出
②列表求出x,y, ∑
n
xi2 ,
i=1
∑ xiyi; 和 a= y-bx
− −
n
③利用公式 b=i=1 n
∑ x i y i -nx y
i=1
− −
∑
− 2 x2 nx i
,求出回归系数;
④写出线性回归方程.
1
某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则 其回归方程可能是( A ).
【解析】(1)x 甲 = (7+1-5+5-7-1)+180=180(cm),
6 − − 1 1 6
x 乙 = (0-1+2+2+1-4)+180=180(cm).
13 3
2 2 2 2 (2)s甲 =25,s乙 = , s乙 < s甲 ,这说明乙队队员的身高更整齐.
第6课时
用样本估计总体
1
频率分布直方图中,各小矩形面积的和等于( C ).
问题2
通过散点图中点的分布可以把两个变量间 的关系进行分类:
(1)线性相关:若散点图中的点的分布整体上看大致在一条
直线上附近,就称两个变量具有 线性相关 关系.当散点图
中的散点散布在左下角到右上角的区域时,对于这两个变量 的这种关系,我们称为正相关;当散点图中的散点散布在左 上角到右下角的区域时,对于这两个变量的这种关系,我们 称为负相关,如图所示:
(2)非线性相关:若散点图中的点的分布从整体上看大致在一
条曲线(不是一条直线)附近,就称此相关为 非线性相关 ,如 图所示:
(3)不相关:若散点图中的点的分布没有显示任何关系,则称 变量间是不相关的,如图所示:
问题3 变量间的关系的分类
变量间的关系 函数关系:确定的因果关系 相关关系:
不确定
的因果关系→
【解析】观察图像易知散点图散乱地分布在坐标平面 内,不能拟合成某条曲线或直线,所以这两个变量不具有相 关关系.
第8课时
最小二乘估计
问题3
用最小二乘法求得的直线方程的系数分别是多少?
x 1 +x 2 +…+x n 表示 , n y +y +…+y n 表示 1 2 , n (x 1 -x )(y 1 -y )+(x 2 -x )(y 2 -y )+…+(x n -x )(y n -y ) (x 1 -x ) +(x 2 -x ) +…+(x n -x )
【解析】在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系; 在②中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关 系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们 不具有相关关系;在③中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关 关系.
4
下图是两个变量统计数据的散点图,判断两个变量 之间是否具有相关关系.
【解析】以 x 轴为年平均气温,y 轴为年 降雨量,可得相应的散点图如图所示. 因为图中各点并不在一条直线附近,所以 两者不具有相关关系,没必要用回归直线进行 拟合,如果用公式求得回归直线方程也是没有 意义的.
回归直线方程的性质的应用
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产 品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x 元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y 件 90 84 83 m 75 68
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
第7课时
相关性
问题1
(1)学生成绩与教师水平之间存在着某种联系,但又不是必 然联系,对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系, 我们称之为 相关关系 . (2)为了更好地进行数据分析,我们通常把表格中两个变量 分别作为横、纵坐标,在平面直角坐标系中描点作出两个变 量的对应点,这样的图形叫作 散点图 ,通过散点图的分 布可以判断变量间的关系.
A.0
2
1 B. 2
C.1
D.不确定
在画频率分布直方图时,某组的频数为 10,样本容量 为 50,总体容量为 600,则该组的频率是( A ).
A.
1 5
B.
1 6
C.
1 10
D.不确定
10 1 50 5
【解析】注意频率是频数与样本容量的比值,所以频率为 = .
3
一个样本容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如 下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60), 0.7 . 4;[60,70),2.则样本在区间[10,50)的频率为
2
下列各图中的两个变量之间的关系是相关关系的是 ( D ).
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
【解析】抽取的数据是离散的,因而相关关系所对应的图形是 散点图.②③能反映两个变量的变化,它们是相关关系.
3
③ . 下列关系中,属于相关关系的是 ①正方形的边长与面积之间的关系; ②人的身高与年龄之间的关系; ③降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
y 1 3 4 7 A.(2,2) B.(1,3) C.(2,4) D.(1.5,3.75)
【解析】回归直线方程必过中心点(x,y),即(1.5,3.75),故选 D.
