第五章1 控制系统的频域分析(频率特性与BODE图)
控制工程 第5章 系统的频率特性
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
第5章 控制系统的频域分析法 1(48)
频率特性如图5-3所示。 由图可看出，积分环节的相 频特性等于-900 ，与角频率 ω无关.
图5-3 积分环节的频率响应
14
表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用； 其幅频特性等于1/ω，是ω的函数，当ω由零变到无穷大 时，输出幅值则由无穷大衰减至零。 在[G(jω)]平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。
17
1
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时， 即G(jω)=k/(jTω+1)时，其频率特性是圆心 为:[k/2,0]，半径为k/2的实轴下方半个圆周。
(四）振荡环节
振荡环节的传递函数是:
(5-34)
其频率特性是:
(5-35)
图5-4 惯性环节的频率响应
幅频特性和相频特性分别为:
18
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关， 不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。 当阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr>1) 和谐振频率ωr由幅频特性的极值方程解出。
时，输出幅值衰减很快。
当阻尼比 时，此时振 荡环节可等效成两个不同时间 常数的惯性环节的串联，即:
T1,T2为一大一小两个不 同的时间常数，小时间常数对 应的负实极点离虚轴较远，对 瞬态响应的影响较小。
图5-6 振荡环节的频率响应
21
振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是180 。 推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时， 即 ，其对应频率特性 的起点为
G( j ) G( j ) e jG ( j ) (5 - 15)
；
称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用 下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。
9
G ( j ) G ( j ) e jG ( j )
控制系统的频域分析法
频率特性又称频率响应，是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响 应特性。
若在如图5.1 所示的线性系统结构的输入端加上图5.2（a）的正弦信号，
设该正弦信号为
r(t) Asint
则其输出响应为
c(t) MAsin(t )
即振幅增加了M倍，相位超前（滞后）了 角。响应曲线如图5.2（b）所
示。
图5.1 系统的结构图
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.1 频率特性的基本概念
对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量的幅值
之比为幅频特性：定义输出量与输入量的相位差为相频特性。即
幅值频率特性：
A() | G( j) |
相位频率特性：
() G( j)
将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起，可得频率特性或
令s j ，则频率特性为
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1 1 j T jT 1 1 (T )2 1 (T )2
幅值频率特性为
A() | G( j) | 1 1 (T )2
相位频率特性为
() G( j) arctanT
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.3 频率特性的性质
由此可以看出，振荡环节的频率特性，不仅与 有关，而且还与阻尼比
有关。同惯性环节一样，振荡环节的对数幅频特性也可采用近似的方法绘 制。同样，振荡环节的对数相频特性曲线也可采用近似的作图方法。
第五章 控制系统的频域分析法
5.2 典型环节的伯德图
5.2.6 振荡环节
不同参考值时振荡环节的伯德图如图5.16所示。
幅相频率特性为:
G( j) A()e j() | G( j) |ge jG( j)
自动控制原理第五章频域分析法
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
第五章 控制系统频域分析
146第五章 控制系统频域分析时域分析法具有直观、准确的优点。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且按照给定时域指标设计高阶系统也不是容易实现的事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。
频率法的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性的基本概念 5.1.1 频率特性的定义为了说明什么是频率特性，先看一个R －C 电路，如图5-1所示。
