统计学概率与概率分布
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
生物统计学课件1、概率及概率分布
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率与统计中的概率分布函数与期望值
概率与统计中的概率分布函数与期望值概率分布函数与期望值是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的分布情况和其平均取值。
在概率与统计领域中，概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）用于表示一个离散或连续随机变量的可能取值及其对应的概率。
一、概率分布函数概率分布函数描述了随机变量取特定值的概率。
对于离散型随机变量，概率分布函数通常以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）的形式给出。
PMF表示了随机变量取各个可能值的概率。
例如，对于掷骰子的结果来说，每个点数（1到6）都有相应的概率。
对于连续型随机变量，概率分布函数以概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的形式给出。
PDF表示了随机变量在某一取值范围内的概率密度，即在该范围内取值概率的变化情况。
例如，正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，表示随机变量在不同取值上的概率密度。
二、期望值期望值是描述随机变量的平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望值可以通过每个可能取值的概率乘以对应取值的加权平均来计算。
对于连续型随机变量，期望值则是对概率密度函数在整个取值范围内的加权平均。
期望值的计算方法可以简单地表示为E(X) = ∑(x * P(x))（离散型）或E(X) = ∫(x * f(x))dx（连续型），其中x表示随机变量的取值，P(x)或f(x)为其对应的概率或概率密度。
期望值在概率与统计中具有重要意义。
它可以用来描述随机变量集中在哪个取值附近，或者用于比较不同随机变量的平均取值。
三、常见的概率分布函数与期望值在概率与统计中，存在许多常见的概率分布函数，每个分布函数都有其对应的期望值。
以下是一些常见的概率分布函数与期望值的例子：1. 二项分布（Binomial Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)- 期望值：E(X) = np2. 泊松分布（Poisson Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!- 期望值：E(X) = λ3. 正态分布（Normal Distribution）- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)- 期望值：E(X) = μ以上仅为部分常见的概率分布函数与其期望值，实际应用中还存在更多的概率分布函数与对应的期望值。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
统计学统计学概率与概率分布练习题
第5章概率与概率分布练习题5.1写出下列随机事件的基本空间：（1）抛三枚硬币。
（2）把两个不同颜色的球分别放入两个格子。
（3）把两个相同颜色的球分别放入两个格子。
（4）灯泡的寿命（单位：h）。
（5）某产品的不合格率（％）。
5.2假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球,请写出这个随机试验的基本空间。
5.3试定义下列事件的互补事件：（1）A=｛先后投掷两枚硬币，都为反面｝。
（2）A=｛连续射击两次，都没有命中目标｝。
（3）A=｛抽查三个产品，至少有一个次品｝。
5.4向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。
试求炸毁这两个军火库的概率有多大。
5.5已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少5.6有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中％是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。
5.7消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下：根据这些数值，分别计算：（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。
（2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。
（3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。
5.8设X是参数为n 4和p 0.5的二项随机变量。
求以下概率:(1)P(X 2)。
( 2)P(X 2)。
5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。
求:（1）晚班期间恰好发生两次事故的概率。
（2）下午班期间发生少于两次事故的概率。
（3）连续三班无故障的概率。
5.10假定X服从N 12，n 7，M 5的超几何分布。
求：（1）P（X 3）。
（2）P（X 2）。
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用在概率与统计学中，随机变量与概率分布是两个重要的概念，它们在实际应用中起着至关重要的作用。
本文将探讨随机变量和概率分布在概率与统计学中的应用。
一、随机变量的概念及应用随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机试验的结果。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
离散随机变量可以通过概率质量函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
离散随机变量在实际应用中常用于描述离散的事件，如人口统计学中的男女比例、产品缺陷率等。
连续随机变量是指可以取任意实数值的随机变量，比如身高、体重等。
连续随机变量可以通过概率密度函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
连续随机变量在实际应用中常用于描述连续的事件，如物理实验中的测量误差、金融领域中的股票价格等。
随机变量在概率与统计学中有着广泛的应用。
通过对随机变量的分析和建模，可以提取出潜在的规律和特征，进而做出合理的预测和决策。
例如，在金融领域中，通过对股票价格的随机变量建模，可以预测未来的股票价格走势，从而指导投资决策。
在医学领域中，通过对某种疾病的患病率随机变量建模，可以计算出患病风险，并采取相应的防控措施。
