高中数学：弧度制.ppt
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高中数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制(教学课件)
当 r
4
时，S
有最大值
16，此时 l
16 2r
8
，
l r
2
，
当 2 时，扇形的面积最大，最大面积是 16.
本节课学习了弧度制的概念， 角度与弧度的互化，扇形的弧长及 面积公式.
感谢观看
（1）若 60 ， r 3 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为 16，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？
并求出最大面积.
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3 ，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16 ，l 16 2r(0 r 8) ，
因此扇形的面积 S 1 lr 1 (16 2r)r r2 8r (r 4)2 16 ， 22
2π
5π 6
，
2
750
750π 180
25π 6
2
2π
π 6
，
故1
19π 6
，2
25π 6
，1
的终边在第二象限，2
的终边在第一象限.
（2） 1
3π 5
3 180 5
108
， 2
π 3
1 180 3
60
.
设1 108 k1 360k1 Z ，2 60 k2 360k2 Z ，
令 720 1 180 ， 720 2 180 ，
即 720 108 k1 360 180k1 Z ， 720 60 k2 360 180k2 Z ，
得 k1 2或 k1 1， k2 1 .
故在[720, 180) 内，与 1 终边相同的角是 612 和 252 ，
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
高中数学课件-1 弧度制
把长度等于半径长 周角的1/360叫做1度的 单位规定 的弧所对的圆心角 角。
叫做1弧度的角。
弧长公式
lr
360 2 rad
换算关系 180 rad
基本关系
n r
l 180
1 rad 0.01745rad
180
1rad
180
57.30
5718
导出关系
练:已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2， 求扇形的圆心角的弧度数。
[总结]
2 rad 360
rad 180
1rad
180
57.30 5718
（1）仅出现“弧度”，
可以直接乘 (180)
化简即可
例2、把 3 rad ,-2.1 rad 化成度。
5
解： 3 rad 3 (180)108
5
5
2.1rad
2.1 (180)
120.33
三、课堂练习：
课堂练习
1、下列诸命题中，正确的是（ C ）
A、１弧度是１度的圆心角所对的弧 B、１弧度是长度为半径的弧 C、１弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D、１弧度是１度的弧与１度的角之和
二、角度与弧度的换算： [总结]
1、把角度换成弧度：
l r
（1）仅出现“度”，
360 2 rad
180 rad
30
135
例2、指出下列角是第几象限角
1 , 2 , 4 , 8
练习.请用弧度制表示下列角的集合： （1）终边在x轴非负半轴上的角； （2）终边在x轴上的角； （3）终边在y轴上的角；
（4）终边在第一象限的角； （5）终边在第四象限的角； （4）终边在y轴右侧的角；
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
高中数学人教A版必修第一册第五章《弧度制》课件
360 2 180
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
高中数学必修一课件：弧度制
探究2 解决这一类问题的关键是角度制与弧度制的互化关系，π弧度＝
π 这个角的弧度数
π
180°，再由公式 180° ＝ 这个角的度数 得：度数× 180 ＝弧度数，弧度数
×1π80°＝度数．
思考题2 (1)在下列表格中填上相应的角度或弧度数．
角度 0° 弧度
45° 60°
90° 135° 150° 180°
例4 (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角的弧度 数；
(2)已知一扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm，求扇形的面积； (3)已知一扇形的周长为16 cm，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形 的面积最大？最大面积是多少？
【解析】 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r
探究1 (1)不论是以“弧度”还是“度”为单位，角的大小都是一个与半径 大小无关的定值．
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2. (3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同 的．
思考题1 下列命题中，假命题是( D )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad的角是周角的21π C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
A.sin1 1
B.sin1 2
2 C.sin 1
2 D.sin 2
解析 过圆心作弦的垂线，则所在圆的半径为r＝sin1 1，故弧长为2×sin1 1＝
2 sin
1.
4．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式可以是( D )
高中数学《弧度制》精品PPT课件
则M，N之间的关系是__________
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边 与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角 是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3
（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用 度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度 量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是 一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的 弧度数的绝对值是
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边 与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角 是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3
（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用 度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度 量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是 一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的 弧度数的绝对值是
弧度制ppt课件
将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制课件
5
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
高中数学必修四《弧度制》PPT
问题：弧长分别为r、2 r、3 r、……、l 所对的圆心角
的弧度数是多少？
B
O
α
r
r
A
B 2r
α
B
OrA
3r
α
O r AB
r
O rA
1 rad 2 rad 3 rad rad
探究：如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重 合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下列表格中填空.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
1° = π rad ≈ 0.01745 rad 180
1 rad =（180 ）° ≈57.30° π
根据上面两个式子，就可以进行弧度与角度的换算.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
180° = π
引入弧度制的意义： 1、使进位制统一； 2、三角函数的自变量变为实数； 3、简化了微积分运算；
完成下列特殊角的度数与弧度数对应表:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o n
180
弧
度0 6
43
2
2
3
180
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
1米是 1 秒的时间内光在真空中行驶的 长度 299792458 1千克是1立方米的纯水在4℃时的质量
思考：请说出下列的∠AOB大小.