设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为：()1()()1c r U s G s U s Ts ==+ 式中，RC T =为电路的时间常数。
若给电路输入一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号，即：()sin r u t X t ω= (5-1)当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为2211()()11c r X U s U s Ts Ts s ωω==⋅+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为：147()22()arctan 1tT c XT u t e t T T ωωωω-=+-+ 上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。
当∞→t 时，第一项趋于0，电路稳态输出为()()ϕωωωω+=-+=t B T t T X t u cs sin arctan sin 1)(22（5-2）式中，221ωT X B +=为输出电压的振幅；ϕ为)(t u c 与)(t u r 之间的相位差。
自动控制理论第四版夏德钤翁贻方第五章笔记
第5章线性系统的频域分析频域分析法是一种图解分析方法，其特点是可以根据系统的开环频率特性去判断闭环控制系统的性能，并能较方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径。
一、频率特性1.基本概念（1）定义频率特性是将传递函数中的s以j代替。
当电路中的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（频率响应）也是一个正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于。
（2）分类①幅频特性：输出信号的幅值与输入信号幅值之比；②相频特性：输出信号的相角与输入信号相角之差。
2.频率特性的图形表示（1）极坐标图①定义极坐标图是指在平面上，以横坐标表示，纵坐标表示，采用极坐标系的频率特性图，又叫做奈奎斯特图。
②表达式可以分为实部和虚部，即（2）伯德图①定义伯德（Bode）图是指将频率特性化成对数坐标图的形式，又叫做对数坐标图。
②表达式对数幅值表达式为，单位为dB。
③优点利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并且可以用简便的方法绘制近似的对数幅频特性，从而使绘制过程大为简化。
3.线性定常系统的频率特性（1）定义频率特性是指，它反映了正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。
（2）分类①幅频特性：系统稳态输出信号与输入正弦信号的赋值比；②相频特性：系统稳态输出信号对输入正弦信号的相移。
二、典型环节的频率特性1.比例环节（1）比例环节的频率特性为其特点是输出能够无滞后、无失真地复现输入信号。
（2）比例环节的对数幅频特性和相频特性为（3）比例环节的伯德图如图所示（K>1的情况）。
2.惯性环节（1）惯性环节的频率特性为（2）惯性环节的对数幅频特性和相频特性为式中，。
惯性环节的幅频特性随着角频率的增加而衰减，呈低通滤波特性。
而相频特性呈滞后特性。
3.积分环节（1）积分环节的频率特性为（2）积分环节的对数幅频特性和相频特性为它的幅频特性与角频率成反比，而相频特性恒为，即。
控制系统的频域分析
Y (ω ) ② 据频率特性函数 G ( jω ) = X (ω )
例5-1 求一惯性环节的频率特性。 设这个惯性环节为
Y ( s) k = G(s) = X ( s ) Ts + 1
解： 令s = jω , 代入G ( s )有
k k − jtg −1ωT = e G ( jω ) = j ωT + 1 (ωT ) 2 + 1 若换一种方式，设输入x(t ) = A sin ωt，则用拉氏反变
1 + (0.1ω ) 2
e − jarctg ( 0.1ω )
M (ω ) =
10 1 + ω 2 1 + (0.1ω ) 2
φ (ω ) = −tg −1ω − tg −1 (0.1ω ) ω = 0,0.5,1,2,L,10
M = 10,8.9, L ,0.71
o o
φ = 0 ,29.4 ,L,129.3
i =1
( jω ) 2 ∏ (τ k jω + 1)
k =1
n
= M (ω )e
j φ (ω )
M (ω ) =
K ∏ (τ iω ) 2 + 1
m
ω 2 ∏ (Tkω ) 2 + 1
k =1 ∞ ∞
i =1 n
φ (ω ) = −180o + ∑ tg −1 (τ iω ) − ∑ tg −1 (Tkω )
第五章 控制系统的频域分析
学习要求
基本内容： 频率特性：频域响应、频率特性的概念，频率 特性的两种主要描述方式—幅相频率特性图（ Nyquist 图）和对数频率特性图（ Bode 图）。 典型环节的频率特性（包括典型环节的 Nyquist 图和 Bode 图）。 系统开环频率特性： Nyquist 图和 Bode 图的绘 制，最小相位系统的概念，利用实测开环幅频特 性确定最小相位系统的开环传递函数。
控制系统的频域分析.
