计算机控制系统的模拟化设计方法

§10-5 计算机控制系统的模拟化设计方法

所谓模拟化的设计方法，就是首先设计出符合技术要求的连续控制系统，再用相应的离散控制器去实现。例如图10-19(a)的连续控制系统可用经典的方法(如频率特性法、根轨迹法等)求出校正环节)(s D 的传递函数，然后用如图10-19(b)的离散系统去代替它，并要求数字校正环节)(z D 在一定条件下和)(s D 等价(例如要求它们具有相同的脉冲响应或频率响应)。

(a)

(b)

图10-19 连续系统和其相应的离散系统

)(z D 逼近)(s D 的程度取决于采样速率和离散化方法。对单输入单输出系统已有许多

种近似方法，例如冲激不变法、通过零阶保持器而离散化的方法、数值积分法、双线性变换法，以及零极点变换法等等。这些方法各有不同的优缺点。在连续控制系统中广泛采用的PID 调节器也有一些相应的数字形式的PID 调节器。本节还将介绍一些数字PID 调节器算法和调整方法。

一、离散控制系统设计的技术要求

本节主要介绍在经典控制系统设计中所提出的技术要求，它们比较直观。但是有时按这些技术要求设计的控制方案会相互矛盾，这就要求设计者根据经验做一些折衷的安排。现代控制理论中提出了比较严格的要求，但这些要求不够直观。

1．稳态误差

如果考虑图10-19(b)所表示的单位反馈控制系统，则误差为

)()

()(11

)(0z U z G G z D z E c +=

(10.94)

如果特征方程

0)()(10=+z G G z D

的根全部位于z 平面内以原点为圆心的单位圆内，则此闭环系统是稳定的。这时，利用z 变换的终值定理就可以分析系统在各种输入条件下的稳态误差。

单位阶跃输入时，1

)(-=

z z

z U c ，则 p

z k K z z

z G G z D z k e 1?1

)()(11)1(lim )(lim 01

=-?

+?

-=→∞

→ (10.95)

式中)]()(1[lim 01

z G G z D K z p +=→称为静态位置误差系数。它可以由开环脉冲传递函数直接求得。如果)()(0z G G z D 中具有一个以上1=z 的极点时，∞=p K ，系统的位置误差为零。

单位斜坡输入时，2

)1()(-=

z Tz

z U c ，则

v

z k K z Tz

z G G z D z k e 1?

)1()()(11)1(lim )(lim 2

01

=-?

+?

-=→∞

→ (10.96)

式中)]()(1)[1(1

lim

01z G G z D z T

K z v +-=→称为静态速度误差系数。如果)()(0z G G z D 中具有两个以上1=z 的极点时，∞=v K ，系统的速度误差为零。

单位加速度输入时，3

2)

1()

1()(-+=z z z T z U c ，则 a

z k K z z z T z G G z D z k e 1

?)1()

1()()(11)1(lim )(lim 3

201=-+?+?-=→∞→ (10.97)

式中)]()(1[)1(1lim

02

2

1z G G z D z T K z a +-=→称为静态加速度误差系数。如果)()(0z G G z D 中具有三个以上1=z 的极点时，∞=a K ，系统的加速度误差为零。

由上分析可以看出系统的稳态误差除了与输入的型式有关外，还与)()(0z G G z D 中含有

1=z 的极点数目密切相关。z 平面内1=z 的极点对应于s 平面内0=s 的极点，即积分环

节。在连续系统中，根据开环传递函数中含有积分环节的个数定义几型系统，同样，对于离

散系统，把开环脉冲传递函数中含有1=z 的极点数用v 来表示，把 ,2,1,0=v 的系统分别称为0型、I 型、II 型、…系统。

如果把(10.94)式在1=z 处展开，得

11

1213

1210)1(1

)1(1)1(11)