B
90° 180° 360°
O
AB
O
A
O
A (B)
角度制（用“度”作为单位来度量角的单位制.）
新湘教版高中数学《弧度制》教学课件
2．若 α＝－3，则角 α 的终边在
(C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3 为第三象限角．
返 回 目 录
5
课堂练习
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角
α 终边所 在的象限
Ⅰ
角 α 的集合 {α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z}
Ⅱ
{α|2kπ＋2π<α<2kπ＋π，k∈Z}
Ⅲ
{α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z}
Ⅳ
{α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z}
返
回
目
录
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面
积最大为 100 cm2.
返 回
目
录
5 课堂练习
5
课堂练习
1．时针经过一小时，时针转过了
A．π6 rad
B．－π6 rad
C．1π2 rad
D．－1π2 rad
(B )
5
课堂练习
180
360
2 创设情景
2
创设情景
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的
圆心角等于1 rad.
若弧 AB 的长等于半径 r , 则长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
3 归纳探索
3
归纳探索
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所 【答 以案 －】1 485－°1可0π以＋表74示π为－10π＋74π.
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
高中人教版数学必修4课件：1.1.2弧度制
(1)
－
7 8
π
rad
(2) － 396°
[(1)
－
157°30′
＝
－
157.5°＝
－
315 2
×1π80 rad＝－78π rad.
(2)－115π＝－115π×18π0°＝－396°.]
2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度 表示)
12 5π
[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
第一章 三角函数
§1 数列 1.1.2 弧度制
学习目标 1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间 的一一对应关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉 特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
核心素养 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽 象素养． 2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.
C [对于A,60°＝60×1π80＝π3；对于B，－130π＝－130×180°＝－ 600°；对于C，－150°＝－150×1π80＝－56π；对于D，1π2＝112×180° ＝15°.故选C.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝ ________.
5π 6
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于利用“180°＝π rad” 这一关系式．
3．弧度制下涉及扇形问题的解题策略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝21lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
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① 弧长公式： l = r
由公式： = l l = r
r
比公式
l = nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
19
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S=R2 n =1R2
360 2
14
4.用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一 一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
15
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角
的大小，而 1
是圆的
1 360
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
20
例4. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l= 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
21
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
所对的圆心角
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一个与半径大小无关的定值．
16
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k 0Z
它们构成一个集合：
S = | = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R. R
解: 设扇形的圆心角的弧度数为(02) , 弧长为l,
半径为R,
l2R=10 ①
根据题意: 1 l R = 4
②
2
由①得 l=102R,
代入②得 R25R4=0
解得R1=1,R2=4
22
当R=1时,l=8cm时, = l =8 2 舍去
若l=2 π r，
则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
l=2 π r O r A(B)
180°= π 弧度
360°= 2π 弧度
8
角度与弧度间的换算
360=2rad 180=rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180 把弧度换成角度
1ra=d1805.730=571'8
7 4
1 1 2
6
12
2 3 3 y 2
4 5
3
4
6
6
0
O
x
7
1 1
6
5
6
4
7
4
3 5
4
3
2
3
13
注意几点： 1．度数与弧度数之间换算。 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住。
它们构成一个集合：S = | = 2 k,k Z
17
[例3]
把下列各角化成 2 k0 2 ， k Ζ
的形式：
16 （1） 3
；（2）315 ；（3） 11 ． 7
说明：在用四则运算表示角时，单位要统一，不能出
现例如300+2kπ,或π/2+k.3600等错误表示法！
18Байду номын сангаас
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
r=__3 _5 _c _m ___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0 __4的_0_圆__中__，__圆心角为周角的
2 3
的角
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_4__c_m_2____
24
25
7：当扇形的中心角为600，半径为10cm，求扇 形的弧长及该弧所在的弓形面积
R 当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
已知扇形OAB的圆心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
23
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
600=π/3
L=10π/3
S=50( 3)cm2
32
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少? 26
28
1.角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位来度量角的 制度叫角度制.
2、弧长公式及扇形面积公式
l nR 180
S n R2 360
1
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么 我们能否重新选择角单位，使在该单位制 下两角的加、减运算与常规的十进制加减 法一样去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
2
3
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作：弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
4
圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比.
B
B
l=R
1弧度
l=r
1弧度
O r RA
的与
A
一半 个径
比长
值有
关
5
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，
则∠AOB的弧度数的绝对值是 l = 3，
l
r
即∠AOB=－ = －3弧度
9
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
10
[例2]把下列 各角化为度：
(1) 5 rad
6
(2)2ra(d精确0.1到 ）
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
11
特殊角的角度与弧度换算表：
0
6
4
3
2
2 3
3 5 46
7 6
5 4
4 3
3 2
5 3
r
O rA
B
-3弧度
l=3r
6
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
(2)角的弧度数的绝对值
=l (l为弧r长 为半)径
r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
7
角度与弧度间的换算