923851-复变函数-1,2习题课

练习
1．导函数
f
(z)
u x
i
v x
在区域
D
内解析的
充要条件为
u , v 可微， x x
2u x 2
2v xy
,
2u yx
2v 2x
,
2. 设 f (z) x3 y3 ix2 y2 , 则 f ( 3 3 i) 27 27 i 22 4 4
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23
3. 设 f (z) 1 z5 (1 i)z, 则方程 f (z) 0 的所有根为 5
z
4
1
i
8
2cos 4
2k
4
i sin 4
2k
4
4. 设 f (z) z3 3z2 9z, 则方程 f (z) 0 的所有根为
z 1 4 1i 2cos k.
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24
六、初等函数
1 与实初等函数不同的性质
例9 下列命题中，正确的是( D )
（A）设 x, y 为实数，则 cos( x iy) 1 （B）若 z0 是函数 f (z) 的奇点,则 f (z) 在点 z0不可导
x
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8
y
(b)
i O 1/2 x
-i
无界单连通域.
(c)
y
． -i
| z (1 i) | 1
-1 O
x
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9
三、复变函数极限和连续判别
例４ 设 z x iy ，试讨论下列函数的连续性：
f
(z)
x
2 xy 2y
2
,
0,
z0 z0
(7) arg f (z) 常数.
(8) au bv c,其中a, b, c是不全为零的实常数 .
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17
例8 证明: 已知 f (z) 在 D 内解析，如果在 D 内 arg f (z) = 常数, 则 f (z) 取常值.
证 分两种情况讨论
(1) u = 0时,
e2iz 1
e2iz e2ki
z k.
(k 0, 1, 2,)
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27
例11 求出(2) 2 的值.
解 (2) 2 e 2Ln(2)
e 2ln 2i(2k) e 2ln2{cos[ 2(2k 1)] i sin[ 2(2k 1)]}
(k 0, 1, 2,)
81
9
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12
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
所以
w
1 z
1 2 iy
2 iy 4 y2
u iv
2
y
u
4
y2 ,
v 4
y2
因为
u2 v2
4 (4
y2 y2 )2
1 4 y2
u, 2
所以
u2 v2
u 2
0
u
1 4
2
v2
1 16
(k 0,1,2,3)
( 2k 1)i
3.2e 3 4 (k 0,1,2).
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6
练习：
求 1 z z2 0 的根.
设复数
那么 z
z 满足arg(z
（ A）
2)
3
，arg(z
2)
5
6
,
（A） 1 3i
（C）
1 2
3i 2
（B）
3 1i 22
（D） 3 i
1 i
三角形式为z 2(cos( 3 ) i sin( 3 )).
4
4
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3
练习：
1. 求z 2 的辐角主值. 1 3i
2. 求( 1 i )6的指数表示式. 3i
答案：
1. 辐角主值为2 .
3
2. 1[cos i sin ]
82
2
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第一、二章习题
一、复数的计算
二、由方程(不等式)判断对应图形的性质 三、复变函数极限和连续判别 四、映射的像 五、 函数解析性相关性质 六、初等函数
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1
复 球 面
扩 充
复 平 面
曲线 与区域
复数 复变函数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根
复 数 表 示 法
代数表示法 三角表示法 指数表示法
14
练习
1．函数 f (z) 3 z 2 在点 z 0 处是( B)
（A）解析的
（B）可导的
（C）不可导的
（D）既不解析也不可导
2．函数 f (z) z 2 Im( z)在z = 0处的导数为( A)
（A）等于0
（B）等于1
（C）等于-1
（D）不存在
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15
例7 若函数 f (z) 在上半平面内解析，试证函数 f (z) 在下半平面内解析.
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16
2、f (z)取常值的等价条件
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)恒取常值;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数;
(6) Im[ f (z)] 常数;
u u 0, x y
所以
u u v v 0. x y x y
u, v 均为常数, 故f (z)为常数.
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18
(2) u 0 时,
因为arg z 在D内是一个常数, 所以
v tg 常数.
u
两边同时取关于x, y的偏导数得
v
u x
u
v x
0
v
u y
u
4
2. 幂和方根的计算
例2 将复数 z ( 2i )(1 i )7 化为三角形式， 1i 1i
并求 z6 , 3 z.
解 因为 z 2(cos( 3 ) i sin( 3 )), 所以
4
4
z6 ( 2)6(cos( 3 6) i sin( 3 6))
4
4
8i.
3 2k
3 2k
u(
x,
y)
1
k
2
,
y kx
随 k 值的变化而变化, 所以 lim u( x, y) 不存在, x x0 y y0
所 f (z)在复平面除去原点外连续，在原点处
以不连续.
