第0章绪论

主讲：戴普庆《数学教学论》数学教学论是高等师范院校数学专业的一门必修课.它是在学生已掌握了教育学心理和数学分析、高等代数、高等几何等理论知识的基础上开设的；同时也是为了适应数学教育改革蓬勃开展和不断深入，数学教育思想、教学方法、教学内容不断更新的新形势.《数学教学论》本课程要求教学应立足于密切联系中学数学教学实际，适应当前数学教育的要求，反应某些具有启发性的研究成果；强调中学数学教学目的核心是发展学生数学能力，而发展能力的核心又是发展学生数学思维能力；解决“为什么教”、“教什么”和“如何教”等问题，整个课程的设计、组合均力求使学生在政治素质、业务素质、数学教育理论和教学能力四方面产生总体效应.《数学教学论》通过数学教学论课程的学习，可使学生熟悉《中学数学课程标准》，明确中学数学教学的目标要求，初步掌握中学数学教学应当遵循的一般规律，了解中学数学教师的日常工作，初步具备从事中学数学教学与研究的能力，为将来能更好地胜任中学数学教学，担负中学数学教学改革，使中学数学教学适应面向现代化、面向世界、面向未来的需要打下必要的基础.《数学教学论》因此，高等师范院校开设《数学教学论》课程，对于提高师范毕业生的综合素质、为培养合格的中学数学教师是十分必要的.《数学教学论》的内容一、绪论１数学教育发展概况：数学教育发展简史，数学教育改革.２数学教育学研究的对象、意义与方法：关于数学教育学研究对象的几种观点，学科特点及重要意义，研究的基本方法.二、中学数学教学目的和内容1 确定中学数学教学目的依据党和国家的教育方针、普通中学的性质与任务、数学的特点、中学生的年龄特征.２中学数学课程标准基础知识与基本技能，能力培养，思想品德教育.３中学数学教学内容中学数学教学内容的确定和安排的原则，中学数学教学内容.４建国以来中数学教学大纲的变更.三、中学数学教学原则１基本教学原则教学原则，教育学中的教学原则.２数学教学原则严谨性与量力性相结合，抽象与具体相结合，理论与实际相结合，巩固与发展相结合.四、中学数学逻辑１概念与定义概念，概念的内涵与外延，概念间的关系，明确概念的逻辑方法（概括与限制、定义、划分），概念教学.２判断与命题判断的意义与种类（简单判断与复合判断），命题及其演算，命题的四种形式，命题的等效性，数学命题教学.３推理与证明形式逻辑的基本规律，推理（演绎推理、归纳推理，类比推理），数学中的证明.五、中学数学教学工作1 数学课的类型与结构数学课类型划分的主要依据，数学课的类型与结构.2 常用的数学教学方法讲授法，谈话法，讨论法，练习法，阅读法，演示法.3 中学数学教学方法的改革发现法，自学辅导法，程序教学法等.4 制定教学计划.5 备课与教案编制.6 上课语言，板书，教具.7考核与评定考查，考试，命题，试卷分析.绪论一、数学教育数学教育是指以数学科学知识和思想方法为基本内容所进行知识的传授，思想的树立，方法的训练，发展智能结构，形成良好的个性心理品质，树立世界观的教育教学过程.二、数学教育发展概况1.古代数学教育先秦（公元前221年~公元前206年）时代的《周礼》中提出数学为六礼之一：礼、乐、射、御、书、数；隋代（公元年581~公元618年）：全国最高学府——国子寺中设立明算学（数学系）；二、数学教育发展概况 唐代（公元618年~907年）编定数学教科书《算经十书》：❑《周髀算经》:约公元前100年成书.“勾股定理”的证明(赵爽：《勾股圆方图注》）：baa2+b2c2“勾股定理”的证明(赵爽：《勾股圆方图注》）：bABC aBC A二、数学教育发展概况《九章算术》：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股.例“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。

