函数极限ppt课件
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函数极限教学课件
利用函数极限解决实际问题
总结词
利用函数极限解决实际问题是一种实用的方法，通过将实际问题转化为数学模型，利用 函数极限进行分析和求解。
详细描述
在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后利用函数极限进行分析和求 解。这种方法可以帮助我们更好地理解问题的本质，并且可以提供更加精确和可靠的解 决方案。例如，在经济学、物理学和社会科学等领域中，可以利用函数极限解决一些实
极限存在准则
04
无穷小与无穷大
学生常见问题解答
问题
如何判断一个函数在某点的极限是否存在？
问题
如何求函数的极限？
解答
可以通过定义法、四则运算法或存在准则来判断 。如果函数在某点的左右极限相等，则该点处的 极限存在；如果函数在某点的左右极限不相等， 则该点处的极限不存在。
解答
可以通过直接代入法、四则运算法、无穷小代换 法、洛必达法则等方法来求函数的极限。具体方 法应根据不同情况进行选择。
lim (x→x₀) f(x) = L 表示当 x 趋近于 x₀ 时，f(x) 趋近于 L。
函数极限的性质
唯一性
一个函数的极限值是唯 一的。
有界性
有界函数的极限值必定 在函数的定义域内。
局部有界性
在某点的邻域内有界， 则该点的极限存在。
局部保号性
在某点的邻域内函数值 的符号保持不变，则该
点的极限存在。
下一步学习建议
01
02
03
04
学习下一章：连续函数 与间断点
掌握连续函数的定义、 性质和判断方法
学习间断点的分类和判 断方法
理解函数在间断点处的 极限和连续性的关系
THANKS
感谢观看
利用函数极限求函数的值
《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
函数的极限-课件
函数的极限-PPT课件
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
函数极限运算法则课件
于该点的纵坐标。
函数极限的性 质
唯一性
一个函数的极限值是唯一的。
有界性
函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定有界。
局部保号性
如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，则在x0的 某个邻域内，f(x)>0。
函数极限的存在性
函数极限存在定理
如果对于任意ε>0，存在δ>0，当|x−x0|<δ时， |f(x)−A|<ε，则lim(x→x0)f(x)=A。
对未来学习的展望
学习更复杂的极限问题
在掌握了基本的函数极限运算法则后，可以进一步学习更复杂的极限问题，例如，无穷大与无穷小的 关系、洛必达法则等。
实际应用
函数极限运算法则不仅在数学中有广泛的应用，也可以应用于实际问题的解决中，例如，金融、物理 等领域的问题。通过深入学习函数极限运算法则，可以更好地理解和应用这些知识。
存在性二
若函数$f(x)$在点$a$处的极限不存在，且函数$g(x)$在点$a$处的值域不包含 常数$L$，则复合函数$f(g(x))$在点$a$处的极限不存在。
04
函数极限的应用
利用函数极限求函数 值
总结词
利用函数极限的性质，通过已知的函数极限值来求解未知的 函数值。
详细描述
在数学分析中，函数极限的性质是重要的工具。通过利用函 数极限的性质，我们可以求解一些未知的函数值。例如，如 果已知函数在某点的极限值，我们可以利用这个极限值来求 解该点处的函数值。
函数极限运算法则课 件
xx年xx月xx日
目录
01
函数极限的基本概念
函数极限的定 义
函数极限的定义
函数在某点的极限是指当自变量趋近于该 点时，函数值的趋近值。
函数极限的性 质
唯一性
一个函数的极限值是唯一的。
有界性
函数在某点的极限存在时，该点的函数值必定有界。
局部保号性
如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，则在x0的 某个邻域内，f(x)>0。
函数极限的存在性
函数极限存在定理
如果对于任意ε>0，存在δ>0，当|x−x0|<δ时， |f(x)−A|<ε，则lim(x→x0)f(x)=A。
对未来学习的展望
学习更复杂的极限问题
在掌握了基本的函数极限运算法则后，可以进一步学习更复杂的极限问题，例如，无穷大与无穷小的 关系、洛必达法则等。
实际应用
函数极限运算法则不仅在数学中有广泛的应用，也可以应用于实际问题的解决中，例如，金融、物理 等领域的问题。通过深入学习函数极限运算法则，可以更好地理解和应用这些知识。
存在性二
若函数$f(x)$在点$a$处的极限不存在，且函数$g(x)$在点$a$处的值域不包含 常数$L$，则复合函数$f(g(x))$在点$a$处的极限不存在。
04
函数极限的应用
利用函数极限求函数 值
总结词
利用函数极限的性质，通过已知的函数极限值来求解未知的 函数值。
详细描述
在数学分析中，函数极限的性质是重要的工具。通过利用函 数极限的性质，我们可以求解一些未知的函数值。例如，如 果已知函数在某点的极限值，我们可以利用这个极限值来求 解该点处的函数值。
函数极限运算法则课 件
xx年xx月xx日
目录
01
函数极限的基本概念
函数极限的定 义
函数极限的定义
函数在某点的极限是指当自变量趋近于该 点时，函数值的趋近值。
函数的极限PPT课件
详细描述
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，
函数极限ppt课件
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
2
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❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限(1)可编辑全文
1 x2
1 x02 ( | x0 | 1 ).
