江苏省南京师范大学附属中学高中物理竞赛讲义教程全集

1.1质点运动的基本概念 运动的合成和分解一、图像法例1、蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反此，当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m 的A 点处时，速度是v 1=2cm ／s ，试问：蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m 的B 点所需的时间为多少?例2、已知一质点做变加速运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0-ks ，式中a 为任意位置处的加速度，求当位移为s 0是瞬时速度。

二、矢量运算1、矢量加法（矢量合成）（1）平行四边形法则已知两个矢量F 1和F 2的大小和夹角，求合矢量F 合的大小和方向。

F =212sin tan cos F F F θαθ=+ （2）三角形法则和多边形法则（接龙法则）（3）矢量式的脚标的接龙法则例如，人在车厢内走动，人相对于地的速度等于人相对于车的速度加上车相对于地的速度。

=+v v v 车车人地人地（4）矢量减法将减法变为加法然后再利用接龙法则。

例3：(1)无风的下雨天，小明坐在匀速行驶的车上，发现雨滴沿斜线下落，且与竖直方向成30 夹角，若车速为10m/s，则雨滴下落的速度为多大？(2)小明坐在以10m/s向东匀速行驶的车上，发现雨滴是竖直下落的，若雨滴对地速度为20m/s，则雨滴实际上是如何下落的？三、运动的合成和分解实例1：平抛运动实例2：滚动的车轮边缘上一个点的运动1、运动合成和分解其实就是位移、速度、加速度的合成和分解2、合运动的效果和若干个分运动的总效果相同（等效性）3、实际观察到的运动是合运动，分运动是人们为了方便研究而假想出来的。

四、运动分解的方法1、按效果分解2、正交分解：建立直角坐标系，将运动（位移、速度、加速度）分解在坐标轴方向。

例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度。

例5、如图所示，质点A和质点B同时从A、B两点出发，分别以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做匀速直线运动，BC和AB的夹角为α．开始时质点A和质点B相距为l，试求两质点之间的最短距离．例6、如图所示，几辆相同的汽车以等速度v，沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，前后两车头尾间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间是多少？例7、有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从边长为l的正五边形A 1A2A3A4A5的五个顶点出发，以相同速率v适动，如图所示．运动中A1始终朝着A3、，A3始终朝着A5，A5始终朝着A2，A2始终朝着A4，A4始终朝着A1，问：经过多长时间五人相聚?五、物体系统的运动学连接条件1、刚性杆、绷紧的不可伸长的绳上，各点在同一时刻，具有相同的沿杆、绳的分速度。

2、两个接触的物体，在接触面法线方向的分速度相同；切向的分速度在无相对滑动的情况下，也相同。

3、线状交叉物交叉点的速度是两物体沿对方切向运动的分速度的矢量和。

如右图，AB两杆沿自己方向的分运动，对交点运动没有贡献；沿对方方向的分运动，使交点运动。

注意：以上规律均为速度的连接条件，对加速度不一定适用！例8、杆在光滑墙角处下滑，求A、B两点的速度大小关系（已知此时AB、AC的长度分别为l1、l2）例9、合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：2：l，顶点A3以速度v沿水平方向向右移动．求当构件的所有角都为直角时，顶点A1、A2、B2的速度．例10、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆环上做平动，试求图示位置时，杆与环的交点M的速度。

）立在水平面上，另例11、一个半径为R的环（环心为O一个同样大小的环（环心为O1）以速度v从前一环的旁边经过。

试求当两环环心相距为d（2R大于d大于0）时，求两环上部的交点A的运动速度。

两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。

1.2圆周运动一、匀速圆周运动1、基本物理量半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n2、物理量之间的关系v r ω=1T f =n f =222r v rf rn T πππ=== 222f n T πωππ=== 22224==n n v F ma m m r m r r T πω==例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。

问圆柱上与板接触的A 点的加速度是多少？例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高的P 点的瞬时速度和加速度．例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出，如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。

求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。

（线轴的内、外半径分别为r 和R ）二、变速圆周运动速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。

可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n 和切线方向的切向加速度a t 。

向心加速度a n 改变速度方向，切向加速度a t 改变速度大小。

此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。

=t d v d r d t d t a rωβ=例4、如图所示，在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度和加速度。

例5、如图所示，直杆AB 以匀速v 0搁在半径为r 的固定圆环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M 的速度和加速度。

例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a 运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。

例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。

AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。

BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。

当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。

BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。

求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）三、一般曲线运动1、基本方法：将一小段曲线近似为圆的一段弧，圆的半径即为曲线该点的曲率半径ρ。

2n v a ρ=这也是求曲线曲率半径的物理方法。

2、等距螺线运动xy 平面内的分运动为匀速圆周运动，z 方向为匀速直线运动。

运动轨迹可以类比弹簧。

例8、一个直径为D的圆柱体侧面刻有螺距为h的螺旋形凹槽，槽内有一个小球。

为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在固柱体侧面的绳子(设绳于与圆柱体侧面不打滑)？例9、采用物理方法确定等距螺旋线上任意一点处的曲率半径。

（设截面半径为R，螺距为h）沿直线轨道行驶．机车车轮半径为r，设车例10、机车以等速率v轮只滚动不滑动．将轮机缘上的点M在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为x轴．如图所示，求M点的运动轨迹方程以及轨迹最高点处的曲率半径，并求当M点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度．1.3抛体运动一、抛体运动的分解1、平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

2、斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

斜抛运动也可以看成沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

在斜面问题中，斜抛运动经常看成沿斜面的匀变速直线运动和垂直于斜面的匀变速直线运动。

例1、在倾角为α的下面顶端P点以初速度V水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q点，求：①小球在空中运动的时间以及P、Q间的距离②小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？最大距离是多少？例2、倾角为α的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速为v，抛出方向与斜面成β角，α+β<π/2．(1)若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n满足的关系式．(2)若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后的值是碰前值的e倍．0<e<1，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n和e满足的关系式．(3)由(2)，若其中第r次与斜面相碰时．小球正好与斜面垂直相碰．试证明此时满足关系式：e n-2e r+1=0二、斜抛运动的性质1、运动轨迹方程2、射高、最大射高，射程、最远射程射高：最大射高：射程：最远射程：例3、一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流．这些水射流以与地面成00～900的所有角度喷出，竖直射流可高达2 .0m，如图所示．取g=10m／s2，试计算水射流在水池中落点所覆盖的圆的半径．例4、从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α(O<α<π／2)．若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板倾角θ为恰当值时(0<θ<π／2)，甲球恰好能回到A点．另有一个小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞．试讨论v0，α，θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点?3、包络线方程例5、初速度为v0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求空间安全区域的边界方程．4、曲率半径例6、求抛物线y=kx 2任意位置x 0处的曲率半径。

5、极值问题例7、大炮在山脚直接对着倾角为α的山发射炮弹．炮弹初速度为v 0，要在山坡上达到尽可能远的射程．则大炮的瞄准角应为多少?最远射程有多少?例8、从A 点以的初速度v 0抛出一个小球，在离A 点水平距离为s 处有一堵高度为h 的墙BC ，要求小球能越过B 点。

问小球以怎样的角度抛出，才能使v 0最小？例9、一仓库高25 m ，宽40 m ．今在仓库前l m 、高5 m 的A 处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l 为多大时，初速度v0之值最小？（g 取10 m/s2）1.4运动学综合题例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C 的速度例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A 点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线?例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大T，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，张力为d求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值．例5、狐狸以速率v1沿直线L匀速奔跑，一只猎犬以速率v2追赶狐狸。