问人数、物价各几何。

答曰：七人，物价五十三。

盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。

令维乘所出率，并以为实，并盈、不足为法。

……置所出率，以少减多，余，以约法、实。

实为物价，法为人数。

所出率8 7盈、不足 3 4维乘8×4 7×3并以为实8×4+7×3=53法3+4=7余8-7=1物价53÷1=53人数7÷1=7二、数学教育发展概况❑《海岛算经》：公元263年刘徽著.❑《孙子算经》：约4～5世纪.例1今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？（选自《孙子算经》）.3594⎛⎫ ⎪⎝⎭头：足：−−−→半其足3547⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→以上减下3512⎛⎫ ⎪⎝⎭−−−−→以下减上2312⎛⎫ ⎪⎝⎭（鸡）（兔）例2今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？（选自《孙子算经》）（它相当于求不定方程组N＝3M+2=5M+3=7M+2的正整数解。

）解：设所求数为N，则N＝3M+2=5M+3=7M+2.由于70＝3M+1=5M=7M；21=3M=5M+1=7M；15=3M=5M=7M+1.而70×2+21×3+15×2＝233，又3×5×7＝105，所以，233－105×2＝23即为所求.明代数学家程大位在《算法统宗》卷五中有下面的“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.二、数学教育发展概况❑《张邱建算经》：约4～5世纪.例3 今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡.问鸡翁、母、雏各几何？（选自《张邱建算经》）❑《缀术》：祖冲之.3.1415926< <3.1415927以及❑《五曹算经》、《五经算术》:约6世纪（甄鸾著）.❑《辑古算经》：约7世纪（王孝通著）.❑《夏侯阳算经》.355221137密率：和约率：。

