微积分的哲学意义

一． 1.复习课本基本知识概念，

2. 串一串前几章的知识脉络，函数、极限、导数与微分及其应用、不定积分、定积

分等几个概念的联系。

二．几点比较感兴趣的多余的思考

泰勒公式的哲学意义

在人类历史上，人类对泰勒展开式的兴趣之所以那么高，完完全全是因为（x-a）的n次方，（x-a）的n次方是多项式，多项式是当时人类最熟悉的函数形式之一。

但是在比较高等的数学里，我们有兴趣的完完全全是f(x)在a处的n阶导数这一项。这个n 阶导数完全刻画出了泰勒展开式最重要的一个特征，叫做：“一叶知秋”。什么叫做“一叶知秋”，就是说一片叶子掉下来，我就知道秋天到了。好，f(x)在a处的n阶导数，导数的定义是什么，导数的定义是在x趋近于a的时候在a的临域所发生的事情。f(x)在a处的n阶导数就是它的一阶变化率，二阶变化率，三阶变化率... 但是呢，它始终是在a的旁边一点点。我只要知道a点附近的这些东西，除以n的阶乘，再乘以（x-a）的n次方，我就完完全全可以知道函数在整个坐标系里的行为是什么，就知道了这个函数是什么。也就是说，我只要得到a附近的一点点的信息，我就可以知道这个函数长什么样子。

不只是这些，a还可以动，也就是说，函数上任意一点的临域都包含着函数的全部讯息！这就是泰勒展开式最重要的意义。

事实上泰勒展开式所研究的函数的种类，是数学上很稀少的一类，叫做解析函数。

我们的人生是解析函数吗？如果是的话，我们可以在最短最短时间内我们所经历的一切，外推到整个人生。所以说，如果人生是解析函数的话，那就太棒了。我们只要活一点点，我们就可以用一点点的生涯去幻想无穷无尽的生命到底是长什么样子。

微积分的哲学意义

根据自然辩证法和现代物理学的观点。自然界是由无数个层次组成的系统。按其质量的相对的大小可作如下排列：

。。。。。。总星系——恒星系——太阳系——地球上的物体——分子和原子——基本粒子。。。。。。

如果我们把前一个层次当作一个原函数看待，那么后一个层次便是微分所得到的“导数”或称“微商”。这样连续地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx²；三次微分dx³。。。。。。直到n次微分dxｎ。由此看出高次微分处处有自己的原型。它与物质世界的各个层次建立了一一对应关系。物质是无限可分的。微分过程也是无限的。物质不灭，微分不止。这就是微积分同物质世界的对应关系。微分或积分的过程正是反映了物质的不同层次之间物质形态的相互转化和运动形态的相互转化。

微积分的辩证内容

1.代数运算转化为微分运算——量变到质变的飞跃

微积分是从代数和几何的领域中发展起来的。代数方法向微分方法转化，代数运算的结果转化为微分运算的出发点，是数学发展中的一条极重要的规律。促进这种转化的动因是数学本身内部的矛盾运动，即客观事物内部矛盾运动在数学领域中的抽象。这一规律的发现和总结，

首先应归功于马克思。是他第一次把代数运算与微分运算联系起来了，阐明了微分是怎样起源于代数，而后又怎样开始自己独立的矛盾运动。他指出了从代数运算转变为微分运算是一个否定之否定过程。是量变到质变的飞跃

如果按照“（dx²）＝0”的方法行事，那么全部运算变成“0＝0”，一切消失了，什么也得不到。然而，尽管牛、莱运算的方法是错误的，但结果却是正确的。错误的运算得出了正确结果，本身就是一个矛盾。它揭示了在一定条件下荒谬也可以转化为正确。牛、莱从错误的运算方法出发，通过“变魔术”的方法，求出了函数y＝x²的微商即y′＝（x²）′＝2x，实现荒廖向正确转化

2.极限——量与质、有限与无限的对立统一

极限理论是整个微积分的理论基础，它贯穿于微积分学的始终。微积分基本问题的解决，主要概念的建立，都依赖于极限方法。极限概念是客观事物质的规定性和量的规定性的辩证统一，即质和量的辩证统一。数学上的极限概念和哲学的“度”的概念是一致的。辩证法认为：一切发展变化的事物在其发展的各个阶段上总要保持自己质的数量界限。在这个界限内事物就存在。超出了这个界限，该事物便转化为他事物。变化着的事物，在变化过程逐步趋近于一个稳定状态，用数学的语言说即趋向于某一个“常量”。这种趋于稳定的过程，数学上叫做极限过程。这个“常量”就是数学中的极限。哲学上称之为“度”。当客观事物在极限（度）范围内变化时，相对而言主要是量的变化，而无明显质的变化。从而保持了该事物的相对稳定性。一旦变化达到了极限的位置，就会出现质的飞跃，原来的事物消失了，新的事物诞生了。极限概念又是一个有限与无限的对立统一。有限与无限是客观世界中普遍存在的一对矛盾。物质、运动、时间、空间等等，从量的方面来说都是有限与无限的对立统一。现实世界中的有限与无限，反映到人们的头脑中，经过思维的加工，构成了数学中“量”的有限与无限的矛盾运动，即它们之间的相互转化。微积分在研究变量的关系时，突破了有限，一直深入到无限之中去。它巧妙和不断地运用有限与无限的相互转化取得了一批批重大成果。而这个巧妙的方法就是极限方法

3.、“直”与“曲”在微积分中的同一性

恩格斯说：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”○15这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾，实现这一矛盾相互转化的基础上。

4、牛顿—莱布尼茨公式——联结微分与积分的桥梁

唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中

但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿—莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。

三．自己学习的经验交流

图像法