()(11

)()(-∞=---∑

-=+-+-+=

+=

i i i

c z K z K z K K z G G z D z U z E (10.98) 显然，p K K =1，v K K =2，a K K =3。以上分析说明开环系统)()(0z G G z D 中如有m 个积分器，当闭环系统是渐近稳定的，对输入信号的阶数1-≤m n 时，此系统的稳态误差为零，如下表所示。对闭环系统稳态误差的要求将决定)(z D 的结构形式。

0型系统 I 型系统 II 型系统

)()(0z G G z D 的极点 无1=z 的 有一个1=z 有两个1=z

稳态位置误差

p

K 1

0 0 稳态速度误差 ∞

v

K 1

0 稳态加速度误差 ∞ ∞ a

K 1

2．动态响应

对控制系统的动态性能要求可分为时域指标和频域指标两种，它们相互之间有一定的关系。

1）时域内的指标。通常用系统的单位阶跃响应作为参考指标。如图10-20(a)所示。

2）频域内的指标。设闭环系统的脉冲传递函数为)(z G ，则其频率响应为)(T

j e

G ω。图

10-20(b)画出其幅频响应曲线及其相应的性能参数。其中，带宽BW 与系统的响应速度有关。

BW 大，响应快，但对干扰也敏感。谐振峰增益m G 的大小与系统复共轭极点位置有关。而

峰值频率m ω与带宽BW 有直接的联系。

二阶系统的这些动态指标具有很大的代表性，这是因为高阶系统的阶跃响应和频率响应

常常也是由其一对主导极点所决定的。设

2

2

22)(n

n n

s s s G ωξωω++= (10.99) (a)

超调量P ，峰值时间P T ，上升时间r T ，调整时间S T ，稳态误差s e

(b)

图10-20 控制系统的阶跃响应和频率响应

其阶跃响应为

)11sin(1-1)(2

1

22

ξ

ξξωξ

ξω-+--=--tg

t e t y n t n (10.100)

其时域指标为

9.01

.0)

(t y 100

1P +

δ+1δ-

1

m G )1(G 2

)1(G m

ωBW

ω

m

n

S n P T P T ξωξ

ξπξωπ3

)1exp(10012

2

=

--=-=

当10<<ξ时，其频域指标为

2

m 2

242210.707 10.7070 121244)21(ξωωξξξ

ξξξξω-=??

???

≥<<-=+-+-=n m n M BW 3．对控制能量的限制

在控制系统中许多元部件的输出都是有限的，如放大器的输出电压、驱动电机的力矩等。因而必然要对控制作用从幅值或能量上提出限制。例如，对控制信号 u 的限制，对能量

∑∞=0

)( k k u 或∑∞

=0

2

)(k k u

的限制，对误差和能量∑∞

=+0

22)]()([k k u k e ρ的限制(ρ为常数)等。

4．对参数变化的敏感性

一种是被控对象的参数可能变化，这可以用局部高增益反馈来解决。另一种是控制器的

参数可能发生变化，这要求仔细考虑控制器的结构和设计，数字校正装置的舍入误差的影响也是很大的，因而要注意选择实现的标准形式，以减少这些影响。

二、数字校正装置的近似设计方法

本节所介绍的方法是指利用连续控制系统设计方法已求得校正环节)(s D 后，再用一些 近似的方法把)(s D 离散化而得到)(z D ，便可以写出控制算法。如果把)(s D 看成模拟的滤波器，则这种方法可以被叫做模拟滤波器的离散化方法。这样的方法有许多种，各有一些优缺点。

1．离散化的方法

1）冲激不变法。这种方法可以记为

[]{}

[])(?)()(1s D Z s D L Z z D ==- (10.101)

其理由如下：设已知)(s D 为

∑

=+=n

i i

i

a s c s D 1

)( (10.102) 则其单位脉冲响应函数为

t a n

i i i e c t h 1

)(-=∑= (10.103)

如要求数字校正装置)(z D 在采样点上具有与它相同的单位脉冲响应，即

kT a n

i i i e c kT h 1

)(-=∑= (10.104)