二、概率分布的概念及应用概率分布是指随机变量取各个值的概率。
概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量为离散型的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，该函数可以计算随机变量取各个值的概率。
离散概率分布在实际应用中常用于描述离散事件的发生概率。
例如，二项分布可以用于描述在多次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布可以用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量为连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
统计学-概率和分布
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
教育统计学第六章 概率及概率分布
( 0, )
标准正态分布
如果把总频数看成是1，随机变量的分布密度是
f ( x)
1 2
( x )2 2 2
e
( 0 , )
二者相比：
f ( x)
N e 2
x 2
2 2
( 0, )
92 P( A) 0.514 179
87 P( B) 0.486 179
7 P (C / A) 0.076, 92 12 P (C / B ) 0.137, 87
P( AC ) P( A) P(C / A) 0.514 0.076 0.039
P( BC ) P( B) P(C / B) 0.486 0.137 0.067
由于F值是两个总体方差的比值，所以F值均为正 值，故F的图象处于正半轴的上方 ，其最小值为0，最 大值为无穷大。
F值可通过查值表求得
左右两侧临界值之间的关系为：
1 F1 / 2 df1 , df2 F / 2 df2 , df1
例如：查表得 则
F0.05 / 2 8,9 4.10
1 2 c5 c35 p( A1 ) 3 c40
0.301
2 1 c5 c35 p( A2 ) 3 0.035 c40
3 c5 p( A3 ) 3 c40
0.001
p( A) p( A1 A2 A3 ) p( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
例3 某班共有40名学生，如果其中只有5人没 有完成作业，而其它学生都较好地完成了作业。若 从该班中随机抽出3人检查作业完成情况，问至少 抽到一人未完成作业的概率是多少？
统计学中的统计分布与概率分布
统计学中的统计分布与概率分布统计学是一门研究收集、分析、解释和展示数据的学科。
在统计学中，统计分布和概率分布是两个重要的概念。
统计分布描述的是一组数据的频数或频率，而概率分布则描述的是随机变量的取值与其对应的概率。
一、统计分布统计分布是指收集到的数据在各个数值上的频数或频率，用于描述数据的分布情况。
统计分布可以通过频数分布表、频率分布表、直方图、饼图等方式进行展示。
频数分布表是一种将数据按照数值的大小进行分类并计算频数的表格。
例如，我们可以将一组考试成绩按照分数段进行分类，并计算各个分数段的频数。
频数分布表可以帮助我们直观地了解数据的分布情况，比如分布是否对称、是否存在峰值等。
频率分布表是在频数分布表的基础上，将频数除以总样本数得到的频率。
频率分布表可以让我们更好地比较不同分类间的数据分布情况，例如在不同分数段的考试成绩分布中，哪个分数段的学生人数占比最高。
直方图是一种常用的统计图表，用于展示数据的分布情况。
直方图的横轴代表数据的范围，纵轴代表频数或频率。
通过直方图，我们可以观察数据分布的形态，比如是否呈现正态分布、偏态分布或者多峰分布等。
饼图是另一种常见的统计图表，用于展示分类数据的分布情况。
饼图的圆形代表整体，每个扇形代表不同分类的比例。
饼图可以帮助我们直观地了解各个分类的占比情况，比如不同民族的人口分布比例。
二、概率分布概率分布是指随机变量的取值与其对应的概率。
随机变量是一个在可能取多个值的随机实验中的变量，而概率分布描述的是随机变量的取值与其对应的概率。
在统计学中，常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布描述的是随机变量取离散值的概率情况。
例如，二项分布是一种常见的离散概率分布，描述了在一系列相互独立的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
二项分布可以用于模拟投掷硬币、赌博等事件的概率。
连续概率分布描述的是随机变量取连续值的概率情况。
例如，正态分布是一种常见的连续概率分布，也被称为钟形曲线。
人大《统计学》第五章 概率和概率分布
3.乘法的一般定理
• 更多的时候，事件并不是独立的，概率的计算是有条件的。一般
意义上，两个事件之积（同时发生）的概率，为： AB P A P B | A P • 上式也可以写作 P AB P B P A | B
§1.2 概率
• 求两个以上事件之积（同时发生）的概率与之相似。
当离散型随机变量X的只有两个可能的取值，并且其中一个赋值为1，另 一个赋值为0，则X服从0-1分布。 设取1的概率为 p ，则取0的概率 q 1 p 对于服从0-1分布的离散型随机变量X，有：
E X 1 p 0 1 p p
V X 1 p p 0 p 1 p p 1 p
P • 若 P Ai 0 i 1, 2,, n ，则对任意事件B，有： B P B | Ai P Ai
n i 1
§1.2 概率
【例5.1】 某厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品的次品率分别为4%
、6%、7%，各种产品的数量分别占总数量的30%、20%、50%，将三种产品
对连续变量，可计算某段（区间）取值的概率（或概率密度），相应地
便构成了连续变量的概率分布。
§2 离散变量的概率分布
首先看离散型随机变量的概率分布。 为得到离散型随机变量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值， 以及X取这些值的概率。用下面的表格来表示：
§2 离散变量的概率分布
P X xi pi 称为离散型随机变量的概率函数。并有：
§1.2 概率
2.贝叶斯公式 • 贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。 • 它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（或事件是在什么 条件下发生的）。 • 贝叶斯公式也称作逆概公式。
第六章概率与概率分布-社会统计学
第六章概率与概率分布-社会统计学第六章概率与概率分布第⼀节概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对⽴事件、互相独⽴事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第⼆节概率的数学性质概率的数学性质（⾮负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运⽤概率⽅法进⾏统计推断的前提第三节概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数⼀、填空1．⽤古典法求算概率．在应⽤上有两个缺点：①它只适⽤于有限样本点的情况；②它假设（）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系⼀样。
