函数极限ppt课件

x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x ) A 或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e

0
0 | x - x0 | d称为x0的去心邻域,记为U (x0,d ).
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x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
证明 因为e >0 d e 当0|x-1|d 时 有
|f
(x)-A|
|
x2 -1 x -1
-
2|
|x-1|e

所
以
lim
x1
x2 -1 x -1

2

分析
否有当极注e限意x>并函10时无数要关在使|f系x(|xf()1x-是)A-A|没|<|有xex2-定-只11义-要2的||x-|x1但-|1这e| 与函数在该点是
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e

例5
当x0
0时，lim x x0
x
x0 .
证明 e 0，因为
f (x) - A
x - x0
x - x0 x + x0
或
f(x) A(当
x
x0
)
分析:
当xx0时 f(x)A
当|x-x0|0时 |f(x)-A|0
当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e
任给e 0 存在d 0 使当|x-x0|d 时 有|f(x)-A|e
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函数极限的精确定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e

例例44 证 明 lim x 2 -1 2 x1 x -1
有|f(x)-A|<e

函数极限的几何意义
e >0:
d >0:
当0|x-x0|d 时 |f(x)-A|e :
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d

例例33 证 明 lim (2 x -1) 1
x1
证明 因为e 0 de /2 当0|x-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2 x -1) 1
x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
所以
lim x
x x0
x0

分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e

例例22
证明
lim
x x0
x

x0

证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
5
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e

单侧极限
若当xx0-时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫 做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0-
有|f(x)-A|<e

例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
对e 0,取d min{ e ,1},当0 x - 2 d时,有 x2 - 4 e.
有|f(x)-A|<e

例例11 证 明 lim c c x x0 证明 因为e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有
|f(x)-A||c-c|0e
所 以 lim c c x x0
分析: |f(x)-A||c-c|0.
e>0 d>0 当0|x-x0|d 时 都有|f(x)-A|e
§2.2 函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数的极限的性质
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一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的的通俗定义
如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近
于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作
lim
x x0
f(x)A
1 x0
x - x0 .
要使 f (x) - A e ,只要 x - x0 x0e.
同时用x - x0 x0保证x 0.
取d min{ x0, x0e},当0 x - x0 d ,有 x - x0 e成立。
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lim
x x0
f(x ) A 或fe(>x )0 Ad(>x0 当x 0)。0<|x-x0|<d
f
(x)
A
或f(x0-)A, f(x0-0)A.
lim
x x0-
f
(x)