信号系统第三章

d [δ (ω )]9 FT (t ) = 2π ( j ) n dω
n n
n
f (t ) = sgn( t ) =
三.sgn(t)的傅立叶变换 +1 t>0
e
− at
f (t )
1
−1
f2 (t)
f 2 (t ) =
.....t > 0
-1 t<0
1
∞ − ( a + jω ) t
t
e − at u (t )
– 幅频 – 相频
F (ω ) = 1
ω ϕ (ω ) = −arctg ( ) α
α 2 +ω2
2
f ( t ) = e − αt u ( t )
0
F (ω )
α
1
t
ϕ (ω )
π
2
1 2α
3α
ω
ω
−π 2
3
∗双边指数信号的频谱
f (t ) = e
o −∞
−α t
αt
− j ωt
(−∞ < t < +∞)
F (jω)
jI
t R
0
ω0
1 ± jω 0 t e 2π
ω
e ± jω 0t ↔ 2πδ (ω ω 0 )
F −1 [δ (ω ω 0 ] =
−1
1 FF [δ (ω ω 0 )] = F [ e ± jω 0 t ] 2π ∴ F [e ± jωt ] = 2πFF −1 [δ (ω ω 0 )] = 2πδ (ω ω 0 )
F (jω) 的单位则是(伏特/赫,安培/赫)
Fn 代表的是信号的功率分配, 而 F ( jω ) 代表了信号的能量分布.
27
∗ FS和FT表示举例
f(t)
级数系数
频谱密度函数F(ω)
直流E
Ecosω0t
F0 = E
2πEδ(ω)
E 2
Fn = F−n =
πE[δ(ω + ω0 ) + δ(ω − ω0 )]
�f d� � f � ( � t � ) 连续、 不连续 �t d�
� 0
� 2t � τ �< � t �( ) � ) τ � 2
4π 8 � � π τ τ
ω
� t ≥0 �
F� � ( ω) � =
� � �( F � ω) � 与ω2 大致成反比5
Eτ � � ωτ 2 �a S� � ) ( � � 2 � 4
§3.5 典型非周期信号的频谱 单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 钟形脉冲信号 升余弦脉冲信号
1
∗ .单边指数信号的频谱
e −αt (t ≥ 0) f (t ) = 信号表达式 (t < 0) 0 ∞ 1 - α t − jω t F(ω) = ∫−∞ e e dt = (α > 0) α + jω
1 sin ω1t = (e jωt1 + e − jω1t ) 2j
sin ω1t ↔ jπ [δ (ω + ω1 ) − δ (ω − ω1 )]
16
3.一般周期信号的傅立叶变换
f (t ) =
e
jω1t
↔ 2πδ (ω − ω1 )
n = −∞
n = −∞
∑F e
n
∞
∞
jnω1t
F [ f (t )] =
− e .....t < 0
at
F2 ( jω ) = − ∫ e
0
( a − jω ) t
F ( jω ) = lim F2 ( jω )
− j 2ω 2 = lim 2 = 2 jω a →0 a + ω
a →0
− j 2ω = 2 2 a +ω
−∞
dt + ∫ e
0
dt
−e u (−t )
nω1 τ = Eτω1 ∑ Sa ( )δ(ω − nω1 ) 2 令: n = −∞ 2π 2π 1 1 = = 8π τ= 秒 T1 = s ω 1 = 21 4 T1 0.25 20
∞
F ( jω ) = 2π ∑ Fnδ (ω − nω1 )
n = −∞
Eτ f (t ) = T1
nω1τ jnω1t )e Sa ( ∑ 2 n = −∞
∞
∞
F ( jω )
8π
1 5
− 40π
40π
nω 0
周期信号的频谱 密度 F ( jω )
22
4.周期矩形脉冲的FS和FT
E
周 − 2 期 重 复
τ
f 0 (t )
�� ω� τE �τ
FT
t
0 τ
2
−
π � τ
� π
ω
τ
Fn
Fn
Eτ
f (t )
E
FS
π − 2 τ
2π τ
nω
F (ω )
t
− T1 T1
2
)
f (t )
0
τ
t
−
F (ω )
2
τ
2
0
2π 2π
τ
τ
ω
11
τ ωτ F [ E ] = lim EτSa ( ) = 2πE lim sa ( ) 2 2 τ →∞ τ →∞ 2π
ωτ
P17.1-35
δ (t ) = lim [