所不同的是，)(x F 累计的是（）。
3．如果A 和B （），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（）和（）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断⼀个样本估计量是否优良的标准是（）、（）、（）。
6．抽样设计的主要标准有（）和（）。
7．在抽样中，遵守（）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的⼤⼩成（），与样本容量的平⽅根成（）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减⼩到原来的1/4，则样本容量应（）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发⽣，则称A 和B 是（）事件。
10．在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃或爱司的概率是（）；在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃且爱司的概率是（）。
⼆、单项选择1．古典概率的特点应为（）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是⽆限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是⽆限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（）。
A 基本事件；B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
应用统计学(第四章 概率与概率分布)
服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，x的取值落在区间 [x1,x2) 的概率P(x1≤x<x2)，等于服从标准正态分布的随机变 量u在[(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ)内取值的概率。
u x
P(a u b) Φ(b) Φ(a) P( u a) 2Φ(a) P( u <a) 1 2Φ(a) P(0 u<a) Φ(a) 0.50 P(u a) 1 Φ(a) Φ(a)
1)正态分布的特征
a. x=μ 时 f(x) 值最大，密度曲线以μ为中心分布
b. x-μ绝对值相等时f(x) 相等，密度曲线以μ为中心两侧 对称
c. f(x)是非负函数，以x轴为渐近线
d.正态分布曲线由参数μ，σ 决定， μ 确定正态分 布曲线在x轴上的中心位置，σ 确定正态分布的变异度
e.正态分布曲线在x =μ±σ 处各有一个拐点，曲线通
是根据随机事件本身的特性直接计算其概率 随机事件若满足
试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本 事件只有有限个
各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事 件的发生是等可能的
试验的所有可能结果两两互不相容
则若样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A 包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n
x-
x+
b.连续型变量的概率分布
连续型随机变量的概
率分布因取值数不可数而 样本容量 n 足够大时，频率分
不能用分布律来表示
布趋于稳定，近似地看成总
体概率分布
n 无限大时
频率转化为概率 频率密度转化为概率密度 频率分布转化为概率分布 曲线为总体概率密度曲线 函数f(x)称为概率密度函数
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3
P(B) p(Ai)P(B|Ai) i1
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02
0.0345
1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂
全体职P工(B的)集全 合炼 ；公 基钢本司 厂 空间职 职 为全工 工 体14职总 28人 工50的人 00数 集00.3合数 8。4则
P(A)mp n
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标
为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的
量和连续型随机变量
1. 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 , X2，…
2. 以确定的概率取这些不同的值 3. 离散型随机变量的一些例子
1. 随机变量 X 取无限个值
2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内的任意点
3. 连续型随机变量的一些例子
离散型随机变量的概率分 布
，
或
P(AB)=P(A)P(B|A)
【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150 件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的 概率是多少？
，所解求：概设率Ai为表P示(A“1A第2) i 次抽到的是次品”(i=1,2)
P(A1A2)P(A1)P(A2| A1)
1501490.0224 1009099
1. 列出离散型随机变量X的所有可能取值 2. 列出随机变量取这些值的概率 3. 通常用下面的表格来表示
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数
▪ pi0
n
4.
0 pi 1
i 1
【例】如规定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分 ，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100 次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10 次中Ⅲ，5次中域外。则考察每次射击得分为 0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为
发生条件下事件A发生的条件概率，
记为
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