则取z 变换后得到

∑

=---=n

i T a i

z e

c z D i 111)( (10.105) 可以看出，这种方法就是直接的z 变换方法。其优点在于)(z D 和)(s D 的脉冲响应是一样的，而且如果)(s D 是稳定的，则)(z D 也是稳定的（因为如果0≥i a ，则1≤-T

a i e

)。

但)(z D 的频率响应可能与)(s D 的不同。如果采样速率较低，采用数字滤波器可能会有混叠现象，需要采用前置滤波器。

[例10-19] a

s K

s D +=

)(，则 1

1)(---=

z e K

z D aT

控制算法为

)()()(kT Ke T kT u e kT u aT +-=-

这是一种递推的算法。

2）通过保持器而离散化：设)(s D 的输入信号经过一个零阶保持器)(0s D ，我们再通过冲激不变的原则使)(0z D D 和)(s D 等价，如图10-21所示

图10-21 )(s D 和零阶保持器

)

(z D T

其结果为

????

??

-=--])([)1()(11s s D L Z z z D (10.106)

)(s D 通过零阶保持器而离散化得到)(z D 的的优点是：当)(s D 稳定时，)(z D 也是稳

定的，但是它们的脉冲响应和频率响应是不同的。

[例10-20] a

s K

s D +=

)(，则 1

11

11111)1(]11

11[)1(])([)1()(------------=

----=??

????+-=z e z e a K z e z a K z a s s K

L Z z z D aT aT aT

控制算法为

)()1()()(T kT e e a

k

T kT u e kT u aT aT --+

-=--

3）前向差分法：这种方法是一种近似的微分方法，它取

T

z s s D z D 1)

()(-=

= (10.107)

其理由如下：如把任一函数)(t x 的微分用算子d 来表示

)()(t x d t x

?= )(1)

()(t x T q T

t x T t x -=-+≈

(10.108)

上面第二个等号用前向差分代替微分，再把它用差分算子q 表示，于是就有T q d /)1(-=。如果直接用z 变换和s 变换之间的关系，也可以近似得到(10.107)的结论。因为

sT

z

T s sT e z sT

+≈+++==112

2

则 T

z s 1

-=

(10.109) 这种近似方法十分简便，但是不能保证)(z D 总是稳定的，而且不能保证具有与)(s D 相

同的脉冲响应和频率响应。

[例10-21] a

s K

s D +=

)(，则前向差分近似为 1

1

)1(1)(----=z

aT KTz z D 其中 1 aT -可能大于1。

4）后向差分法：这也是一种近似的微分方法，它取

zT

z s s D z D 1)

()(-=

= (10.110)

其理由如下：

)

(1)

()()(1

t x T

q T

T t x t x dt t dx --=--≈ (10.111) 于是就得到qT q d /)1(-=。如果利用级数公式

z

e T s sT sT

ST ==+++=- 22111

(10.112) 也能得出一样的结论。当)(s D 是稳定的时候，反向差分法能保证)(z D 也是稳定的，但是不能保证)(s D 和)(z D 具有相同的脉冲响应和频率响应。

[例10-22] a

s K

s D +=

)(，利用后向差分近似，得 1

1)(--+=z

aT KT

z D

5）双线性变换：取

1

12)

()(+-?==z z T s s D z D (10.113)

其理由如下：把函数)(t x 的积分)(t y 记为

?=

=t

d

t x dt t x t y 0

)

()()( 并用)(kT x 到)(T kT x -曲线下面积代替其)()(T kT y kT y --，则如图10-22所示。

图10-22 推导双线性变换的积分关系图

)]()([2

)()(T kT x kT x T

T kT y kT y -+=

-- 写成算子形式，得

)()1(2

)()1(11kT x q T

kT y q --+=

- )

1(2)

1()()(1

1---+=q q T kT x kT y 即

)

