用数学归纳法证明平均值不等式

用数学归纳法证明平均值不等式

【摘要】本文尝试用数学归纳法从不同角度对平均值不等式进行了证明，进一步体现了均值不等式证法的多样性。

【关键词】平均值不等式数学归纳法

一、引言

不等式历来是中学数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的比较，通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系，因而从某种意义上说，不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。本文试探讨一种比较特殊而又著名的不等式——“平均值不等式”。这种不等式不仅本身颇为有用，而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧之用，而且它在中学数学中有着更为广泛的应用。特别在高中数学中，我们频繁地接触到此类不等式的简化形式（如平均值不等式中: n=2,3,4,…的情形），但诸多教科书并未对它作更进一步的探讨。从历年高考考察的情况来看，虽然对平均值不等式未作很高的要求，但几乎每年高考均有题目涉及到此类不等式,可见平均值不等式及其相关教学在中学数学中有着其重要的地位和作用。

二、平均值不等式的证明

著名的平均值不等式如下：

现用数学归纳法证这个问题。

（i）当n=1 b1=1等号成立，故命题成立。

（ⅱ）若当n=k时命题成立，即若b1,b2,…，bk>0且b1·b2…bn=1, 则b1＋b2＋…＋bk≥k。

当n=k+1时，设b1,b2,b3…，bk+1>0且b1·b2…bk·bk＋１=１，b1，b2，…，bk+1若b1=b2=…＝bk+1=1，命题显然成立。

若b1,b2,…bk,bk+1不全为1，则由于b1·b2…bk·bk+1=1,b1,b2,…,bk+1中至少有一个大于1及小于1的bi 。不妨设bk1，于是由(1-bk)(1-bk+1)bk·bk+1+1 (*)。

另一方面，由于b1·b2…bk＋１（bk·bk+1）=１，按归纳法假设有b1+b2+…+bk-1+(bk·bk+1)≥k，因而b1+b2+…+bk-1+bk+bk+1=b1+b2+…+bk-1+(bk+bk+1)>b1+b2+…+bk-1+bk·bk+1+ 1≥k+1。

因此当n=k+1时，命题成立。由（i）及（ⅱ）知，对任意自然数n，命题成立。

证法3 在证法1中，当n=k时，由不等式正确推导n=k+1时不等式正确，是比较困难的，但是由n=k时的正确性推导n=2k时的正确性却很简单，因此我们可先证明不等式对一切n=2k成立，再证明不等式对一切n＞2 ，n≠2k成立。

由（i）及（ⅱ）知，对一切自然数n不等式成立。

证法4 证法3比起证法1要简便得多，还可在证法3基础上进一步简化，我们要用到柯西提出的一种证法。

（i）证当n=2k，不等式成立（同证法3）。

由（i）、（ⅱ）知，对任意自然数n，不等式成立。

三、小结

本文用数学归纳法证明了平均值不等式，事实上，这几种方法并非孤立，它们之间有一定的联系。比如证法2是在证法1的基础上将不等式作了一个变形，然后用了数学归纳法，而证法3走了一个捷径巧妙地运用了数学归纳法，至于证法4这种证法较难想到，它是在证法3的基础上巧妙地运用了柯西提出的一种数学归纳法。

参考文献：

[1]徐胜林，吴明确. 平均值不等式[J] 数学通讯, 2005年第20期.

[2]李炯生，黄国勋. 中国初等数学研究[M]. 北京:科学技术文献出版社,1992.54-55.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”