k →∞
k
π
sa ( kt )]
f (t )
F [ E ] = 2πEδ (ω )
29
傅立叶变换的唯一性 由 F [ f1 (t )] = F [ f 2 (t )] = F ( jω ) 则
f1 (t ) = f 2 (t )
反之,由
F [ F1 ( jω )] = F [ F2 ( jω )] = f (t )
−1 −1
则
F1 (ω ) = F2 (ω )
30
给出简短证明如下：
jnω1t ⋅ F e ∑ n
∞
1 = T1
n = −∞
jnω1t e ∑
∞
1 FT [ f (t )] = 2π T1
n = −∞
∑ δ (ω − nω )
1
∞
F (ω ) = FT [δ T (t )] = ω1 ∑ δ (ω − nω1 )
n = −∞
19
∞
δ (t )
(1)
F0 (ω )
1
F (ω ) τE Aτ
118面
E
Eτ 2
4π − τ 4π τ
6π
ω
升 余 弦
τ － 2
τ 2
t
τ
E 2πt τ [1 + cos( )] t < τ 2 f(t) = 2 τ 0 t ≥ 2
ωτ Sa ( ) Eτ 2 F(ω) = 2 1 − ( ωτ ) 2 2π
df f(t)、 连续 dt d2 f 不连续 2 dt
31
1 f1 (t ) = 2π
∞
∞
−∞ −∞
∫[ ∫ e
∞
jω ( t −τ )
dω ] f 2 (τ )dτ
= ∫ δ (t − τ ) f 2 (τ )dτ = f 2 (t )
=π
∑ F F [e
n
jnω1t
] = 2π ∑ Fn δ(ω − nω1 )
n = −∞
∞
n = −∞
∑ C δ (ω − nω )
n 1
∞
1 Fn = F0 ( jω) ω= nω1 T
P146
17
P148.例3－10
•周期单位冲激序列的FS
δ T (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT ) = ∑ F ⋅ e
1 2π
∞
−∞
j ωt e dω = δ ( ω ω ) 0 ∫
e
± jω 0 t
ω= 0
= 1 ↔ 2πδ(ω)
15
2.F [cos ω1t ]和F [sin ω1t ]
1 jω1t − jω1t cos ω1t = (e + e ) 2
cos ω1t ↔ π [δ (ω + ω1 ) + δ (ω − ω1 )]
一般周期信号的傅立叶变换 傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶 变换FT的关系 正余弦信号的傅立叶变换FT 复指数信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的FS和 FT 周期矩形脉冲的FS和FT 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
14
1.无穷期指数函数 e
± jω 0 t
的傅立叶变换
∞
25
6. 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
• 单脉冲的频谱 F0 (ω ) 是连续谱，它的大小 是有限值； • 周期信号的谱 F (ω ) 是离散谱，含谱密度 概念，它的大小用冲激表示； • F0 (ω ) 是 F (ω ) 的包络的 1ω 。
1
26
物理意义不同,前者是单个复简谐波成 份的复振幅,而后者是单位带宽内所有 复简谐波成分的和的复振幅值。 单位不同, Fn的单位是伏特或安培,而
FTFra Baidu bibliotek
−
�� ω� τE �τ
π � τ
� π
ω
τ
23
5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
1 Fn = T1
∫
T1
2 2
T − 1
f (t ) ⋅ e
2
− jnω1t
dt
F0 (ω ) = ∫ T1 f 0 (t ) ⋅ e
−
2
T 1
− j ωt
dt
1 Fn = F0 (ω ) T1
ω = nω1
24
F [1] = 2πδ (ω )
0
E
2πEδ(ω)
t
ω
0
12
五. u(t)的傅立叶变换 1 F [u (t )] = [1 + sgn( t )] 2 1 F ( jω ) = πδ (ω ) + jω
u (t )
t
1 sgn( t ) 2
t
0
ω
1 2
t
13
P169.3-30
