竞赛专题因式分解

竞赛专题因式分解 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

竞赛专题：因式分解

一、重要公式

1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1)

2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；

3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);

4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);

二、因式分解的一般方法及考虑顺序

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；

（4）分组分解法；

1、添项拆项

[例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc

（1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋

x)(x2＋1－x)

（2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2

解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2

=(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)

=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)

[例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1

（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两

组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4)

=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5)

（2）分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a ＋1组成两组，正

好可以用立方差公式

解：a 5＋a ＋1＝a 5－a 2＋a 2＋a ＋1=a 2(a 3－1)＋a 2＋a ＋1

=a 2(a －1)( a 2＋a ＋1)＋a 2＋a ＋1=(a 2＋a ＋1)(a 3－a 2＋1)

2、待定系数法

[例3]因式分解2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20

解：∵2x 2＋3xy －9y 2=(2x －3y)(x ＋3y),故用待定系数法，

可设2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋a)(x ＋3y ＋

b)，

其中a,b 是待定的系数，比较右边和左边的x 和y 两项的系

数，得

⎩

⎨⎧-=-=+333142b a b a 解得 54==b a ∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)

[另解]原式=2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)，这是关于x 的二

次三项式

常数项可分解为－(3y －4)(3y ＋5),用待定系数法，

可设2x 2＋(3y ＋14)x －(9y 2＋3y －20)=[mx －(3y －4)][nx ＋(3y

＋5)]

比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1

∴2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20=(2x －3y ＋4)(x ＋3y ＋5)

三、重点定理

1、余式定理：整多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r ，则

f(x)=(x-a)q(x)+r 。当一个f(x) 除以(x – a) 时， 所得的等于 f(a)。

例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 (x – 1) 时，则=f(1)=1^2+1+2=4。

2、因式定理：即为的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a 。反过来，如果f(x)含有因式x-a ，那么，f(a)=0。

四、填空题

1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，

b= 。

2、计算：(x＋6)2(x－6)2=(x2－36)2。

3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则(x－y)2= 。

4、分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋

3= 。

5、分解因式：4x3－31x＋

15= 。

6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋

1987= 。

五、选择题

7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是

（）。

（A）(y－z)(x＋y)(x－z) （B）(y－z)(x－y)(x＋z)

（C）(y＋z)(x－y)(x＋z) （D）(y＋z)(x＋y)(x－z)

8、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（）。

（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，47

9、n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个同学算出

如下四个结果，其中正确的结果只能是（）。

（A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948

六、将下列各式分解因式

10、x4＋x2y2＋y4 11、x4＋4

12、x4－23x2y2＋y4 13、x3＋4x2－9

14、x3－41x＋30 15、x3＋5x2－18

16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y3 17、x3－3x2＋3x＋7

18、x3－9ax2＋27a2x－26a3 19、x3＋6x2＋11x＋6

20、a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2

21、3x3－7x＋10 22、x3－11x2＋31x－21