基本初等函数的导数公式的推导过程
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
个基本初等函数的导数公式
个基本初等函数的导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数的变化率。
在微积分中，有多种基本初等函数，每种函数都有其特定的导数公式。
下面我将介绍一些常见的基本初等函数及其导数公式。
一、幂函数：幂函数是一个形如f(x)=x^n的函数，其中n是一个常数。
幂函数的导数公式为：f'(x)=n*x^(n-1)。
例如：当n=1时，f(x)=x，导数为f'(x)=1当n=2时，f(x)=x^2，导数为f'(x)=2*x。
当n=3时，f(x)=x^3，导数为f'(x)=3*x^2二、指数函数：指数函数是一个形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。
例如：当a=e(自然对数的底数)时，f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
当 a = 2 时，f(x) = 2^x，导数为 f'(x) = 2^x * ln(2)。
三、对数函数：对数函数是指以一些特定的底数为底的函数，形如 y = log_a(x)，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数。
对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如：当 a = e 时，f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1 / x。
当 a = 10 时，f(x) = log_10(x)，导数为 f'(x) = 1 / (x *ln(10))。
四、三角函数：常见的三角函数有正弦函数 (sin(x))、余弦函数 (cos(x))、正切函数 (tan(x))。
三角函数的导数公式如下：sin(x) 的导数为 cos(x)。
cos(x) 的导数为 -sin(x)。
tan(x) 的导数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为 secant 函数。
五、反三角函数：反三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数。
导数的基本公式14个推导
导数的基本公式14个推导导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式有14个，它们可以通过推导得出。
在本文中，我们将简要介绍这些基本公式。
1. 常数函数的导数：对于任何常数c，常数函数f(x) = c的导数为0。
这是因为常数函数的斜率为零，即在任何点上它的变化率都为零。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n（其中n是常数），它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这可以通过使用极限和基本的代数运算法则来推导。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x) = e^x的导数为f'(x) = e^x。
这个公式的推导中需要使用指数函数的定义和一些性质。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) =1/x。
这个公式可以通过使用指数函数的导数和链式法则来推导。
5. 三角函数的导数：三角函数（包括正弦、余弦和正切函数）的导数可按照以下规律推导得出：- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
其中sec(x)表示secant函数，它是余弦函数的倒数。
6. 反三角函数的导数：反三角函数是三角函数的反函数，其导数可以按照以下规律推导得出：- 反正弦函数f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数f(x) = arctan(x)的导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
7. 基本初等函数的求导规则：基本初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次的四则运算和复合运算（即求导运算）得到的函数。
基本导数四则运算法则与求导公式
基本导数四则运算法则与求导公式。
由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。
（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。
（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。
（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。
（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。
直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。
从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。
我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。
由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程、幂函数f x Q* ）的导数公式推导过程命题若 f X x （ C*），则 f推导过程f x x f x limx 0x x x lim0xX0 11 2C x C x x C x lim0xX0 11 2 22C x x C x x C x x L C x lim0xXC1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x limx 01 1 2lim C x C xx 0C1x 11x所以原命题得证.、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程sin x limx 0 x sin x推导过程f xsin xcos x cosxsin x sin x lim x 0cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0cosxsin x sinx cos x 1所以f lim cos x 0cosx sinx 1 2sin 2丄2lim x 0 2sin * x cosxcos-^2 22sin xsin2」2l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」2 2 2l l m0x 2sin cos2l l m0 cosx sin 20 时，sin2 2，所以此时x sin -2三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程cos x lim x 0x cosx l I m 0 l i m 0 2sin宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2l i m 0 2sin »sinx sin - 2l i m o sinsin xsin x四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程推导过程f xf x x limx 0cosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosxcos x cosx sinxsin x limx 0 cosx cos x 1 sinxsin x2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 21，则 a x t 1，即x log a.且当x 0时，aU mt lOg a t 1lim t 01^lOg a t 1U m1 lOg a t 1「若 f x a x( a >0,且 a 1)，贝U f x a x lna .f x x limx 0xx x x a a limx 0 xx x x a a a limx 0limx I0 .所以原极限可以表示为:1又因为lim t 1 e,所以t 01log a ex ln a a -lne a x ln a五、对数函数f x log a x ( a >0，且a 1 , x >0)的导数公式推导过程命题1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 )，贝U f x ----------------------------------x l n a 推导过程 f xf x x f x limx 0lim log a 1t 0x1又因为呵1 t ： e ，所以1 , 1 lne 1lo g a e lim x 0log a X x xlog a x1 x xlim log a x 0x x1 1 x xlim xlog a x 0 x x x1 x x x lim — log ax 0 x x x1 x ,x x lim logx 0x x x x1 x x X lim log a x 0x xx1 x Xlim log a 1x 0 x x令t x 且当 x 0 时，t xf x0 •所以原极限可以表示为:x x ln a xln a 所以原命题得证.limx 0limx 0。
导数公式
求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。
★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。
2.3 计算导数
(2) x=xo.
