高三理科数学小题狂做21

高三理科数学小题狂做（2）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合{}
15x x A =<<，{
}
2
320x x x B =-+<，则A
B =（ ）
A ．{}25x x <<
B ．{}25x x ≤<
C ．{}
25x x ≤≤D ．∅
2、复数
212i
i
+-的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-
3、函数1y x x =-+
的定义域为（ ）
A ．{}1x x ≤
B ．{}0x x ≥
C ．{}10x x x ≥≤或
D ．{}
01x x ≤≤ 4、如图，在正方形C OAB 内任取一点，取到函数y x =的图
象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ）
A ．
12B ．23 C ．34D ．45
5、已知双曲线C :2
2
2
x y m -=（0m >），直线l 过C 的一个焦点，且垂直于x 轴，直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，则2m
AB 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．
1
2
6、若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8
7、已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，公比
1q >，则38a a +=（ ）
A ．66
B ．132
C ．64
D ．128 8、已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的一条对称轴是8
x π
=
，则函数()f x 的最小正周期不可能是（ ） A ．
9
π
B ．
5
π
C ．π
D ．2π
9、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．
32 C ．12D ．34
10、抛物线2
4y x =的焦点为F ，点(),x y P 为该抛物线上的
动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值
是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11、已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43
π
的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A ．63B ．123C ．183D ．243
12、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1），如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧
D A M 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则m 的象就是n ，记作
()f m n =．给出下列命题：①114f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭；②
102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、二项式()6
21x x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项是．
14、已知a ，b 是平面向量，若()2a a b ⊥-，()
2b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是． 15、函数(
)
2
12
log 231y x x =-+的递减区间为．
16、在C ∆AB 中，2
2sin 3sin 2A =A ，()sin C 2cos sin C B -=B ，则C
A =AB
． 高三理科数学小题狂做（2）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
D
B
A
A
B
D
C
B
C
D
13、160 14、3
π
15、()1,+∞ 16、
113
2
+
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3
7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．23B．3C.3D．4
2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面
ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平
面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为
2
2
.若M，N分别是线段DE，CE
上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答题栏]
A级1._________2._________3._________4._________5
._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________
答案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．A2.A3.C4.B
5．选B由斜二测画法知B正确．
6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1
2
×2×3＝4＋ 3.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53
3
.
答案：53
3
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.
答案：2＋22
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
B 级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.
2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于
3
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2
2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3
3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此
时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.
∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2
2
，
S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2
2，
S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积
S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2
8＝5a2.
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)
2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0
3．(·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )
A ．(3,0)
B ．(－3,0)
C ．(0，－3)
D ．(0,3)
4．(·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )
A ．ab ＞0，bc ＜0
B ．ab ＞0，bc ＞0
C ．ab ＜0，bc ＞0
D ．ab ＜0，bc ＜0
5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )
A ．y ＝－13x ＋13
B ．y ＝－1
3x ＋1
C ．y ＝3x －3
D ．y ＝1
3
x ＋1
6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
7．(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
8．(·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．
9．(·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－
33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫π6，π3
B.⎝⎛⎭⎫π6，π2
C.⎝⎛⎭⎫π3，π2
D.⎣⎡⎦
⎤π6，π2
2．(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．
3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
[答 题 栏]
A 级
1._________
2._________
3._________
4._________
5._________
6._________
B 级
1.______
2.______
7.__________8.__________9.__________ 答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五)
A 级
1．A2.B3.D4.A
5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－1
3x ，再向右平移1个单
位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋1
3
.
6．选C 线段AB 的中点⎝
⎛⎭
⎪
⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.
7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2
k ，
令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞1
2
.
答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－3
2x ；l 不过原点时，设
方程为x a ＋y
a
＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.
综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0
9．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝3.
答案：(－2,3)
10．解：设所求直线方程为x a ＋y
b ＝1，
由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋2
b
＝1，1
2|a||b|＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1
m ＋1(x ＋1)．
(2)①当m ＝－1时，α＝π
2；
②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－
33，0∪(0， 3 ]，
∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
33，＋∞，
∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，2π3.
12．解：由题意可得kOA ＝tan45°＝1， kOB ＝tan(180°－30°)＝－
33
， 所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－33
x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C ⎝
⎛⎭⎪⎫
m －3n 2
，m ＋n 2，
由点C 在y ＝1
2x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n 2＝12·m －3n
2，m －0m －1＝n －0
－3n －1，
解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)， 所以kAB ＝kAP ＝
33－1
＝
3＋3
2
， 所以lAB ：y ＝3＋3
2
(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.
B 级
1．选B 由⎩⎨
⎧
y ＝kx －3，
2x ＋3y －6＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝32＋32＋3k ，
y ＝6k －232＋3k .
∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞0，y ＞0，
解得k ＞
33
. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭
⎫π6，π
2.
2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为
2－1
1－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
答案：x －y ＋1＝0
3．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．
(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，
要使直线l 不经过第四象限，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ≥0，
1＋2k ≥0，
解得k 的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，
∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.
故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，
当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1
2时，取等号．
故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为 x －2y ＋4＝0.。