49-三角方程及三角不等式

作图的方法
描点法
作图基础描点法 和谐函数五点法
以点代线是小作 四点三线绝对值
①平移 ＋－平移×伸缩
变换法
单式变换法
②伸缩 ③对称 ④翻折 ⑤旋转
变号变位为对称 横横纵纵绝对翻 运算主体纯字母 ＋角顺转绕极点 直线法距圆用心
单式变换是基础
和谐函数是代表
一根二序三变量
复式变换法
双重变换法 运算主体纯字母 多重变换法 图象变换点变换
(3)对称变换引申
f (x) 先横向平移|a|个单位，再以x=a为轴作对称变换 f (a x)
(4)翻折变换引申
f (x) 以x=a为轴作翻折变换 f (| x a |)
三、和谐函数的性质
1.内容：两域五性
①定义域②值 域③周期性④单调性 ⑤对称性(奇偶性的推广)⑥凸凹性⑦渐近性
2.方法：
法1：数形结合 看图说话 三法作图 有图就有一切
五点做图象 “代
一角表二”名+k三T 结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
2.解三角形：正余弦定理 知三有三
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
一、三角函数的概念
1.一般的，函数 y=sinx叫做正余函数 2.一般的，函数 y=cosx叫做余弦函数 3.一般的，函数 y=tanx叫做正切函数
二、三角函数的图像
有图就有一切 “代表”+ kT
注⑤：图象变换的基础是点的变换，故应该用“图象上 所有点”来描述变换，但实际操作时，可简化。 可模仿注⑥的书写格式
注⑥：
(1)先平移后伸缩
f (x)
横向平移|φ|个单位
Fra Baidu bibliotek
f
(
x
)
横坐标变为原来的 |
1
倍 |
f
(x
)
(2)先伸缩后平移
1
f (x)
横坐标变为原来的 |
倍 |
f
(x)
横向平移 个单位
f (x )
y sin x
R
[-1,1]
T 2
y cos x
R
[-1,1]
T 2
y tan x
x k (k Z )
2
R
T
对 奇偶性 称 点对称 性 轴对称
奇函数 平衡点 过最值点
偶函数 平衡点 过最值点
奇函数 平衡点及间断点
单
[2k ,2k ](k Z ) [(2k 1) ,2k ](k Z ) (k , k )(k Z )
1. y = sinx的图像及常用的3个代表
研究单调性用此代表较佳
3
2
2
2
2
2
研究正负值用此代表较佳
3
2
2
2
2. y = cosx的图像及常用的3个代表 研究单调性用此代表较佳
2
2
3
2
2
2
研究正负值用此代表较佳
3
2
2
2
3. y=tanx的图象
2
2
4. y=cotx的图象
定义域 值域 周期性
§49 三角方程及三角不等式
一、三角方程：
1.判定根的个数：
①形法 ②零点存在定理
2.求解方法：
①形法：三法画图象 “代表”+kT ②同名型三角方程： ③通解公式：
二、三角不等式：
1.背诵法：特殊的三角不等式 2.形法：三法画图象 “代表”+kT
1.四个三：
三角概述
三角函数 三角方程 三角不等式 三角式
以点代线是小作 复杂变换用参量
注①：“根”是指要变换的最原始的图象
注②：2重变换有2种不同的变换顺序 3重变换有6种不同的变换顺序 但最终结果相同 4重变换有24种不同的变换顺序
注③：不同的变换顺序中，同种类变换的“变换 量”， 注④：不可论能哪不种尽运相算同，都是针对纯(单)字母x(y)而言，
故不同的变换顺序，解题的“风险性”不同
(8)x轴 (9)反函数 y=x ④翻折 (10)横向(11)纵向 ⑤旋转 (12) 极坐标
＋－平移×伸缩 变号变位为对称 横横纵纵绝对翻 运算主体纯字母
(2)复式变换法：
2.复式变换法作图
(1).双重变换法 (2).多重变换法
单式变换是基础 和谐函数是代表
一根二序三变量 运算主体纯字母
①②
③
④
图象变换点变换⑤ 常用结论要熟知⑥
性质法 两域五性特殊点
常用结论要熟知 以点代线是小作
复杂变换用参量
1.描点法(周期五点法)作图
先画图象后画轴 头为负比尾加T
注1.“头”的含义
①正弦式：当 Aω＞0时，“头”是距原点最近的上升平衡点
当 Aω＜0时，“头”是距原点最近的下降平衡点
②余弦式：当 A＞0时，“头”是距原点最近的最高点
当 A＜0时，“头”是距原点最近的最低点
一、三角方程：
1.判定根的个数：
①形法 ②零点存在定理
③正切式：“头”是距原点最近的平衡点
注2.头为负比：x1
注3.尾加T：弦式 x5 x1 T
注4.正弦式： 当A＞0,ω＞0时，y1=y3=y5=B，y2=B+A，y4=B-A
注5.y 轴的位置：找到原点O即可
2.变换法作图：
(1)单式变换法：
①平移 (1)横向(2)纵向(3)周期性(4)向量 ②伸缩 (5)横向(6)纵向 ③对称 (7)奇偶性及其推广（原点，y轴…）
2
2
2
2
调
性
[2k ,2k 3 ](k Z ) [2k , (2k 1) ](k Z )
2
2
凸凹性
……
……
……
渐近性
……
一、和谐函数的概念
1.一般的，称y=Asin(ωx+φ)+B 为正弦式和谐函数
当 A＞0,＞0,x 0 时，在物理中称简谐运动公式
其中x表示时间, y表示位移 A称振幅，ω为角速度(圆频率或角频率)
B为纵轴方向上的偏移
x 称作相位， 称初相
T 2 称为周期， | |
f 1 | | 称为频率 T 2
2.一般的，称y=Acos(ωx+φ)+B 为余弦式和谐函数
3.一般的，称y=Atan(ωx+φ)+B 为正切式和谐函数
二、和谐函数的图像
1.描点法(周期五点法)作图 2.变换法作图 3.性质法作图
法2：整体换元
将“ωx+φ”看成是一个整体
结合复合函数的性质 类比三角函数可得性质
§49 三角方程及三角不等式
一、三角方程：
1.判定根的个数：
①形法 ②零点存在定理
2.求解方法：
①形法：三法画图象 “代表”+kT ②同名型三角方程： ③通解公式：
二、三角不等式：
1.背诵法：特殊的三角不等式 2.形法：三法画图象 “代表”+kT