解 ⑵△y =(0 + ∆) − (0 )=
∆
∆
=
当∆趋于0时，得到导数
′( ) =
学而优 · 教有方
+ ( + ∆) −
2∆
−
+
+ ∆
=
∆
lim
∆→ ∆
2
+∆
=
2
(
+ )
∆.
2
−
+1.
+ ∆
=
−2
1+∆
2
(
1
+ 1) =
−2∆
1+∆
+1.
当∆趋于0时，得到导数
′(1) =
学而优 · 教有方
∆
lim
∆→ ∆
=
−
lim (
∆→ +∆
+ )= -1.
+ ∆.
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
2
例2 求函数y=f(x)= + x在下列各点处的导数:
(1) x=l；
GAOZHONGSHUXUE
素养要求
1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养．
2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推
理等核心素养.
学而优 · 教有方
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
探究导学
探究点1 计算函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤
例1 已知一个运动物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关
B.-
，则 f'
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln =',(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)(3) v u v u uv '+'=')((4) 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导,且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =g或()()y f u x ϕ'''=g２、 双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.可以推出下表列出的公式:在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式(1)(C)' = o(2)（时）'=小妇(3) (sinx)' = cosx(4) (cosx)' = -sinx⑸(tan x)9 = sec 2 x (6)(cot xY = -esc 2 X (7) (secx)' = sec x tan x(8) (cscx)' = -cscxcotx⑼{a x Y = a x In a(10) (e x r = e v（log“x）一 .(lnx)z =—(11)x In a(12) X1, • 、, _ 1v di v b in A ) , ------\UIvvOb A) , ------ (13)Vl-X 2(14)Vl-X 2(arctan x\ = —z、， 1(arc cot x) = 一 ---- T(15) 1 + «T(16)l + «r函数的和、差、积、商的求导法则设⑴，心心）都可导，则⑴ (w±v)/ = z/,±v z (2) ©j = C/（C 是常数）⑶ (")'=心 + “”(4)［叮V反函数求导法则若函数x = 0（）'）在某区间4内可导、单调且则它的反函数）'=/3）在对应 区间八内也可导，且dy _ 1 dx 一 dx复合函数求导法则设）' = /（"）,而u =（p （x ）且/伽）及0（x ）都可导，则复合函数y = f ［（p （x ）］的导数为dy _ dy dudx du dx或y =2.双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出・可以推出下表列出的公式：在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程"3）=0 ⑴ 求它所确定的隐函数的方法。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则复合函数求导法则
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),
即:
f (x) g(x) = f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) • g (x) = f (x)g (x) f (x)g (x)
复合函数 y = f( g(x) ) 的导数和函数 y = f(u), u = g(x) 的导数间的关系为
yx = yu·ux, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积.
例3. 求下列函数的导数:
(1) y=(2x3)2; (2) y=sin(pxj) (其中 p, j 均为常数).
x
x
u(x)v(x) u(x)v(x).
即：y = (uv) = uv uv
若C为常数， (Cu) = Cu.