二、数学教育发展概况宋元时代（公元960年~公元1368年）杨辉：在教学方法上主张：o循序渐进、打好基础；o对不同的学习阶段提出不同的学习要求；o注重计算能力的培养；o注重引导和启发（“好学君子自动触类而考，何必尽传”）.二、数学教育发展概况2.传统的数学教学方法的研究时期：同文馆由恭亲王奕 于1860年（咸丰10年）提议，为培养朝廷所需外交人才而设立的外语学校.1862年在北京正式成立.它是中国近代学校的起端.主要问题：如何通过学校教育使未来的社会劳动力获得必要的、基本的文化科学知识.特点：⏹静态性；⏹单边性；⏹单模式性.二、数学教育发展概况3.数学教学理论的研究时期1865年，B.H.什克拉列维奇（俄国）在论文《关于小学数学教学方法的某些设想》中认为“数学教学的主要任务是发展学生的思维能力”.1895年，Β.Π.谢列密切夫斯基（俄国）在论文《做为科学的数学，和它在中学里的替代物》中提出：“初等数学课程应当围绕函数关系的基本概念展开讨论”. 1900年，贝利（Perry，英国）在著名的演讲《数学的教学》中提出：“数学教育的目的，要强调应用”.3.数学教学理论的研究时期1904年，克莱茵（F.Klein,德国）在报告《关于数学和物理教学的问题》中指出：(1)提倡数学理论应用于实际；(2)教材内容应以函数概念为中心；(3)应该运用教育学、心理学的观点来指导教学活动.3.数学教学理论的研究时期1908年，第四届国际数学家会议（ICM：International Congress on Mathematicians，罗马）决定成立国际数学教育委员会（ICMI:International Commission on Mathematical Instruction).3.数学教学理论的研究时期该委员会（ICMI）就数学教育改革提出：(1)在四门数学学科之间建立紧密的联系；(2)在中学数学课程中增加高等数学的基础知识，加强初等数学和高等数学之间的联系；(3)在中学数学课程中加强下列主导思想的作用：o函数在算术和代数中的作用；o运动在几何中的作用；等等.(4)改变教科书中应用题的性质和解法；(5)在数学教学中更广泛地应用探索法；等等.3.数学教学理论的研究时期 苏联：前苏联教材特点：1）贯彻理论联系实际的原则；2）强调函数概念的重要性；3）以先进的教育理论为指导.如基谢辽夫所编教材：《算术》（1884年）、《初等代数》（1888年）、《初等几何》（1892年）.3.数学教学理论的研究时期美国：美国“数学十人委员会”（1882年）提出：(1) 算术问题具体化，删除难题；(2)在几何中，从具体的模型、实体入手，并注意算术、代数、几何之间的关系.特点：难度不大，实用的色彩较重.3.数学教学理论的研究时期▪日本：⏹明治初年：《数学三千题》（尾关正求著）.⏹20世纪初：倡导“新的算术，数学教育方针”.1905年使用国定（黑皮）教科书，包括：⏹《初等几何教科书》（菊池大麓）；⏹《算术学教科书》（藤泽利喜太郎）；⏹《初等代数教科书》（藤泽利喜太郎）.⏹1940年使用“绿皮教科书”（由盐野直道等编）.3.数学教学理论的研究时期⏹中国⏹十九世纪末至二十世纪初使用日本教材，如⏹《近世算术》（上野清）⏹《几何学》（菊池大麓）⏹“五四运动”后使用自编教科书，如：⏹《代数学》（何鲁）⏹《平面几何》（陈建功）⏹《三角学》（李锐夫）⏹抗日战争到全国解放引进西方教材.如：《三S平面几何》、《范氏大代数》、《查里斯密小代数》、《葛氏平面三角》，等.▪新中国成立后学习苏联.3.数学教学理论的研究时期总之，这一时期的世界数学教育改革的主流，先是在德国体现较好，随后在苏联得到发展，其它主要国家则没能达到改革潮流的前沿，但也在不同程度上体现这一改革思想，向着同一方向靠拢.其特点是：由简单的方法研究转到对目的和内容做较全面的探讨.从历史的角度看，可把这个时代叫做“ICMI”时代.4.从二次世界大战结束到现在(1)五十年代的分析批判从数学教育本身看数学教育的弊端（内因）：⏹由于政治、经济、科学等方面的发展，需要大量的科技人员；⏹传统教材明显存在着下列缺点：a.观点落后；b.内容陈旧；c.体系分散；d.计算烦琐；e.方法单调；f.大中学脱节⏹20世纪数学有了革命性的变化；⏹高等学校数学教育的发展.1957年苏联第一颗人造地球卫星上天（外因）.4.从二次世界大战结束到现在(2)六十年代的改革试验1959年9月，美国“全国科学院”在伍兹霍尔开会，研究课程改革的指导思想：A.结构思想；B.早期教育思想；C.重视发现能力培养的思想；D.重视教材的趣味性.1959年11月，欧洲共同市场成员国及美国、加拿大等十七国在法国莱雅蒙开会讨论教育问题，A.新的数学思想；B.新的数学教育思想；C.新的教学手段.4.从二次世界大战结束到现在“新数运动”的产生至少还有以下原因：⏹数学科学本身的发展；数学科学中结构主义思想的出现，使以前的数学思想显得落后了.⏹教育学、心理学的发展.人是可以更早一些去掌握比过去难一些、近代一些的数学知识.4.从二次世界大战结束到现在“新数运动”初期提出的改革目标是：按照现代数学的主要结构来确定和改组中小学数学课程，使准备进入大学的学生对数学科学的理解得以提高.4.