1()1(21-+?=q q T d 于是就得到(10.113)的结论。利用级数公式也可以得出相同的近似结果。由

)5

3(211ln 53 +++=-+x x x x x 以2

sT

x =

代入，并只取级数展开式中第一项得 sT sT sT =-

+

2

121ln

取指数

z e sT sT

sT ==-

+

2

121 即

)

1()

1(+-=

z T z s α

用双线性变换后，)(z D 和)(s D 的脉冲响应和频率响应不可能一样，但它们的稳定性是一致的。

)

1-

6）零极点对应的变换

这种变换把)(s D 在s 平面上零点或极点变为)(z D 在z 平面上相对应的零点或极点，即

11)()(---=+=z e a s aT s D z D (10.114)

其中，a 是)(s D 在s 平面上零点或极点

[例10-23] a

s s

s D +=

)(，则 1

1

11)(-----?=z e z K z D aT

这是一个高通滤波器，因此要求

1)(1=-=z z D

求出系数

1

1

1121)(2

1-------?

-=-=

z e z e z D e K aT aT aT

2．采样周期的选择

采样周期与许多因素有关。当一个离散系统是由一个零阶保持器和一个连续系统组成

的，保持电路会引起相移。当采样周期较短时，零阶保持器可展开为

2

2

)

2

1(]2

)(11[11sT sT Te

sT

T sT sT s s e --≈+-=+-+-=- (10.115) 上式中第一个等式把sT

e

-用级数展开，第二个等式可以近似看成是2

sT e

-的展开。因而对短

采样周期，保持器可以被近似为具有半个采样周期时延的环节。如果我们限制相角只能滞后5~15°，即

3.57/)15~5(2

)(0=-

=T

c c ωω? (10.116)

其中c ω是系统的剪切频率。如果s ω为采样速率，则 T

s πω2=

c c

ωωπ)9.41~56.12(2)15~5(3

.572=??=

一般Nyquist 频率为20~5倍剪切频率，于是取

c s ωω10=

3．数字校正装置的设计方法

我们现在要从总体上考虑图10-19所提出的任务，其前提是连续系统的校正环节的)(s D 已经被确定了。现在要用图10-19(b)所示的数字系统来代替。设计可按下列步骤进行： 1）先检查在连续系统中插入零阶保持器后的性能。这是因为零阶保持器要引入时延。

如用Pade 展开：

12

)(212112

sT sT T

sT T s e sT ++≈+≈-- (10.117) 这时的连续系统变为如图10-23所示。如果这样的系统性能变坏了，要修改)(s D 的设计。

图10-23 考虑保持器影响时的连续系统

2）把)(s D 离散化为)(z D

3）检查图10-19(b)所示离散系统的性能 4）把)(z D 写成数字控制算法

[例10-24] 设计一个位置控制系统的数字校正环节。原连续系统如图10-24所示。设采样周期已被选为015.0=T 秒。我们按上面介绍的步骤进行设计。

图10-24 位置控制系统

1）把零阶保持器按一阶Pade 展开：

133

1332221100+=

+=

+=--s T s K sT T

K s e sT 其中0K 的选择是使它的稳态增益为1。把此零阶保持器考虑为系统的一个环节。如图10-23所示，再用根轨迹法进行检查。由于T 很小，插入此零阶保持器后对系统根轨迹影响不大，结论是)(s D 不需要修改。

2）选用零极点对应的变换法把)(s D 离散化。

1

101

411)(------=z

e z e K z D T T 1

186.0194.01----=z z K

)(z D 稳态增益应和)(s D 的一致，即

1.19)

(lim )

(lim 1

0==

→→z D s D K z s

3）把)(z D 写成数字控制算法为

)(84.0)(95.17)(1.19)(T kT u T kT e kT e kT u -+--=

三、数字PID 控制器

在连续控制系统中，比例－积分－微分（PID ）控制器得到广泛的应用，它既能使系统的稳态误差为零，又能改善系统的动态性能。连续系统PID 控制器的时域表达式为

??

?

??