法则3
(u v
)
=
uv v2
uv
(v
0)
u( x x) - u( x)
y = v( x x) v( x)
x
x
= u( x x)v( x) - u( x)v(x x) v( x x)v( x)x
u( x x) - u( x) v( x) - u( x) v( x x) - v( x)
=
x
x
v( x x)v( x)
x 0,
y x
u(x)v(x) - u(x)v(x) v2 ( x)
课堂练习：求y＝tan x的导数.
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则, 求函数 y=x3-2x3 的导数.
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
这可以通过导数的定义来证明。
假设常数函数为f(x) = C，其中C是一个常数。
导数的定义为f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，将f(x) = C代入该式，可得f'(x) = lim(h->0) [C - C]/h = 0。
2.幂函数的导数：幂函数的导数可以使用幂函数的定义和导数的定义来推导。
假设幂函数为f(x) = x^n，其中n是一个正整数。
根据导数的定义，可以计算出f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = x^n代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n -x^n]/h。
可以采用二项式定理展开分子表达式：(x+h)^n = C(n, 0)x^n + C(n, 1)x^(n-1)h + C(n, 2)x^(n-2)h^2 + ... + C(n, n-1) xh^(n-1) + h^n其中C(n,k)表示从n中选取k个元素的组合数。
因此，分子展开为[(x+h)^n-x^n]/h=C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)h+...+C(n,n-1)h^(n-1)+h^n可以观察到，在这个表达式中，只有第一项不含h，其他项都有h的幂次方。
因此，当h趋近于0时，这些含有h的幂次方都会趋近于0，只剩下第一项C(n, 1)x^(n-1)，即f'(x) = C(n, 1)x^(n-1) = nx^(n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数的导数可以通过化简导数的定义来推导。
假设指数函数为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1、对于任意实数x和x+h，有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = a^x代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [a^(x+h)-a^x]/h。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则对于数学学习至关重要。本 节将深入讨论各种导数公式和运算法则，以及它们在不同领域中的应用。
常数函数的导数公式
1 公式：
常数函数的导数始终为零。
2 应用：
常数函数的导数公式可以用于求解速度恒定、变化缓慢的物理问题。
幂函数的导数公式
对数函数的导数公式
1
公式：
对数函数的导数公式是指数函数求导法则的逆运算。
2
应用：
对数函数的导数公式可以应用于解决指数增长和衰减的问题。
3
注意：
对数函数的导数公式只适用于正实数。
三角函数的导数公式
1
公式：
三角函数的导数公式是基于单位圆上的点的导数性质计算得出的。
2
应用：
三角函数的导数公式在物理学、工程学和波动学中有广泛的应用。
2 意义：
导数可以表示函数的变化率和速率。
导数与函数的单调性和凹凸性
1 单调性：
函数的导数可以判断函数 的单调性。
2 凹凸性：
函数的导数和二阶导数可 以判断函数的凹凸性。
3 应用：
导数与函数的单调性和凹 凸性在优化问题和最值问 题中具有重要作用。
1 公式：
幂函数的导数公式是基于指数函数求导法则推导而来。
2 应用：
幂函数的导数公式可以应用于描述变化速率不同的物理量之间的关系。
指数函数的导数公式
1
公式：
指数函数的导数公式与函数的底数和指数有关。
2
特殊情况：
当底数为常数<em>e</em>时，导数是函数自身。
3
应用：
指数函数的导数公式在经济学和生物学中具有广泛的应用。
《基本初等函数的导数》 导学案
《基本初等函数的导数》导学案一、学习目标1、理解并掌握基本初等函数的导数公式。
2、能够运用导数公式求基本初等函数的导数。
3、体会导数在解决函数问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点1、基本初等函数的导数公式的推导及应用。
2、利用导数公式求函数的导数。
三、学习难点1、导数公式的推导过程。
2、灵活运用导数公式解决问题。
四、知识回顾1、导数的定义：设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的自变量的增量为\（＼Delta x\），函数的增量为\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼），如果当\（＼Delta x ＼to 0\）时，平均变化率\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限存在，即\（＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）存在，则称函数\（y＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，并称这个极限为函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）。
2、导数的几何意义：函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数\（f'（x_0)＼），就是曲线\（y ＝ f(x)＼）在点\（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率。