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11
四、映射的像
例5 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？
（C）若 u, v在区域 D 内满足柯西-黎曼方程，则 f (z) u iv 在 D 内解析
（D）若 f (z) 在区域 D 内解析,则 if (z)在 D 内也解析
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25
1.设 是复数， 则( C )
（A）z 在复平面上处处解析（B） z 的模为 z （C） z一般是多值函数
4. cos(iln5)=
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30
答案：
(1) 2来自百度文库i(k 0, 1, 2, )
(2) arctan 4 3
(3) z 2k i ln4 (k 0,1,2,)
(4) 13 5
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31
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28
例12 试求 (1 i)1i 函数值及其主值:
解
(1 i) e 1i
e (1i)Ln(1i)
(1i )ln
2
i
4
2k
e e ln
2
4
2 k
i
4
2
kln
2
ln 2 2k i 2kln 2
4 4
2e
2 k 4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2
令 k 0 得主值:
(k 0, 1, 2,)
(1 i)(1i)
2e
4
cos
4
ln
2
i
sin
4
ln
2 .
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29
练习： 1．方程 1 e z 0 的全部解为
2．Im{ln(3 4i)}
3. 解方程 sinz i cos z 4i .
表示
w平面上以
1 4
,0
为圆心，1
4
为半径的圆.
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13
五、 函数解析性相关性质
1 函数解析、可导的判别
例6 函数 f (z) ( x2 y2 x) i(2xy y2 ) 在何处
可导，何处解析.
解 u( x, y) x2 y2 x, ux 2x 1, uy 2 y;
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7
二、由方程(不等式)判断对应图形的性质
例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出 是单连通域还是多连通域?
(a) Re(1) 1; (b) | z | Re z 1; z2
(c)zz (1 i)z (1 i)z 1 0.
解 (a)
y
O
1
无界多连通域.
v y
0
由此可知或者u = v = 0, 从而f (z)为一常数.
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19
或者
u v
x u
x v
0
y
y
又f (z)在 D 内解析, 所以满足柯西 – 黎曼方程:
u v , u v . x y y x
由上面两式得
(u)2 (v )2 0, x x
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21
2．设函数 f (z) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，
正确的是( D )
(A) 若 f (z) 在 D内是一常数，则 f (z)在 D内是一常数 (B) 若Re( f (z))在 D内是一常数， f (z) 在 D内是一常数
(C) 若 arg( f (z))在 D内是一常数，f (z) 在 D内是一常数
3 z ( 2)1/ 3[cos( 4
) i sin 4
]
3
3
k = 0, 1, 2
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5
练习:
1
1. (1 3i)2 .
1
1
2. (16)4 . 3.(4 2 4 2i)3 .
答案:
( k 1 )i
1. 2(e 6 ) (k 0, 1)
1(i2ki )
2. 2e4
(1) x2 y2 9, (2) x 2. 解 (1) 因为 x2 y2 z 2 9
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
v( x, y) 2xy y2, vx 2 y ,vy 2x 2 y;
当且仅当 y 1时， 2
故 f (z) 仅在直线 y
ux 1
vy , uy 上可导.
vx .
由解析函数的定义知,
2 f
(z)
在直线
y
1
上处处
2
不解析, 故 f (z) 在复平面上处处不解析.
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初等函数
极限 连续性 可导与解析 判别定理 C-R条件
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2
一、复数的计算
1. 几种形式的转化
例1 将复数 z ( 2i )(1 i )7 化为三角形式.
1i 1i
(辐角用主值)
解 2i 1 i 2[cos( ) i sin( )]
1 i
4
4
(1 i )7 i 则 z 1 i.
证明 令g(z) f (z), 则z0 , z为下半平面的点时，
z0 , z为上半平面上的点.因为f (z)在上半平面解析，
lim
zz0
g(z) g(z0) z z0
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
lim(
z z0
f (z) f (z0)) z z0
f (z0 )
由上式知g(z) f (z))在z0可导,且g(z0 ) f (z0 ).
（D） z 的辐角为 z 的辐角的 倍
2．设 为任意实数，则 1 ( D )
（A）无定义
（B）等于1
（C）是复数，其实部等于1
（D）是复数，其模等于1
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26
2. 初等函数的计算 例10 解方程 sin z 0
解
eiz eiz e2iz 1 sin z 2i 2ieiz 0
（D）若f (z)与 f (z) 在 D内解析，则 f (z)在 D内是一常数
3．设 f (z) u iv 在区域 D 内是解析的，如果 u v 是实常数，那么f (z)在 D 内( 为常函数 )
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3 解析函数的导数
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
解 因为 z0 0时， 2 xy
u( x, y) x2 y2 ,
v( x, y) 0.
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10
u( x, y)和v( x, y)均在( x0 , y0 )处连续，
所以f (z) 在z0 处连续.
z0 = 0时，当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
2k
lim
x0
20
所以
u u v v 0. x y x y
u, v 均为常数, 故 f (z) 为常数.
练习 1.如果 f (z)在单位圆 z 1内处处为零，且 f (0) 1，那么在 z 1内 f (z) ( C )
（A） 0 （B） 1 （C） 1 （D）任意常数
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