历年初三数学中考思想方法-分类讨论思想方法指导及例题解析及答案

中考中的数学思想方法----分类讨论思想
一、概述：
当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：
1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，
此时这个三角形的外接圆半径等于2
1╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形
的外接圆半径等于2
1╳ 8=4 2、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度
数为____________。

解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时，
∠BCA=90°-25°=65°
①如图2，当△ABC 是钝角三角形时，
∠BCA=90°+25°=115°
图1 图2
3、如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o
，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．
（1）求PA 的长；
（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．
（1）Q 在Rt ABC △中，30
5CAB BC ∠==o ，， 210AC BC ∴==．
AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△．
::3:1PA PC AE BC ∴==．
:3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯=
=． （2）BE 与⊙A 相切．
Q 在Rt ABE △
中，AB =15AE =，
tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o ． 又30PAB ∠=o Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ，
， BE ∴与⊙A 相切．
（3
）因为5AD AB ==，，所以r
的变化范围为5r <<．
当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R
的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R
的变化范围为1510R <<+
4、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），
点T （t ，0）是x 轴上的一个动点.
(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；
C Ｄ 图1 图2
(2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？
解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）.
（2）5='P O .
（a ）动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时，△TO P '是等腰三角形.
∴点)0,5(1-T .
（b ）动点T 在原点右侧.
①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.
得：)0,4
5(2T . ② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形.
得：点)0,5(3T .
③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形.
得：点)0,4(4T .
综上所述，
符合条件的t 的值为4,5,4
5,
5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;
(2)若S 梯形OBCD ＝433
,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的
三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
解：（1）直线AB 解析式为：y=3
3-x+3．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝3
3-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2
CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝3
34，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，3
3） 方法二：∵ 23321=⨯=
∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．
∴ ACD S ∆＝2
1CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，
33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图
①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，
∴1P （3，3
3）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=
33OB=1． ∴2P （1，3）．
当∠OPB ＝Rt ∠时
③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．
方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝2
3． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，
∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．。