五、新课讲授（一）常数函数的导数1、思考：对于函数\（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），其导数是什么？2、推导：＼＼begin{align}＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{C C}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}0\＼＆＝0＼end{align}＼3、结论：常数函数的导数为\（0\），即\（（C)＇＝ 0\）。
第二节求导数的一般方法
第二节求导数的一般方法导数是微积分中的重要概念，求导数是微积分的基本方法之一。
下面我们将介绍求导数的一般方法。
一、基本初等函数的导数公式求导数的基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数公式可以按照以下顺序排列：1.常数函数的导数为0；2.幂函数的导数为指数乘以幂函数；3.指数函数的导数为指数乘以幂函数再乘以指数函数的倒数；4.对数函数的导数为1除以函数值的平方；5.三角函数的导数为正弦函数、余弦函数和正切函数的导数之和。
二、求导数的四则运算法则求导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
具体来说，如果两个函数分别可导，那么它们的和、差、积和商也可以求导数。
这些运算法则可以根据基本初等函数的导数公式进行推导。
三、复合函数的求导法则复合函数是指由多个基本初等函数通过四则运算得到的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则和乘法法则进行推导。
链式法则是指对于复合函数f(u)，其导数等于f'(u)乘以u的导数。
乘法法则是指对于两个可导函数f和g，它们的乘积的导数等于f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
四、高阶导数的求法高阶导数的求法可以通过重复运用一阶导数的求法进行计算。
具体来说，如果一个函数f(x)的n阶导数存在，那么它的n+1阶导数可以通过n阶导数和x的n 次方的乘积得到。
例如，一个函数f(x)的二阶导数可以通过一阶导数乘以x的一阶导数得到，再进一步可以通过基本初等函数的导数公式和四则运算法则进行计算。
五、微分学基本定理的应用微分学基本定理是指如果一个函数f(x)在某个区间内可导，那么它在这个区间内是线性的。
这个定理可以用来解决一些实际问题，例如最小二乘法估计参数等。
在应用微分学基本定理时，需要注意定理的条件和结论，以及如何使用定理来解决实际问题。
六、求导数的实际应用求导数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。
例如，在物理学中，求导数可以用来解决力学、电磁学等方面的问题；在工程学中，求导数可以用来解决优化问题、控制系统设计等方面的问题；在经济学中，求导数可以用来解决边际分析、弹性分析等方面的问题。
基本初等函数导数推导
基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。
引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。
证明：设 f(x)=C 。
f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。
导数与微分导数的基本公式与运算法则
第2讲的基本公导数的定义提供了求导数的方法．但对于一些比较复杂的函数，求导数时不仅烦琐，而且需要相当的技巧．本节将给出所有基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，借助于这些法则和公式，就能比较方便地求出常见函数的导数．01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系常见函数都是由基本初等函数生成的，因此首先考虑基本初等函数的导数。
利用导数的定义，可以比较容易的得到它们的求导公式。
先回顾一下导数的定义通过上一节的例题，我们知道ꢀ例1ꢀ注ꢀ例2证明根据定义，ꢀ例3证明ꢀ例4思路对于分段函数的导数，在各区段内直接求导即可；在分界点处需要通过单侧导数确定导数的存在性。
数的导数解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，前面已经求得基本初等函数的导数，如果能够建立起导数的运算与函数运算之间的关系，则会使计算简化很多。
下面推导几个主要的求导法则，借助这些法则以及上节得到的导数公式，可以求出一系列函数的导数公式，并在此基础上解决初等函数的求导问题．ꢀ定理2.3并不像极限的四则运算法则那么美好证明（1）根据导数的定义，（2）可导必连续（3）（1）和（差）的求导法则可以推广至有限个可导函数的情形，即（2）乘积的求导法则中注意：每次只对一个因子求导！这一求导法则也可以推广至有限个可导函数的连乘积，例如ꢀ例5解根据定理2.3，有练习ꢀ例6解ꢀ例7解=sec2ꢀ.ꢀ例8解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系ꢀ定理2.4（反函数求导法则）需改写！即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
ꢀ例9证明ꢀ例10证明常见基本初等函数的导数表01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系在研究函数的变化率时，经常需要对复合函数进行求导。
为此有证明或由定理可知，复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．此法则又称为复合函数的链式求导法则．因此，在对复合函数求导时，首先需要熟练引入中间变量，把复合函数分解成一串简单的函数，再用链式法则求导，最后把中间变量用自变量的函数代替．ꢀ例11求下列函数的导数：解熟练掌握链式法则后,可以不必写出中间变量和中间过程。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程一、幂函数的导数公式：考虑函数y=x^n，其中n是实数。
为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成y=x*x*...*x(n个x相乘)的形式。