− −
4
下表表示的是某地的年降雨量与年平均气温的关系,判断 两者是否是相关关系.求回归直线方程有意义吗? 年平均 12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05 气温(℃) 年降雨量 (mm) 748 542 507 813 574 701 432
A.y=-10x+200 C.y=-10x-200 B.y=10x+200 D.y=10x-200
【解析】因为商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相 关,所以 b<0,排除选项 B,D.又 x=0 时,y>0,故选 A.
2
下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的回归直线 必过点( D ).
2
=2.
一组数据 3,-1,0,2,x 的极差是 5,则 x=
-2或4 .
【解析】若 x<-1,则极差为 3-x=5,解得 x=-2;若 x>3,则极差为 x-(-1)=5,解得 x=4.
4
有甲、乙两个球队,甲队有 6 名队员,乙队有 20 名 队员,他们的身高数据如下(单位:c来自百度文库): 甲队:187 181 175 185 173 179 乙队:180 179 182 182 181 176 (1)求两队队员的平均身高; (2)甲、乙两队哪一队的身高更整齐些?
画频率分布直方图和频率分布折线图
已知 50 个样本数据的分组以及各组的频数如下: 153.5~155.5,2 161.5~163.5,10 155.5~157.5,7 163.5~165.5,6 157.5~159.5,9 165.5~167.5,4 159.5~161.5,11 167.5~169.5,1 (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
2 2 2
如果用 x 用
������
则可以求得 b= = a=
x 1 y 1 +x 2 y 2 +…+x n y n -nx y
2 2 x2 1 +x 2 +…+x n -nx 2
, .
y-bx
这样得到的直线方程称为线性回归方程,a、b 是线性回归直 线方程的系数.
k=
问题4
求线性回归直线方程的步骤是什么?
第5课时
数据的数字特征
1
下列调查中,必须采用“普查”的是( A ).
A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5
B.91.5 和 92 D.92 和 92
【解析】将此组数据按从小到大排列得 到:87,89,90,91,92,93,94,96,易得到中位数为 91.5; 平均数= ×(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5,故选 A.
通过数据分析,知道单价与销量具有线性相关关系, 且回归直线方程为 y=-20x+250. (1)求表中 m 的值; (2)已知该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利 润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)由于x= ×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,所以y=6
(1)补全频率分布表; (2)在频率分布直方图中,长方形 ABCD 的面积是 ;这 次调查的样本容量是 ; (3)研究所认为,应对消费 150 元以上的学生提出勤俭节约的 建议.试估计应对该校 1000 名学生中约多少名学生提出这项 建议?
【解析】(1)从上到下分别填 0.2 和 30; (2)频率分布直方图中,长方形 ABCD 的面积是 0.25,这次调查的 样本容量是 100; (3)消费 150 元以上的学生所占的频率为:0.3+0.1+0.05=0.45, 所以应对该校 1000 名学生中的 0.45×1000=450 名学生提出这 项建议.
【解析】(1)频率分布表如下: 分组 153.5~155.5 155.5~157.5 157.5~159.5 159.5~161.5 161.5~163.5 163.5~165.5 165.5~167.5 167.5~169.5 合计
频数 2 7 9 11 10 6 4 1 50
频率 0.04 0.14 0.18 0.22 0.20 0.12 0.08 0.02 1.00
线性相关
非线性相关
不相关 :无明显依赖关系
1
下列变量之间是函数关系的是( A ).
A.已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a,c 是 已知常数,变量 b 与函数零点的个数之间的关系 B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
【解析】由于 a,c 为常数,故 b 与函数零点的个数之间为确定关 系,是函数关系.
− 1
−
20×8.5+250=80, 所以 ×(90+84+83+m+75+68)=80,
6 1
解得 m=80. (2)设工厂获得的利润为 l 元,依题意得 l=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x8.25)2+361.25. 当且仅当 x=8.25 时,l 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
8 1
2
样本中共有 5 个个体,其中四个值分别为 0,1,2,3, 第五个值丢失,但该样本的平均值为 1,则样本方差 为( D ).
A.
30 5
B.
