考研数学高数习题—微分中值定理演示教学

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模块六 微分中值定理

1、 在区间[]1,1-上，判断下列函数是否满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的条件，并说明理由。

（1）()f x x = （2）,11()1,1x x f x x -≤<⎧=⎨-=⎩

（3）,01()1,10x e x f x x x ⎧≤≤=⎨+-≤<⎩ （4）32,01(),10

x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩ 2、假设()f x 为定义在R 上的可导函数，判断下列函数中一定在区间[]1,1-上满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的有哪些，并说明理由。

（1）()1()g x f x = （2）()()2

2

g x f x = （3）()33()g x f x = （4）()4()cos g x f x =

3、假设()f x 可导并且在0x x =处取极值，证明：0'()0f x =。

4、假设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，且()()f a f b =，证明：(),a b ξ∃∈，使得()'0f ξ=。

5、假设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，且()(0)0,11f f ==，证明：()0,1ξ∃∈，使得()'1f ξ=。

6、假设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，证明：(),a b ξ∃∈，使得()()()'f b f a f b a

ξ-=-。

7、不用求出函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，说明方程

'()0f x =的实根

个数并指明它们所在的区间。

提示：n 次多项式至多有n 个不同的实根。 8、设()f x 为定义在R 上的可导函数，且满足'()0,R f x x ≠∈，证明：()0f x =至多有一个实根。

9、若函数()f x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()f a f c f b ==，其中a c b <<，证明：(),a b ξ∃∈，使得()''0f ξ=。

10、（1）假设b a >，证明：()()a b a b e b a e e e b a -<-<-；

（2）证明：arctan arctan b a b a -≤-。

11、证明恒等式：arctan arctan 2x x e e π

-+=。

参考答案

1、（1）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f x 在0x =处不可导。

（2）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。()f x 在1x =处非左连续。

（3）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，但满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f x 在[]1,1-上连续，在()1,1-上可导，但(1)(1)f f -≠。

（4）()f x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为()f x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，并且()()11f f -=。

2、 （1）1()g x 在区间[]1,1-上不一定满足罗尔定理的条件，也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f x 在0x =处不一定可导。

（2）2()g x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为2()g x 在

区间[]1,1-上连续，在区间()

1,1-上可导，并且()()2211g g -=。 （3）3()g x 在区间[]1,1-上不一定满足罗尔定理的条件，但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为3()g x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，但()3(1)1g f -=-和()3(1)1g f =不一定相等。

（4）4()g x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为4()g x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，并且

()()

4411g g -=。 3、反证法 假设0'()0f x a =>，0,δ∃>使得()0,o

x U x δ∀∈有()()000f x f x x x ->-， ()00,x x x δ∀∈+有()()0f x f x >

()00,x x x δ∀∈-有()()0f x f x <，

由此可知0x x =不是()f x 的极值点，与题中已知矛盾，同理可证0'()0f x a =<的情况，综上可知0'()0f x =

4、罗尔定理的证明；运用费马引理证明。

5、提示：对()()g x f x x =-运用罗尔定理。

证明：()f x 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，由拉格朗日中值定理可知，必()0,1ξ∃∈，使得()()()10'110

f f f ξ-==-。 6、拉格朗日中值定理的证明，运用罗尔定理。

7、有三个实根，分别在区间()1,2、()2,3及()3,4。

8、提示：反证，假设()0f x =有两个不同实根，再对()f x 运用罗尔定理。

证明：假设()0f x =有两个不同实根,a b ，则有()()0f a f b ==，又由()f x 为定义在R 上的可导函数知()f x 在R 上连续，故由罗尔中值定理可知，必存在一点(),a b ξ∈使得()0f ξ'=，与'()0,R f x x ≠∈矛盾，故假设不成立，即()0f x =至多有一个实根。

9、提示：分别在区间[],a c 和[],c b 上运用一次罗尔定理，然后再[],b a 上再运用一次罗尔中值定理。

证明：由函数()f x 在[],a b 上具有二阶导数，可知(),()f x f x '在[],a b 上连续、(),a b 上可导，且()()()f a f c f b ==，由罗尔中值定理可知，至少存在一个(),a c α∈使得()0f α'=，至少存在一个(),c b β∈使得()0f β'=，故()()0f f αβ''==，再由罗尔中值定理可知至少存在一个(),ξαβ∈使得()0f ξ'=，综上可知：(),a b ξ∃∈，使得()''0f ξ=。

10、（1）提示：对b a

e e -运用拉格朗日中值定理；

证明：构建辅助函数()(),,x f x e x a b =∈，由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 上可导，通过拉格朗日中值定理可知，必存在一个(),a b ξ∈使得()b a

e e

f b a

ξ-'=-，又