证 因为
1 x2
1 x02
| x x0 || x x0 | 1 x2 1 x02
则 0, 取
2|
x
x0
| ,
1 x02 , 2
1 x02
当 0 | x x0 |
时，
|
1 x2
1
x02
|
2 | x x0 1 x02
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
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定义1 设 f 为定义在 a, 上的一个函数 . A 为
定数, 若对于任意正数 0，存在 M( a)，使得
当x M 时,
f (x) A ,
则称函数 f ( x) 当 x 趋于 时以 A 为极限. 记为
lim f ( x) A 或者 f ( x) A ( x ).
x
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当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim ex 0.
x
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例4
求证
lim
x
1
1 x
2
0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 x M 时, 有
1 1 x2
函数的极限定义及性质(共9张PPT)
两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如， f ( x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
函数的极限定义及性质
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
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证明 因为e >0 d e 当0|x-1|d 时 有
|f
(x)-A|
|
x2 -1 x -1
-
2|
|x-1|e
所
以
lim
x1
x2 -1 x -1
2
分析
否有当极注e限意x>并函10时无数要关在使|f系x(|xf()1x-是)A-A|没|<|有xex2-定-只11义-要2的||x-|x1但-|1这e| 与函数在该点是
有|f(x)-A|<e
例例11 证 明 lim c c x x0 证明 因为e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有
|f(x)-A||c-c|0e
所 以 lim c c x x0
分析: |f(x)-A||c-c|0.
e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有|f(x)-A|e
§2.2 函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数的极限的性质
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一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的的通俗定义
如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近
于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作
lim
x x0
f(x)A
有|f(x)-A|<e
函数极限的几何意义
e >0:
d >0:
当0|x-x0|d 时 |f(x)-A|e :
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例例22
证明
lim
x x0
x
x0
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
1 x0
x - x0 .
要使 f (x) - A e ,只要 x - x0 x0e.
同时用x - x0 x0保证x 0.
取d min{ x0, x0e},当0 x - x0 d ,有 x - x0 e成立。
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
5
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
单侧极限
若当xx0-时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0-
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x ) A 或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
0
0 | x - x0 | d称为x0的去心邻域,记为U (x0,d ).
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
所以
lim x
x x0
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
对e 0,取d min{ e ,1},当0 x - 2 d时,有 x2 - 4 e.
f
(x)
A
或f(x0-)A, f(x0-0)A.
lim
x x0-
f
(x)
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例5
当x0
0时，lim x x0
x
x0 .
证明 e 0，因为
f (x) - A
x - x0
x - x0 x + x0
例例33 证 明 lim (2 x -1) 1
x1
证明 因为e 0 de /2 当0|பைடு நூலகம்-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2 x -1) 1
x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例例44 证 明 lim x 2 -1 2 x1 x -1
或
f(x) A(当
x
x0
)
分析:
当xx0时 f(x)A
当|x-x0|0时 |f(x)-A|0
当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e
任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e
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函数极限的精确定义
|f
(x)-A|
|
x2 -1 x -1
-
2|
|x-1|e
所
以
lim
x1
x2 -1 x -1
2
分析
否有当极注e限意x>并函10时无数要关在使|f系x(|xf()1x-是)A-A|没|<|有xex2-定-只11义-要2的||x-|x1但-|1这e| 与函数在该点是
有|f(x)-A|<e
例例11 证 明 lim c c x x0 证明 因为e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有
|f(x)-A||c-c|0e
所 以 lim c c x x0
分析: |f(x)-A||c-c|0.
e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有|f(x)-A|e
§2.2 函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数的极限的性质
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一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的的通俗定义
如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近
于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作
lim
x x0
f(x)A
有|f(x)-A|<e
函数极限的几何意义
e >0:
d >0:
当0|x-x0|d 时 |f(x)-A|e :
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例例22
证明
lim
x x0
x
x0
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
1 x0
x - x0 .
要使 f (x) - A e ,只要 x - x0 x0e.
同时用x - x0 x0保证x 0.
取d min{ x0, x0e},当0 x - x0 d ,有 x - x0 e成立。
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x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
单侧极限
若当xx0-时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0-
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x ) A 或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
0
0 | x - x0 | d称为x0的去心邻域,记为U (x0,d ).
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x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
所以
lim x
x x0
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
对e 0,取d min{ e ,1},当0 x - 2 d时,有 x2 - 4 e.
f
(x)
A
或f(x0-)A, f(x0-0)A.
lim
x x0-
f
(x)
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例5
当x0
0时，lim x x0
x
x0 .
证明 e 0，因为
f (x) - A
x - x0
x - x0 x + x0
例例33 证 明 lim (2 x -1) 1
x1
证明 因为e 0 de /2 当0|பைடு நூலகம்-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2 x -1) 1
x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例例44 证 明 lim x 2 -1 2 x1 x -1
或
f(x) A(当
x
x0
)
分析:
当xx0时 f(x)A
当|x-x0|0时 |f(x)-A|0
当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e
任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e
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函数极限的精确定义