?++

=?

t

d

i

p dt t de T dt t e T t e K t u 0

)()(1)()( (10.118) 则其传递函数为

s K s

K K s E s U s D d i p ++==

1

)()()( (10.119) 其中，i T 为积分时间常数，d T 为微分时间常数，p K 称为比例系数，i

p i T K K =

称为积分系

数，d p d T K K =称为微分系数。连续的PID 控制器原理框图如图10-25(a)所示。PID 控制

规律也可以用计算机来实现，如图10-25(b)所示。

1. 数字PID 算法

用不同的近似方法，可以得到不同的数字PID 的算法。最简单的是用求和代替积分，用后向差分代替微分，则有

[]?

???

??--+

+

=∑=)()()()()(0

T kT e kT e T T iT e T T

kT e K kT u d

k

i i p (10.120) 数字PID 调节器的脉冲传递函数为

)1(11

)()()(11

---+-+==

z K z

K K z E z U z D d i p (10.121) 式中，T 为采样周期，p K 称为比例系数，i p

i T T

K K =称为积分系数，T

T K K d p d =称为微分系数。类似于连续PID 控制，比例系数p K 加大会减小稳态误差，提高系统的动态响应速度；积分控制i K 用来消除系统的稳态误差，只要存在偏差，它的积分所产生的信号总是用来消除稳态误差的，直到偏差为零，积分作用才停止；微分作用d K 实质上是跟偏差的变化速度有关，微分控制能够预测偏差，产生超前的校正作用，因此微分控制可以较好地改善

动态性能。

为了简化计算及减小累计误差，可进一步写成增量形式。如果引入:

[]?

???

??---+

+

=-∑-=)2()()()()(1

T kT e T kT e T T iT e T T

kT e K T kT u d

k i i p (10.122)

(a)

u

(b)

图10-25 模拟和数字PID 控制

把它从(10.120)中减去，则有

)]()([)()()(T kT e kT e K kT e K kT e K kT u d i p -?-?++?=? (10.123)

其中，)()()(T kT u kT u kT u --=?，)()()(T kT e kT e kT e --=?。

2. PID 控制器的调整方法

如果采样周期T 足够短，数字PID 控制器的效果将十分接近连续的PID 控制器。因而可以采用连续PID 控制器的调节方法。下面将介绍瞬态响应法和极限灵敏度法。

1）瞬态响应法

如果被控对象的阶跃响应如图10-26所示，其瞬态响应曲线的最大斜率为R ，时延为L 。根据R 和L 可以确定P ，PI 和PID 控制器的参数。列表如下。

图10-26 阶跃响应

K I T D T

P 控制器 RL 1 PI 控制器 RL 9

.0 L 3

PID 控制器 RL

2

.1 L 2 L 5.0

2）极限灵敏度法

这种方法要求首先用比例控制器来控制系统，逐步增大控制器增益，直到闭环系统达到稳定的边缘，系统处于恒幅振荡状态，测出控制器的增益max K 和系统振荡周期p T 。根据这两个参数就可以确定控制器的参数如下表所示。

K I T D T

P 控制器 max 5.0K

PI 控制器 max 45.0K

2.1p T

PID 控制器 max 6.0K 2

p T

8

p T

[习题]

1. 试用冲激不变法，实现下列函数的数字滤波器。

(1)

a

s a + (2)

)

)((b s a s c

s +++

(3)

2

2)(b a s a

s +++

2. 试用零阶保持器法，实现下列函数的数字滤波器。

(1)

a

s a + (2)

)

)((b s a s c

s +++

(3)

2

2)(b

a s a

s +++ 3. 设某机器的弹性机构系统简化为如图所示

设：M ＝0.5 K=200 μ=10

(均为合适的对应单位) (1) 试求传递函数)

()

()(s U s Y s G

(2) 根据系统的无阻尼自然频率，试确定出合适的采样频率，并用零阶保持器的离散方法求系统的脉冲传递函数。

(3) 试求出增益为K 时，比例数字控制的特征方程。