G(s)
C(s) R(s)
bmsm ansn
b
sm1
m1
b1s
b0
a
sn1
n 1
a1s
a
0
频率特性
G(jω
)
C(jω R(jω
) )
bm (jω )m bm1(jω a n (jω )n a n1(jω
)m1 b1(jω ) bm )n1 a1(jω ) a n
A(ω )ejφ (ω ) U(ω ) jV( ω )
简记对数相频特性。
§5-2 典型环节的频率特性
一、频率特性的几种表示方法 例：
传递函数：
G(s)
1 S
1
频率特性：G( j)
1 j 1
极坐标表示方法
G( j) A()e j( )
A() G( j) 1 22 1
( ) G( j) tg 1
直角坐标表示方法
G( j)
(1
1 j j )(1
40lg(1/τ)
L(ω)
1/τ
1
-6dB
14dB
-40dB/dec
小
φ(ω)
-180°
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.8
0.9
1
L() 14.0 7.96 4.44 1.94
0
-2.92 -4.08 -5.1
-6
渐近线误差
L() 20lg [1 ( )2 ]2 (2 )2
n
n
8
n
转角频率处：低于渐近线 3dB，低于或高于转角频率一倍频程处：低于渐近线 1dB
惯性环节极坐标图
e G( j) A( j) j()
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
5.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线
的斜率等于过A点直线的斜率加这个环节的斜率（惯
性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分环节加+20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的 加减。 6.高频段最后的斜线的斜率应等于-20(n-m) dB/ 十倍频程。 7.若系统中有振荡环节，当<0.4时，需对L()进 行修正。
④
G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20lg( 2T 2 ) 40lg(T )
当ω增加10倍
L( ) 40lg10Tω 40 40lgTω
即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 1 ω ωn T
L( ) 40lg T 40lg1 0(dB)
1 2
振荡环节再分析
L(ω)dB
20lg
1 2 1 2
2 k n G (s ) 2 S 2 S 2 n n (0＜ ＜0.707) 0＜ ＜0.5
20 lg 1 2
= 0.5
0.5＜ ＜1 ω
20lgk
0dB
ωr ωn
[-40]
2 1 2 ωr= n
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-1
如同收音机、电视机一样，任一系统的频率响应反映系统的频率特性，体现系统的控制性能。
系统频率特性物理意义明确。应用频率特性分析研究系统性能的方法称为频域分析法。
控制系统的频域分析法兼顾动态响应和噪声抑制的要求，可以拓展应用于非线性系统。
频率特性定义
分别称为系统的幅频特性和相频特性。
系统数学模型间的关系
控 制 系 统
傅氏变换
拉氏变换
g(t)
数学建模
例5.1-1
图示系统，设输入为r(t)=sin(5t)，计算系统的频率响应和稳态误差。
当
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.788
0.845
0.903
0.954
1
十倍频程
两倍频程
0.1
0.2
200
十倍频程
十倍频程
对数坐标的单位长度
⑶ 对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 纵坐标： ，线性刻度，单位为分贝(dB) 横坐标：ω ，对数刻度，单位为弧度/秒(rad/s)
绘制一阶系统幅相频率特性曲线
解：系统频率特性为
且有
即
复平面上位于第Ⅳ象限圆心为(1/2,j0)，半径为1的半圆。
箭头表示随ω增加,曲线的运动方向
2. 对数频率特性曲线（对数坐标图、伯德(Bode)图）
⑴ 频率特性的常用对数函数
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
5第五章控制系统的频域分析法PPT课件
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5.1 频率特性的概念
5.1.4 频率特性的图形表示方法
1.幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线又称为极坐标或奈奎斯特（Nyquist）曲线。
它是根据频率特性的表达式，G (j) |G (j)|e j G (j ) A () e j ( ) 计算
出当 从 0 变化时，对应于每一个 值的幅值 A ( ) 和
相位 ( ) ，将 A ( ) 和 ( ) 同时表示在复平面上所得到的图形。
2.对数频率特性曲线
对数频率特性曲线又称为伯德（Bode）图，包括对数幅频特性
为分贝（dB），其值为 20lgA()。 对数幅频特征曲线的横轴标为 ，但实际表示的是 l g 。
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5.1 频率特性的概念
