光学透镜公式

§6 薄透镜

6.1 焦距公式

我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则 r n n s n s n -'=''+ n n nr f -'= 1=''+s f s f n n r n f -''=' n n f f '=' y y s n s n V '-=''-= 反射：

r s s 211-='+ 2r f f -='=

s s V '-=

及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法

下面我们研究薄透镜成像问题

图6-1

透镜： 如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃），其折射率为n L 。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为n 和n '，在多数场合下，透镜置于空气中，则1='=n n .

在轴上一物点Q 经Σ1折射成像于Q 1,

Q 1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q 2,

两次成像可分别写出两折射成像的物象公式

第一次 11111=''+s f s f n n nr f L -=11

111s n ns V L '-= n n r n f L L -='11 第二次 12222=''+s f s f

L L n n r n f -'=22 222s n s n V L ''-=

L n n r n f -''='22 21V V V = 设21A A =d 则d s s -'=-12 d 为透镜的厚度，d 很小的透镜称为薄透镜

在薄透镜中A 1和A 2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S 和像距S '都是从光心算的。

于是，对薄透镜'≈1s S ，'≈'2s S ，'-=12s s ，代入上式得

1111=''+s f s f 2f ⨯ 1212='+'-s f s f 1f ⨯ 推出

211221f s f f s f f =''+ '=''+'-'112112f s f f s f f 两式相加消去'12,s s 得

122121f f s f f s f f '+='''+ (6,1)

据焦距定义='=s f s ,∞或f s '=',s=∞

1221f f f f f '+= 122

1f f f f f '+''=' 推出

2111f f n n f L

+'= n n f f L ='1

1 1211f f n n f L '+'

=' L n n f f '='22 将单个球面焦距公式代入得

221r n n n f L L -'=

111r n n n f L L -='

21r n n r n n n f L L -'+-= 21r n n r n n n f L L -'+-'=' n n f f '=' 这是薄透镜焦距公式 如果物象方折射率1≈'=n n ，则有

)11)(1(121r r n f f L --='=

此式给出了薄透镜焦距与21,,r r n L 的关系，称为磨镜者公式。

磨镜者公式

)11)(1(1

21r r n f f L --='= 正透镜或会聚透镜：

具有实焦点（f 和f '>0）的透镜叫正透镜。

负透镜或发散透镜：

具有虚焦点（f 和f '<0）的透镜叫负透镜。

画图用符号代表凸凹透镜

会聚透镜的共同特点：中央厚，边缘薄，这类透镜叫凸透镜。

发散透镜的共同特点：中央薄，边缘厚，这类透镜叫凹透镜。

如图6-2各种形状的透镜

图6-2

6.2 成像公式

将焦距公式代入（6.1）式中，则有

1=''+s f s f 这便是薄透镜的物象距公式

如f f n n '='=, 则有

f s s 111='+这便是薄透镜的物象距公式的高斯形式，按此式可绘出s s '-曲线，物像距关系

由图可见特点有几个。

对凸透镜，虚物不能成像，在2倍焦距出物象距相等。

对凹透镜，实物不能成实象，在2倍焦距处物象距相等。

s s ',符号规则与单个球面相同

入射光从左→右，s s ',从光心O 算起。

(Ⅰ) 若Q 在O 点之左，则s>0 （实物），否则

(Ⅱ)Q '在O 点之右，则s '>0 ； （实象）。s s ',也可以从F F ',算起 (Ⅲ) 当物点Q 在i F 之左，则x>0

(Ⅳ) 当象点Q '在i F '右，则x '>0

不难看出

f x s += f x s '+'=', 代入物象距公式得xx '=ff ',这便是薄透镜公式的牛顿公式。 焦距公式：

物象距公式：

横向放大率公式：

薄透镜的横向放大率分别为：

s n s n V L 11'-= 22s n s n V L

''-= 12s s '-= 所以

s

f s f s n s n V V V ''-=''-

==21 或f x x f V ''-=-= 如果1='=n n ，即，透镜置于空气中

s s V '-= (f f n n '='=,)

这便是薄透镜的横向放大率公式

6.3 密接薄透镜组

在实际中，我们往往需要将两个或更多的透镜组合起来使用，透镜组合最简单的情形是两个薄透镜紧密接触在一起，有时还用胶将它们粘和起来，成为复合透镜，下面讨论这种复合透镜与组成它的每个透镜焦距之间的关系，我们用逐次成像方法，两次用高斯公式

111111f s s ='+ 222111f s s ='+ 1

221s s s s s

s '-='

== (密接) ∴ 211111f f s s +='+