统计学概率与概率分布

2. 样本空间
一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
若事件A发生必然导致事件B发生， 则 称事件B包含事件A，或事件A包含于事件 B，记作或 A B或 B A
BA
BA
事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为 事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B 的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+B
A
B
A-B
设A、B、C为三个事件，则有
1. 交换律：A∪B=B∪A
2.
A∩B=B∩A
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC) =(AB) C
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
事件的概率
1. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量
，
或
P(AB)=P(A)P(B|A)
【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150 件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的 概率是多少？
，所解求：概设率Ai为表P示(A“1A第2) i 次抽到的是次品”(i=1,2)
P(A1A2)P(A1)P(A2| A1)
1501490.0224 1009099
次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量 的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的 一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率
乙解台：机设床”A，1表示A3“表产示品“来产自品甲来台自机丙床台”机，床”A2，表示B表“示产“品取来自到 次品”。根据贝叶斯公式有：
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂
全体职P工(B的)集全 合炼 ；公 基钢本司 厂 空间职 职 为全工 工 体14职总 28人 工50的人 00数 集00.3合数 8。4则
P(A)mp n
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标
为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的
对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
即P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
1. 列出离散型随机变量X的所有可能取值 2. 列出随机变量取这些值的概率 3. 通常用下面的表格来表示
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数
▪ pi0
n
4.
0 pi 1
i 1
【例】如规定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分 ，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100 次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10 次中Ⅲ，5次中域外。则考察每次射击得分为 0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为
P(A1
|
B)
0.2Байду номын сангаас0.05 0.0345
0.3623
P(A2
|
B)
0.350.04 0.0345
0.406
P(A3
|
B)
0.40.02 0.0345
0.232
第二节 随机变量及其分布
一. 随机变量的概念 ‫ب‬- 离散型随机变量的概率分布 ‫ج‬- 连续型随机变量的概率分布
随机变量的概念
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为
P (A B ) P (A ) P (B ) 48 1 05 0 0 .5 00 04 121 52 05 000
2. 表示事件A出现可能性大小的数值
3. 事件A的概率表示为P(A)
4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率，
随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 正率面 /试验次数
稳1定.00在1/2左右
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
50
75
100 125
试验的次数
P(A)样事本件 A空 所间 包所 含包 的含 基 事的 本 件基 事 个＝ 本 件 数 m n个数
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从
该公司中随机抽取1人，问：
（1）该职工为男性的概率
（2）该职工为炼钢厂职工的概率
解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。P则(A)全 全公 公司 司男 职性 工职 总 18工 2人 550人 0数 000.数 68
1. 一个离散型随机变量X只取两个可能的值
例如，男性用 1表示，女性用0表示； 合格品用 1 表示，不合格品用0表示
2. 列出随机变量取这两个值的概率
【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格 率 为 q=1-p=1-0.5=0.95 。 并 指 定 废 品 用 1 表 示 ， 合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这 一离散型随机变量，其概率分布为
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件
概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
发生条件下事件A发生的条件概率，
记为
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
1. 用来计算两事件交的概率
2. 以条件概率的定义为基础
3. 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则
P(AB)=P(B)P(A|B)
量和连续型随机变量
1. 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 , X2，…
2. 以确定的概率取这些不同的值 3. 离散型随机变量的一些例子
1. 随机变量 X 取无限个值
2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内的任意点
3. 连续型随机变量的一些例子
离散型随机变量的概率分 布
A B
A 与 B互不相容
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是 整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A
A
A
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
A
B
A∪B
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事 件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB
AB
A∩B
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率
解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有
乙解台机：床设”A1，表示A3“表产示品“来产自品甲来台自机丙床台”机，床”A2，表示B表“示产“品取来到自 次品”。根据全概公式有
3
P(B) p(Ai)P(B|Ai) i1
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02
0.0345
1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因
用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电
措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
次试验解P ，：(试A上)验个A月超 表30示试 过 天用的验 电用 记超录的 电 过可指以天 指 标看出数 作标 1现3是20了天 重1复02.数 4次进。行根了3据0
概
概率的性质与运算法则
1. 非负性
1. 一个事件的发生与否并不影响另一个事 件发生的概率，则称两个事件独立
2. 若 事 件 A 与 B 独 立 ， 则 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A)
3. 此时概率的乘法公式可简化为
4.
P(AB)=P(B)·P(B)
4. 推广到n个独立事件，有
5.
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有
n
P(B) p(A i)P(B|A i) i1
我们把事件A1，A2，…，An 看作是引起事件B发 生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1， A2，…，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的 概率就是上面的全概公式
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量 的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一 个是次品的概率。
随机事件的几个基本概念
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 2. 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 3. 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所
有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
第五章 概率与概率分布
第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布
1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则
3. 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率
4. 用Excel计算分布的概率
第一节 概率基础
一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则
解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
P ( C ) =P ( A∪B )
= P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
在事件B已经发生的条件下，求事
件A发生的概率，称这种概率为事件B
例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
1. 基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
(1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612
(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)
= 0.90.8(1-0.85)=0.108
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个 事件交的概率，即
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都 读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。
2. 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ，
A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为
一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
P(Ai |
B)
P(Ai)P(B|
n
Ai)
p(Aj)P(B| Aj)
j1
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的