l g 和 间存在如下关系： l g 每变化一个单位长度， 将
变化10倍（称为10倍频程，记为dec）。横轴对 l g 是 等分的，对
是对 数的（不均匀的），两者的对应关系见图5.5的横轴对照表。
()=-2 90
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5.2 典型环节的伯德图
由对数频率特性可知，积分环节的对数幅频特性 L ( ) 为斜率
是 20dB/dec的斜直线；对数相频特性 ( ) 为一条-90°的水
平直线。其伯德图如图5.8所示。
比例环节的幅相频率特性为
G(j)1 j11ej2 j
前（滞后）了 角 。响应曲线如图5.2（b）所示。
这些特性表明，当线性系统输入信号为正弦量时，其稳态输出
第五章1 控制系统的频域分析(频率特性与BODE图)
自动控制原理
幅相频率特性画法举例
画出二阶系统 G ( s ) = 112
的幅相频率特性
s (1 + 0 .02 s )
自动控制原理
2. 伯德图(Bode图)
如将系统频率特性G(jω ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐
标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数
自动控制原理
极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线 当ω在0～∞变化时,相量G(jω) 的幅值和相角随ω而变化,与 此对应的相量G(jω) 的端点在复平面 G(jω) 上的运动轨迹 就称为幅相频率特性曲线或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲 线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。（ ω在0～－∞变化 对称于实轴） 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统 稳定性
这些幅频特性曲线将通过点
自动控制原理
0dB,ω = 1
L(ω ) = 20 lg 1 = −20 lg ω (dB ) jω
ϕ (ω ) = −90°
Magnitude (dB)
Phas e (deg)
20 10
0 -10 -20 -30 -40 -89
-89.5
-90
-90.5
-91
-1
10
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw )
(a) 幅频特性
自动控制原理
ϕ(ω) = −arctgTω
自动控制原理
输出与输入的相位之差
(b)相频特性
Uo (s) = G(s) = 1
Uo ( jω) = G( jω) = 1 = 1
第5章 控制系统的频域分析
积分环节的对数相频特性表达式为
积分环 节 的 伯 德 图 如 图 5-12 所 示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-12 积分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 3.微分环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-13 微分环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析
图5-9 比例环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析 2)伯德图 比例环节的对数幅频特性表达式为
其对数相频特性表达式为
比例环节的对数频率特性曲线(即伯德图)如图5-10所示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-10 比例环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 2.积分环节 积分环节的传递函数为
第5章 控制系统的频域分析
图5-21 二阶比例微分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 8.延迟环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-22 延迟环节的极坐标图和伯德图
第5章 控制系统的频域分析 5.3 系统的开环频率特性
第5章 控制系统的频域分析
5.3.1 最小相位系统和非最小相位系统 若控制系统开环传递函数的所有零、极点都位于虚轴以
图5-1 典型一阶系统
第5章 控制系统的频域分析
第5章 控制系统的频域分析 对于图5-2所示的一般线性定常系统,可列出描述输出量
c(t)和输入量r(t)关系的微分方程:
图5-2 一般线性定常系统
第5章 控制系统的频域分析 与其对应的传递函数为
如果在系统输入端加一个正弦信号,即 式中,R0是幅值,ω 是角频率。由于 所以
第5章 控制系统的频域分析
第五章控制系统的频率特性分析法精品PPT课件
二阶超前、滞后系统
G(S)
2 0
S
2
2
0S
2 0
G( j )
2 0
1
2
2
j
0
2 0
1 2 j ( )2
0 0
2
1
jtg
1
1 (
0
)2
e
0
[1 ( ) 2 ]2 (2 ) 2
0
0
20 lg G ( j ) 20 lg
1
[1 ( ) 2 ]2 (2 ) 2
0
0
2
( ) tg 1
