第三节 分部积分法(精选、)

第三节 分部积分法

分布图示

★ 分部积分公式

★ 几点说明 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16

★ 例17

★ 例18

★ 分部积分的列表法

★ 例19

★ 例20 ★ 例21

★ 例22

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题4-3

内容要点

分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)

⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数).

.

arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mx

x mx

x x x e

x mx e mx e mx x mx x n n n n

mx

n nx nx n n

例题选讲

例1 (E01) 求不定积分

⎰xdx x cos .

解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛== ⎰

⎰⎰

+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=,sin 2

cos 22cos cos 2

2

2xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行.

解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u ===

⎰⎰=x xd xdx x sin cos ⎰-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=

例2 (E02) 求不定积分

⎰

dx e x x 2.

解 dv de dx e x u x x ===,2

x

x

de

x dx e x ⎰⎰=2

2⎰-=dx xe e x x x 22⎰

-=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--=

注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.

例3 (E03) 求不定积分

⎰xdx x arctan .

解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛== ⎰⎰

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ⎰-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ⎰

+⋅-=222112arctan 2 dx x x x ⎰

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=2211121arctan 2.)arctan (2

1

arctan 22C x x x x +--=

例4 (E04) 求不定积分

⎰xdx x

ln 3

.

解 令,4,ln 43

dv x d dx x x u =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛== ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎰⎰

4ln ln 43

x d x xdx x ⎰

-=dx x x x 34

41ln 41.161ln 4144C x x x +-=

注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.

例5 (E05) 求不定积分⎰

xdx e x sin . 解

⎰⎰=x x

de dx e

sin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰

-=xdx e x e x x cos sin

⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰

--=x d e x e x e x x x ⎰

--=xdx e x x e x x sin )cos (sin

.)cos (sin 2

sin C x x e dx e x

x

+-=∴⎰

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.

例6 (E06) 求不定积分⎰

dx x )sin(ln . 解

)][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=

dx x

x x x x 1

)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰

)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰

+-= dx x x x x ⎰

--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln

.)]cos(ln )[sin(ln 2

)sin(ln C x x x

dx x +-=∴⎰

灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.

例7 (E07) 求不定积分 ⎰

xdx 3sec .

解

⎰⎰=x xd xdx tan sec sec

3

⎰

-=xdx x x x 2tan sec tan sec

⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰

⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3 ⎰

-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec

由于上式右端的第三项就是所求的积分⎰

,sec 3xdx 把它移到等号左端去，再两端各除以

2，便得.|)tan sec |ln tan (sec 2

1

sec 3C x x x x xdx +++=⎰

例8 求不定积分

.1arcsin dx x

x

⎰

- 解

x d x dx x

x --=-⎰

⎰

1arcsin 21arcsin

x d x x x arcsin 12

arcsin 12⎰

-+--= dx x

x x x x ⎰

--+

--=11arcsin 12

.2arcsin 12C x x x ++--=

例9 求不定积分

.1arctan 2

dx x

x x ⎰

+

解

2

2

1arctan 1arctan x

xd dx x

x x +=+⎰

⎰

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

'⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211x x x