§3.9 周期信号的傅立叶变换
1 n = −∞ n
∞
∞
jnω1t
1 Fn = T1
∫
T1 2
T1 −2
δ T (t ) ⋅ e
− jnω1t
1 dt = T1
1 ∞ jnω1t δ T (t ) = ∑ e T1 n = −∞
18
•周期单位冲激序列的FT
δ T (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT ) =
∞
n = −∞
ωτ F0 (ω ) = EτSa 2
由单脉冲联想FS的Fn
Eτ nω1τ 1 Fn = F0 (ω ) ω = nω1 = Sa( ) T1 T1 2
FS
Eτ f (t ) = T1
nωτ 1 jnω1τ Sa ⋅e ∑ 2 n = −∞
∞
FT
nω1τ F (ω ) = Eτω1 ∑ Sa δ (ω − nω1 ) 2 1 n = −∞
−
2π
2π
ω
τ
τ
f� (� )不连续 � t
f� (� ) � t
�( F � ω) � 与ω大致成反比
Eτ � � 2 τ � 2
ωτ �(� F � j ω) � =E �τ ⋅�a S� � ) ( � � 2
三 角 形
τ － � 2
� t
� f � ( � t � ) =
�( E − � � 1
dt + ∫ e
0 ∞ −αt
F (ω ) = ∫ e e 2α = 2 α +ω2
e
− j ωt
dt
ϕ (ω ) = 0
4
波形
� p� 3 8 ,附录三 0 �
f (t )
� E A
F (ω ) τE A � τ
t
矩 形
−
τ
2
τ
2
�，� � � � �� � |� � t |� ≤ τ/ � � 2 E � f � ( � t �= ) � ，� � � � �� � |� � t |� > τ/ � � 2 0
F (ω)与ω 大致成反比
3
6
§3.6冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换
不满足∫ | f ( t ) | dt绝对可积分条件
−∞
∞
但傅里叶变换仍存在。
7
一.冲激函数的频谱
F [δ (t )] =
δ (t )
1
0
∞ − j ωt − jω 0 t e dt δ ( ) =e =1 ∫
−∞
F ( jω )
at
0
−1
t
F ( jω ) =
2
F (ω)
ω
π − ....ω > 0 2 π ....ω < 0 2
ω
10
φ ( jω ) =
四.常数的傅立叶变换
f ( t ) = E的傅里叶变换用门函数G τ ( t )在τ → ∞
时傅里叶变换的极限来求得。
EGτ (t ) ↔ Eτ τ sa (
1
−τ
ωτ
t
0
jω
8
二.冲激偶函数的傅立叶变换
FT [δ (t )] = 1
d [δ (t ) dt
δ (t ) =
1 2π
∫
∞
−∞
e j ω t dω
jω t
]=
1 2π
∫
∞
−∞
( jω ) e
dω
d FT δ (t ) = jω dt
dn FT n δ (t ) = ( jω ) n dt
1 f1 (t ) = 2π 1 = 2π
∞ ∞ ∞ −∞
∫ F ( jω ) e
− jωτ
j ωt
dω
j ωt
−∞ −∞
∫ [ ∫ f 2 (t )e
∞ −∞
dτ ]e
dω 交换积分顺序
1 δ (t ) = 2π 1 ∴ 2π
∞
∫e
j ωt
dω
−∞
∫e
jω ( t −τ )
dω = δ (t − τ )
Esinω0t
Fn = F−n =
E 2
jπE[δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )]
28
∗ 从级数到变换式带来的好处 (小结)
傅里叶变换把周期信号与非周期信号的频谱 分析统一起来了。 把研究工作的注意力集中与单脉冲波形的频 谱分析,尤其适用于数字通信系统。 傅里叶变换可以对奇异信号进行频谱分析。 傅里叶变换性质的应用构成了当代通信、信 号处理技术的理论核心。
0
t
FS
0
1 T1
ω
δ T (t )
t
FT
Fn
ω1 2ω1 ω
T1
− ω1
0
F (ω )
ω1
− 2ω1 − ω1 0
ω1 2ω1
ω
20
ωτ F0 ( jω) = EτSa ( ) → 单个矩形脉冲的变换 2
1 Fn = F0 ( jω ) T1
nω1
(p148,例题3-11)
Eτ nω1τ Sa ( = ) T1 2