aG(S)•R(S)(Sj)Sj
G(j)
jAjA•G 2(jj)
G( j) G( j) ej G( j) G( j) e j
y(t) AG( j) e j e jt AG( j) e j ejt
2j
2j
AG( j) [e j(t) e j(t) ]
2j
AG( j) •sin(t ) B•in(t )1lgω
20lg|G（jω）|
频率特性 G（jω）=K/（jω）r=K/ωr e-j90r
20lg|G（jω）|=20（lgK-rlgω） ；φ（ω）=-900 r
一阶超前、滞后系统
滞后环节： G(S) 1 TS1
G(j)
1
ejtg1T
Tj 1 T22 1
2l0g G (j)10 lgT2 (21)
()tg 1T
渐近线： Tω＜＜1时，
2l0 G g (j) 1l0 1 g 0
Tω＞＞1时
2l0 G g (j) 1l0 T g 22 2lT 0 g
转折频率： 20lgTω=0 ω=1/T
第5章线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念1.频率特性的
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
控制系统的频域分析
第五章 控制系统的频域分析一、频域特性的概念线性定常系统在正弦输入信号的作用下，其输出的稳态分量是与输入信号相同频率的正弦函数。
输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为频率特性。
用数学式表示为：)()()(ωωωj X j Y j G = 系统的频率特性)(ωj G 是系统传递函数)(s G 的特殊形式，它们之间的关系是ωωj s s G j G ==)()(二、频率特性的表示方法直角坐标式： )()()(ωωωjI R j G += ，见图1.5-1式中：称之为实频特性-)(ωR称之为虚频特性-)(ωI极坐标式： )()()(ωφωωj e A j G = 式中：称之为幅频特性-=)()(ωωj G A称之为相频特性-∠=)()(ωωφj G 直角坐标和级坐标表示方法之间的关系是)()()()()()()(sin )()()(cos )()(122ωωωφωωωωφωωωφωωR I tg I R A A I A R -=+=== 图形如图1.5-1所示。
I 图1.5-1三、幅相频率特性曲线（又称乃氏图，乃氏曲线）以角频率ω为参变量，对某一频率ω，有相应的幅频特性)(ωA 和相频特性)(ωφ与之对应，当ω从∞→0变化时，频率特性构成的向量在复平面上描绘出的曲线称为幅相频率特性曲线。
又称为乃氏图、乃氏曲线。
四、对数频率特性（又称频率特性的对数坐标图，伯德图）对数频率特性图（伯德图）有两张图，一张为对数幅频特性曲线图，另一张是对数相频特性曲线图。
前者以频率ω为横坐标，并采用对数分度，将)(lg 20ωj G 的函数值作为纵坐标，并以分贝（dB ）为单位均匀分度。
后者的横坐标也以频率ω为横坐标（也用对数分度），纵坐标则为相角)(ωφ，单位为度)(︒，均匀分度。
两张图合起来称为伯德图。
五、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据）1. 对于开环稳定的系统，闭环系统稳定的充分必要条件是开环系统的奈氏曲线)()(ωωj H j G 不包围()0,1j -点。
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自动控制原理
频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经 典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系 统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系 统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下 优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解 方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通 过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形 象直观和计算量少的特点。
幅频特性
ϕ (ω ) = G( jω )
相频特性
G(− jω) = a(ω) −
jb(ω)
=
−j
G( jω) e G( jω)
=
A(ω)e − jϕ (ω)
c(ω) − jd (ω)
c(t ) = ae − jωt + a e jωt = A(ω )e − jϕ (ω )e − jωt − A + A(ω )e jϕ (ω )e jωt A
jω )
−A 2j
a = G(s) Aω (s − jω ) = G( jω ) A
s2 +ω 2
s= jω
2j
t →∞
自动控制原理
n
∑ bie− pit → 0
i =1
令
G( jω) =
a(ω) +
jb(ω)
=
G( jω) e
j G( jω)
=
A(ω )e
jϕ (ω )
c(ω) + jd(ω)
A(ω) = G( jω)
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入 量，且随着输入信号频率的变化而变化
自动控制原理
设系统的传递函数为
C(s) = G(s) = B(s)
