第三章工业机器人机器人技术数学基础PPT课件

3.方位(姿态)描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于 此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
r11 r12 r13
A B
R
r21
r22
r23
r31 r32 r33
上述矩阵称方向余弦矩阵,它是正交的.即 B AR1B ABT B AB1
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .
3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
在坐标系的旋转变换中，有一些特殊情况，即绕单 个轴的旋转，相应的旋转矩阵称为基本旋转矩阵． 当{A}仅绕z轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
AP[px
py
p]T z
2.向量运算
1)用i、j、k表示直角坐 标X，Y，Z轴的单位向 量；那么一个向量V 可以表示成 V=ai+bj+ck
2)设两个向量分别为
设 为常值标量，
则 标量乘向量为
两向量和为
3)两向量的数积为 4)两向量的矢积为
x0
cosα - sin α x1
=
y0
sin α cosα y1
坐标系{A}和{B}有相同的 原点但方位不同,则点P 的在两个坐标系中的位 置矢量有如下关系:
APB ARBP
B ARB AR1B ART
旋转矩阵的几何意义:
1)
A B
R
可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标
系的姿态矩阵.
2)
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
(1)平移变换的齐次坐标形式
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距
离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
源自文库
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)，
它们的关系为:
a= x
b= y
c=
z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)齐次坐标不是单值确定的
• 比如(x，y，z， )是某点的齐次坐标，则(mx，
my，mz，m )也是该点的次坐标（m为任一 非零常数）。
• M=1 时,很容易给出一个点(a，b，c)的齐次坐 标为(a，b，c，1)
APB ARBPAPB0
例3.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B}相对
于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位,并沿{A}的YA 轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标 系中的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.
0.8660.5 0
• 显然齐次坐标(0，O，O，1)表示坐标原点
(3)当n维位置向量用n+1维坐标量表示时，统称为 齐次坐标表示式．
• 该n+1维空间可视为用一种特殊的立体投影改造 了的n维空间
2.齐次变换 P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A P A x A y A z 1 T , B P B x B y B z 1 T
B B A RA p B 0
3.2 坐标变换
1. 平移坐标变换
2.
坐标系{A}和
{B}具有相同的方位,
但原点不重合.则点P
在两个坐标系中的位
置矢量满足下式:
APBPAPB0
2.旋转变换 • 二维的启示
坐标旋转 坐标系{B}是坐标系{A}绕原点旋转得到的，
y1
p
y0
x1
x0
X1=x0/cosα+y1.tg α Y0=y1/ cosα+x0. tg α 解得 X0=x1. cosα-y1.sin α Y0=x1. sin α+y1 cosα
R(Z， )，
当{A}仅绕y轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
R(y， )，
当{A}仅绕X轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
R(X， )，
绕Z轴的旋转可以通过右图推导
Axp Bxp cos Byp sin A yp Bxp sin Byp cos
Azp Bzp
AAxyppcsions
sin cos
00BBxypp
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
3.1 位置和姿态的表示 3.2 坐标变换 3.3 齐次坐标变换 3.4 Matlab使用与矩阵计算
Robotics 数学基础
3.1 位置和姿态的矩阵(向量)表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置
•方向余弦阵的几个性质
1)方向余弦阵是正交矩 阵，因此，矩阵中每 行和每列中元素的平 方和为1
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O
• 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
0 0 1
将上式增广为齐次式：
10 0 0
c 0s0
cs00
R (x,)0 0c s cs0 0R (y,)0 s1 0c0 0 0R (z,)s0
Azp 0
0 1Bzp
基本旋转矩阵可由下面公式求得：
10 0
c 0s
c s 0
R (x ,) 0 0c s c s R (y ,) 0 s 1 0c 0 R (z ,) s 0 c 0 1 0
3.复合变换 一般情况原点
既不重和,方位也不 同.这时有:
例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新
矢量. 1 0 0
4 2 6
0
1
0
3 3 0
0 0 1
7 2 9
0 0 0
1
1
1
(2)旋转变换的齐次坐标形式
10 0
c0s
c s0
R (x,) 0c s R (y,) 0 10 R (z,) sc0
0sc
s0c
12
B ARR(z,30 0) 0.5 0.866 0 ;ApB0 6
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
3.3 齐次坐标变换
(1)定义
1.齐次坐标
• 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量
P= x y z T