然后，我们计算x处的斜率，即函数在x0处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=x^n，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ (x0 + h)^n - x0^n ] / h利用二项式定理展开，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ C(n, 0) * (x0)^(n-0) * h^0 + C(n, 1) * (x0)^(n-1) * h^1 + C(n, 2) * (x0)^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * (x0)^(n-n) * h^n ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = n * x0^(n-1)所以，幂函数 y = x^n 在任意一点 x0 的导数为 dy/dx = n *x^(n-1)。
二、指数函数的导数公式：考虑函数y=a^x，其中a是一个正实数且a≠1、为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成 y = e^(x * ln(a)) 的形式。
然后，我们计算 x 处的斜率，即函数在 x0 处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=a^x，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ a^(x0 + h) - a^x0 ] / h利用指数的性质a^(b+c)=a^b*a^c，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ a^x0 * a^h - a^x0 ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = a^x0 * lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ]当 h 趋近于 0 时，我们可以使用极限公式 lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ] = ln(a)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程
一、幂函数()f x x α=（α∈Q*）的导数公式推导过程
命题
若()f x x α=（α∈Q*），则()1f x x αα-'=．
推导过程
()f x '
()()()()()()000112220011222011222011220
lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x αα
αααααα
ααααααααααααααααααα
αααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++()1111
C x x x ααααα
αα---∆== 所以原命题得证．
三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程
命题
若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．
推导过程
()f x '
()()()()()()0000020lim cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()
2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭
=-=-n x
所以原命题得证．
四、指数函数()x f x a =（a ＞0，且1a ≠）的导数公式推导过程
命题
若()x f x a =（a ＞0，且1a ≠），则()ln x f x a a '=． 推导过程
()f x '
()()
0000lim
lim lim 1lim x x x x
x x x x
x x x x f x x f x x
a a x a a a x
a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-=∆⋅-=∆⎛⎫-=⋅ ⎪∆⎝⎭ 令1x t a ∆=-，则1x a t ∆=+，即()log 1a x t ∆=+．且当0x ∆→时，
1x a ∆→，10x a ∆-→，即0t →．所以原极限可以表示为：
()f x '
()()()0010lim log 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤=⋅⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
又因为()10lim 1e t
t t →+=，所以 ()f x '
1log e ln lne
ln x a x x a a a a a
=⋅
=⋅=
五、对数函数()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0）
的导数公式推导过程
命题
若()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0），则()1ln f x x a '=． 推导过程
()f x '
()()()000000lim
log log lim 1lim log 11lim log 1lim log 1lim log lim x a a x a x a x a x a x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆⎡+∆⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫=⋅ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎧⎫⎡+∆⎤⎛⎫=⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎩⎭=001log 1lim log 1x x a x x a x x x x x x x x ∆∆∆→⎡⎤+∆⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤∆⎛⎫⎢⎥=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令x t x
∆=．且当0x ∆→时，0t →．所以原极限可以表示为： ()f x '
()101lim log 1t a t t x →⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦
又因为()10lim 1e t
t t →+=，所以 ()f x '11lne 1log e ln ln a x x a x a
=⋅=⋅=。