R(s)
A(s)
已知输入 r(t) = Asin(ωt)
R(s) = Aω s2 +ω2
A为常量，则系统输出为
C(s) = G(s)R(s) =
T = RC
自动控制原理
一、基本概念
1、频率响应
在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的 频率响应, 记为css(t)
2、频率特性
幅频特性A(ω): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:
A(ω ) = A(ω ) ⋅ A = G ( jω )
A
相频特性ϕ(ω): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:
s= p
传递 函数
微分 方程
系统
jω = p
频率 特性
p= d dt
自动控制原理
s = jω
5.1.2 频率特性的表示法
(1)幅相频率特性曲线 极坐标图(Polar plot)，幅 相曲线 (2)对数频率特性曲线 伯德图或伯德曲线(Bode diagram or lgarithmic plot) (3)对数幅相曲线 尼科尔斯曲线或尼科尔斯图(lgmagnitude versus phase plot)
自动控制原理
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率 特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确 定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说 ，具有重要的实际意义。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应 法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数 中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。
(a) 幅频特性
自动控制原理
ϕ(ω) = −arctgTω
自动控制原理
输出与输入的相位之差
(b)相频特性
Uo (s) = G(s) = 1
Uo ( jω) = G( jω) = 1 = 1
Ui (s)
1+ RCs Ui ( jω)
1+ RCjω 1+ Tjω
G( jω) = G(s) s= jω
B(s) Aω A(s) s2 + ω 2
=
B(s)
⋅ Aω
(s + p1)(s + p2 )L(s + pn ) s2 + ω 2
− p 1 , − p 2 , L − p n , ± j ω G(s) 的极点
∑ 对稳定系统
n
C(s) =
bi
+
a
+
a
i=1 s + pi s + jω s − jω
自动控制原理
∑n
C(s) =
bi
+
a
+
a
i=1 s + pi s + jω s − jω
n
∑ c(t ) = ae − jωt + a e jωt + bi e − pit
i =1
稳态响应Css(t) 瞬态响应（t → ∞ 趋向于零）
a
=
G(s)
Aω s2 +ω2
(s
+
jω )
s=− jω
=
G(−
说明
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信 号，其输出与输入的幅值比为
A(ω ) = G ( jω )
幅频特性
输出与输入的相位差 ϕ ( ω ) =
G ( jω )
相频特性
自动控制原理
下面以R-C电路为例，说明频率 特性的物理意义。
图5-3所示电路的传递函数为
Uo (s) = G(s) = 1
ϕ(ω) = G( jω)
幅相频率特性G(jω) : G(jω) 的幅值和相位均随输入正弦信
号角频率ω的变化而变化。
G( jω ) = A(w)e jϕ (ω)
在系统闭环传递函数G(s)中，令s= jω，即可得到系统的
频自率动控特制性原。理
G( jω) = 1 1 + T 2ω 2
电路的输出与输入的幅值之比
2j
2j
= A(ω ) A sin(ωt + ϕ (ω )) 稳态分量
自动控制原理
c(t ) = ae − jωt + a e jωt = A(ω )e − jϕ (ω )e − jωt − A + A(ω )e jϕ (ω )e jωt A
2j
2j
= A(ω ) A sin(ωt + ϕ (ω ))
（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效 抑制噪声的系统。
自动控制原理
5.1频率特性及其表示法
5.1.1 频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同 频率正弦输入信号的响应特性。
2
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
自动控制原理
时域分析法的缺点：
（1）高阶系统的分析难以进行； （2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，
Ui (s)
1+ RCs
设输入电压 ui (t) = Asin(ωt)
R
ui
C uo
图5-3 R-C电路
U o ( jω) = G( jω) = 1 = 1
Ui ( jω)
1 + RCjω 1 + Tjω
G( jω) = G( jω) ejϕ(ω)
G( jω) = 1 1 + T 2ω 2
ϕ(ω) = −arctgTω