6 5
C. 2
x+0+1+2+3 5
2
D.2
【解析】设第 5 个值为 x,则
2 2 2
=1,得 x=-1.则
s2=
3
(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) 5
【解析】由题意可得样本在区间[10,50)
2+3+4+5 的频率为 =0.7. 20
4
未成年人思想道德建设越来越受社会的关注.某青少年研究 所随机调查了某校 100 名学生寒假期间花零花钱的数量(钱 数取整数元),以了解学生的消费情况,从而引导学生树立正 确的消费观.根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直 方图,如图所示. 分组 频数 频率 0.5~50.5 50.5~100.5 100.5~150.5 150.5~200.5 200.5~250.5 250.5~300.5 合计 10 5 100 10 20 25 0.25 0.3 0.1 0.05 1 0.1
散点 图;
− − n i=1
①作出
②列表求出x,y, ∑
n
xi2 ,
i=1
∑ xiyi; 和 a= y-bx
− −
n
③利用公式 b=i=1 n
∑ x i y i -nx y
i=1
− −
∑
− 2 x2 nx i
,求出回归系数;
④写出线性回归方程.
1
某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则 其回归方程可能是( A ).
【解析】(1)x 甲 = (7+1-5+5-7-1)+180=180(cm),
6 − − 1 1 6
x 乙 = (0-1+2+2+1-4)+180=180(cm).
13 3
2 2 2 2 (2)s甲 =25,s乙 = , s乙 < s甲 ,这说明乙队队员的身高更整齐.
第6课时
用样本估计总体
1
频率分布直方图中,各小矩形面积的和等于( C ).
问题2
通过散点图中点的分布可以把两个变量间 的关系进行分类:
(1)线性相关:若散点图中的点的分布整体上看大致在一条
直线上附近,就称两个变量具有 线性相关 关系.当散点图
中的散点散布在左下角到右上角的区域时,对于这两个变量 的这种关系,我们称为正相关;当散点图中的散点散布在左 上角到右下角的区域时,对于这两个变量的这种关系,我们 称为负相关,如图所示:
(2)非线性相关:若散点图中的点的分布从整体上看大致在一
条曲线(不是一条直线)附近,就称此相关为 非线性相关 ,如 图所示:
(3)不相关:若散点图中的点的分布没有显示任何关系,则称 变量间是不相关的,如图所示:
问题3 变量间的关系的分类
变量间的关系 函数关系:确定的因果关系 相关关系:
不确定
的因果关系→
【解析】观察图像易知散点图散乱地分布在坐标平面 内,不能拟合成某条曲线或直线,所以这两个变量不具有相 关关系.
第8课时
最小二乘估计
问题3
用最小二乘法求得的直线方程的系数分别是多少?
x 1 +x 2 +…+x n 表示 , n y +y +…+y n 表示 1 2 , n (x 1 -x )(y 1 -y )+(x 2 -x )(y 2 -y )+…+(x n -x )(y n -y ) (x 1 -x ) +(x 2 -x ) +…+(x n -x )
【解析】在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系; 在②中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关 系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们 不具有相关关系;在③中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关 关系.
4
下图是两个变量统计数据的散点图,判断两个变量 之间是否具有相关关系.
【解析】以 x 轴为年平均气温,y 轴为年 降雨量,可得相应的散点图如图所示. 因为图中各点并不在一条直线附近,所以 两者不具有相关关系,没必要用回归直线进行 拟合,如果用公式求得回归直线方程也是没有 意义的.
回归直线方程的性质的应用
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产 品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x 元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y 件 90 84 83 m 75 68
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
第7课时
相关性
问题1
(1)学生成绩与教师水平之间存在着某种联系,但又不是必 然联系,对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系, 我们称之为 相关关系 . (2)为了更好地进行数据分析,我们通常把表格中两个变量 分别作为横、纵坐标,在平面直角坐标系中描点作出两个变 量的对应点,这样的图形叫作 散点图 ,通过散点图的分 布可以判断变量间的关系.
A.0
2
1 B. 2
C.1
D.不确定
在画频率分布直方图时,某组的频数为 10,样本容量 为 50,总体容量为 600,则该组的频率是( A ).
A.
1 5
B.
1 6
C.
1 10
D.不确定
10 1 50 5
【解析】注意频率是频数与样本容量的比值,所以频率为 = .
3
一个样本容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如 下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60), 0.7 . 4;[60,70),2.则样本在区间[10,50)的频率为
2
下列各图中的两个变量之间的关系是相关关系的是 ( D ).
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
【解析】抽取的数据是离散的,因而相关关系所对应的图形是 散点图.②③能反映两个变量的变化,它们是相关关系.
3
③ . 下列关系中,属于相关关系的是 ①正方形的边长与面积之间的关系; ②人的身高与年龄之间的关系; ③降雪量与交通事故的发生率之间的关系.