从二次世界大战结束到现在⏹美国：SMSG(School Mathematics Study Group)于1958年在耶鲁大学成立；⏹英国：SMP（School Mathematics Project）教材；⏹日本：现代化《中小学数学教学大纲》于1960年左右完成；⏹苏联：1967年完成数学教学大纲的修订，特点：a)取消算术课；b)增加数学理论知识；c)使用具有数学语言和数学思维方法的教材；d)将部分教材内容逐年下放.4.从二次世界大战结束到现在⏹中国：六十年代初，全面执行“调整巩固充实提高”的方针，教育部颁布《全日制中小学数学教学大纲》，确认：⏹精简传统内容，保留基本重要内容.科目定为代数、几何、平面三角、解析几何等分设.⏹适当编入近代科技广泛应用的数学知识，但不单设课；⏹中学数学不能忽视图形基本知识，欧氏几何又是培养逻辑思维的好题材，不宜轻率取消.4.从二次世界大战结束到现在在这场试验中，出现了许多新大纲、新教材、新方法，其特点为：1)结构化——统一化；教材结构：集合→关系→映射→运算→群→环→域→向量空间2)公理化——抽象化；3)现代化——通俗化；4)几何代数化；5)电脑化——离散化；6)传统数学精简化；7)教学方法多样化.4.从二次世界大战结束到现在“新教材”有三新：▪内容新增加了以下内容：▪集合论初步；▪数理逻辑初步；▪贯穿“结构”观点；▪微积分初步；▪概率论和统计初步；▪算法语言和程序设计初步.新处理例1 把集合的思想应用于解ax=b 的方程.令M表示在有理数域Q内满足ax=b的一切x的集合.解的过程可用下面的框图表示：M=?a=0?b=0?M=Q M=M=Φba⎧⎫⎨⎬⎩⎭N YN Y例2解方程(x+3)×2+5=21解：用图解如下：[][][][]32521+⨯+−−→−−→−−→[][][][]3253(3)221x x x +⨯+−−→+−−→+⨯−−→[][][][]32521-÷-←−−←−−←−−[][][][]325581621-÷-←−−←−−←−−5x ∴=例3 已知AB⊥BC，(AC) ∩(BC)={C}，C≠B.求证：AC>AB.证明：作点A关于BC的对称点A’，并连A’B、A’C.由轴对称的性质知AB=A’B，AC=A’C ABA’共线.在△ACA’中，AC+A’C>AA’=AB+A’B 从而2AC>2AB即AC>AB.A' CAB例4 已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=½BC.证明：,AD AE ED AB AC CB-=-= 2,2AB AD AC AE == 而11,22AB AC ED -= 所以12ED CB = 所以，1//,.2DE BC DE BC =即且AED B C现在让我们用两个不同方程作为一个很简单的例子，它们有明显类似的形式（选自《统一的现代数学》第二册第一分册）.3x =121×x =4x =4解集=｛4｝3+x =12(-3)+(3+x )=(-3)+12((-3)+3)+x =90+x =9x =9解集=｛9｝11(3)1233x =⨯1(3)43x ⨯=4.从二次世界大战结束到现在▪新体系▪强调结构与统一；▪基本上保留传统体系，加进现代内容；▪“中间型”4.从二次世界大战结束到现在(3)七十年代的回归调整.▪反对意见：科学与就业；具体与抽象；归纳与演绎；理论与实际；传统与现代.4.从二次世界大战结束到现在▪“新数运动”是历史发展的必然.▪“新数运动”受挫，而不是失败.▪试验；▪培训教师，甚至要培训家长；▪教学改革只能是渐变，而不能搞突变；▪处理好现代化与传统的关系.4.从二次世界大战结束到现在⏹“回归调整”的趋势：“回到基础”；强调数学的应用；“恢复几何”；肯定和加强概率、统计；提倡“趣味数学”；减少集合运算和逻辑；强调从学的角度设计课程；不再只对少数尖子学生.4.从二次世界大战结束到现在(4)八十年代的深入探索.▪日本：1981年开始实施“留有余地”的教学大纲，教育方针是：▪建设有特色的学校；▪发展个性教育；▪留有余地的、轻松愉快的学校生活；▪重视劳动的体验.4.从二次世界大战结束到现在 苏联：八十年代初除了“回到基谢辽夫”外，还要“进一步现代化”.数学教育现代化，“首先是教学的思想接近于现代数学，即把中学数学教学建立在现代数学的思想基础上，并且使用现代数学的方法和语言”（斯托利亚尔：《数学教育学》（前苏联））4.从二次世界大战结束到现在 美国：主张“追求实际目标”.NCTM(National Council of Teachers of Mathematics)提出：八十年代数学教学的主要目的是培养和提高学生解决问题的能力.包括解数学题，解决实际问题，解决未来职业中常用问题的能力.数学能力除了逻辑推理、计算、空间想象能力外，还应包括利用数学情报，使用计算机语言的能力.4.从二次世界大战结束到现在第四届国际数学教育会议（ICME No.Ⅳ：International Congress on Mathematical Education，1980年，美国，伯克利）对“新数运动”的评价：不足：增加的现代数学的内容、分量过重；只强调理解，忽视必要的基本技能训练；只面向成绩好的学生；对教师培训注意不够.。