1. 用来计算两事件交的概率
2. 以条件概率的定义为基础
3. 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则
P(AB)=P(B)P(A|B)
2. 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ，
A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为
一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
P(Ai |
B)
P(Ai)P(B|
n
Ai)
p(Aj)P(B| Aj)
j1
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的
A B
A 与 B互不相容
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是 整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A
A
A
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
2. 表示事件A出现可能性大小的数值
3. 事件A的概率表示为P(A)
4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率，
随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 正率面 /试验次数
稳1定.00在1/2左右
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件
概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
第五章 概率与概率分布
第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布
1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则
3. 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率
4. 用Excel计算分布的概率
第一节 概率基础
一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则
例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
1. 基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
A
B
A-B
设A、B、C为三个事件，则有
1. 交换律：A∪B=B∪A
2.
A∩B=B∩A
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC) =(AB) C
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
事件的概率
1. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量
A
B
A∪B
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事 件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB
AB
A∩B
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点
(1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612
(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)
= 0.90.8(1-0.85)=0.108
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
P ( C ) =P ( A∪B )
= P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
在事件B已经发生的条件下，求事
件A发生的概率，称这种概率为事件B
1. 一个事件的发生与否并不影响另一个事 件发生的概率，则称两个事件独立
2. 若 事 件 A 与 B 独 立 ， 则 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A)
3. 此时概率的乘法公式可简化为
4.
P(AB)=P(B)·P(B)
4. 推广到n个独立事件，有
5.
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
即P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
随机事件的几个基本概念
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 2. 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 3. 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所
有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
1. 一个离散型随机变量X只取两个可能的值
例如，男性用 1表示，女性用0表示； 合格品用 1 表示，不合格品用0表示
2. 列出随机变量取这两个值的概率
【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格 率 为 q=1-p=1-0.5=0.95 。 并 指 定 废 品 用 1 表 示 ， 合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这 一离散型随机变量，其概率分布为
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为
P (A B ) P (A ) P (B ) 48 1 05 0 0 .5 00 04 121 52 05 000
用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电
措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
次试验解P ，：(试A上)验个A月超 表30示试 过 天用的验 电用 记超录的 电 过可指以天 指 标看出数 作标 1现3是20了天 重1复02.数 4次进。行根了3据0
概
概率的性质与运算法则
1. 非负性
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个 事件交的概率，即
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )