函数解析的充要条件

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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
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附：知识广角 —— 关于C - R 条件
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)在研究流体力学时首先提到 u v u v , . 了如下的关系式： x y y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 , 证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
柯 西
A. L. Cauchy (1789～1857)
法国数学家
数学史上最多产的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 数理弹性理论的奠基人之一 。
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附：人物介绍 —— 柯西
在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理 和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分 公式等等。 在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表 了 789 篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开始出版，直
a 2, b 1, c 1, d 2.
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内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
u v . y x
2.函数区域可导或解析的充要条件:
v x y f ( z z ) f ( z ) u i (1 i 3 ) ( 2 i 4 ) . 则 z z x x z
极限存在,故f ( z)在点z x iy 处可导，且有求导公式:
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
根据柯西－黎曼方程得
ux vx v y u y k1 k2 1, u v u v y y y y
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思考题
用柯西－黎曼条件判断 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 解析时应注意什么 ?
柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要 奠基人，但在处理复变函数理论的方法上，黎曼的方法 被认为是本质的。 在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作出了许多 奠基性、创造性的工作。 复变函数中许多术语，如单值函数、多值函数、分支、 单叶曲面以及单连通区域等，都是黎曼首先使用的。
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附：知识广角 —— 关于C - R 条件
1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础，并且在它上面建立了相应的理论。
上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期
内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为 解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。 后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式，不过
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
即 2 x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
其中 lim (z ) 0,
z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u iv ,
f ( z ) a ib,
( z ) 1 i 2 ,
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所以 u iv
(a ib ) ( x iy ) ( 1 i 2 ) ( x iy )
到 1974 年才出齐最后一卷，总计 28 卷。
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附：人物介绍 —— 黎曼
黎 曼
B. Riemann (1826～1866)
德国数学家
是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 黎曼几何的创始人。
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附：人物介绍 —— 黎曼
u( x, y )与 v( x, y ) 在D 内可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
u v . y x
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作业
习题二: 2(3),5,9
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例5* 设 f ( z ) u iv 为一解析函数, 且 f ( z ) 0, 那末曲线族 u( x, y ) c1 与 v( x, y ) c2 必相互正交,
一、点可导的充要条件 定理1 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 可导
u( x, y ) 和 v ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：
u v u v , . x y y x
y
x y
x
2 2 f ( z ) x i y 所以 仅在直线 x y 上点可导，
且处处不解析。
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例3 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在
区域 D 内为一常数.
证 利用求导公式 u u v v i 0, f ( z ) i y x x y
第二节
第二章
函数解析的充要条件
一、点可导的充要条件
二、区域解析的充要条件
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问题：对于函数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) , 在上一节， 我们用解析的定义判别 f (z)的解析性. 那么有没有其它更好的方法呢？
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v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
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(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e x sin y,
复习 实二元函数可微定义：
u u u x y o ( x 2 y 2 ). x y
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证 仅证
. 由于 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
u u 于是 u x y 1x 2y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0 v v v x y 3x 4 y, x y
也有些著作把该上述关系式称为欧拉－达朗贝尔条件。 盐城工学院基础部应用数学课程组
例3 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u2 , 求 f ( z ). 解 u v 2u u , (1) x y y u v u 2 u , ( 2) y x x u 2 ( 4 u 1) 0, 将 (2)代入 (1)得 x u 2 由 (4u 1) 0 0, x u 由(2)得 0, 所以 u c (常数), y 于是 f ( z ) c ic 2 (常数).
(返回)
附：知识广角 —— 解析函数的由来 解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用 的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道 他的工作。 在康使用该名称 20 年之后，拉格朗日(Lagrange) 也使用了解析这个术语，他在《解析函数论》中 将能展开成级数的函数说成是解析函数。 现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的著作中形成的。
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思考题答案
首先判断 u( x , y ) 和 v( x , y ) 在 D 内是否可微;
u v u v 其次再看是否满足 C - R条件 : , ; x y y x
最后判定 f ( z ) 的解析性.
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附：人物介绍 —— 柯西
其中 c1 , c2 为常数. v 1 ) y y y i y
两个隐函数 u( x, y ) c1 与 v( x, y ) c2 求导得到斜率：
dy ux vx k1 , k2 , dx uy vy
在复平面内处处不解析.
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例2 讨论函数 f ( z ) x 2 i y 2 的可导性与解析性。
解 由 ux ,v y ,有
2 2
u u 0, 2x , y x v v 2y, 0, y x
由C - R 方程， x y,
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二、区域解析的充要条件
定理2 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析
u( x, y ) 和 v( x, y ) 在区域 D 内可微， 且满足
C - R 方程。 注：偏导数连续
二元函数可微
推论 若函数u( x, y ) 和 v ( x, y ) 偏导数在D 内存在连续， 且满足C - R 方程 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域D 内解析。
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证
(1) 必要性.
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 且 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导,
则对于充分小的z x iy 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z )z ( z )z ,
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例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); (3) w z Re( z ). 解 (1) w z ,
u x, v y ,
u 1, x
u 0, y
故
u v u v 0, x y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),