《水力学》第七章 水跃

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3.跃后段水头损失的计算 跃后段水头损失的计算
2 a3 v3 av E jj = (h2 + ) − (h3 + ) 2g 2g 因为，可以近似地令h ＝ 1 因为，可以近似地令 3=h2，v3=v2及α＝1， α3 =， 2 2 2
是上式简化为： 于 是上式简化为：
2 v2 E jj = ( a 2 − 1) 2g
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试算法 在应用试算法解共轭水深时，可先假设一 个欲求的共轭水深代入水跃方程，如假设的水深能满足水 跃方程，则该水深既为所求的共轭水深．否则，必须重新 假设直至水跃方程得到满足为止．试算法可得较高的精确 度，但计算比较麻烦． 图解法是利用水跃函数曲线来直接求解共轭水深。 图解法 当流量和明渠断面的形状尺寸给定时，可假设不同水 深，试算出相应水跃函数J(h)，以水深h为纵轴，以水跃函 数J(h)为横轴，即可绘出水跃函数曲线．水跃函数曲线具 有如下的特性：
在跃后断面2－2处，流速的分布还是很不均匀的， 同时，该处的紊流强度也远较正常的渐变紊流为大。直到 断面3－3处，紊流强度才基本恢复正常。断面2－2与断面 跃后段。其长度Ljj约为（2.5~3.0）Lj。 3－3之间的流段称跃后段 跃后段
σ= u
'2
u '2 σ Tu = = υ υ
紊流强度
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在棱柱体水平明渠中，断面3－3处的水深 h3 与跃后水 深h2 基本相等。故一般可近似地令 h3 = h2 及 υ3 = υ 2 。虽 然，但跃后断面2－2处的动能仍较断面3－3处的为大。断 面2－2处流速分布很不均匀和紊流强度大，此多余的动能 在跃后段中也将转化为热能而消失。
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例７-１证明与J(h)min相应的水深即临界水深． 证：由微分方程得知，与
J (h) min
相应的水深满足下
列方程（令J(h)的导数为零得出），即
Q2 d + Ahc 2 d [J (h )] gA = − Q B + d ( Ahc ) = 0 = dh dh gA2 dh
面积矩
式中 Ahc 乃是过水断面面积A对水面线0-0的静矩。 为了确定 d ( Ah ) ，由水深增量所导致的面积静矩
c
∆( Ahc ) 当为：
∆h ∆( Ahc ) = A(hc + ∆h ) + B∆h − Ahc 2 ∆h = A+ B ∆h 2
梯形明渠共轭水深不易由水跃方程直接解出.在计算其 共轭水深时,除了可以采用前述的试算法或图解法外,为了 进一步简化计算.还可以应用一些特制的计算曲线. 如附图Ⅳ所示的，以N 为参变数的一簇
h1 q
2 3
N=
mq b
2 3
~
h2 q
2 3
关系曲线。
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三、矩形明渠共轭水深的计算 矩形明渠中水跃的跃前或跃后水深可以直接由水跃 方程解出。对于矩形明渠，如以 b 表示渠宽，q 表示单 宽流量，则
h2 h1 = 2 或
q2 1 + 8 3 − 1 gh2
q2 ， = = Fr gh1 gh13
2 1
因为跃前断面处水流弗劳德数的平方为 故公式又可写成如下的形式：
h1 h2 = 2
υ12
[ 1 + 8Fr −1]
2 1
1 η= 1 + 8Fr12 − 1 或 2
[
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1 η= 1 + 8 Fr12 − 1 = f (Fr1 ) 2
[
]
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今以 η 为纵坐标，Fr1 为横 坐标，根据上式绘出理论曲线， 如图所示。在同一坐标中， 也绘出了实验点。可以看出理 论曲线与实验点相当吻合。
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对于梯形明渠中的水跃，虽然当
Fr1 =
v1 gh1
〈3
时，按水跃方程计算的 η 值较实测值稍小，并且 计算误差随着 Fr1 的减小而增加．但是当
dh
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式中方括号内的函数式是以0‘-0’为轴的新 面积的静矩。 于是
d ( Ahc ) ∆( Ahc ) ∆h = lim = lim A + B = A 2 dh ∆h ∆h − > 0 ∆h − > 0
则得到
Q 2 A3 = g B
Q2 d + Ahc 2 d[J (h)] gA = − Q B + d( Ahc ) = 0 = dh dh gA2 dh
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二、棱柱体水平明渠中水跃的能量损失计算
2.水跃段水头损失的计算 水跃段水头损失的计算
2 a1v12 a2v2 E j = (h1 + ) − (h2 + ) (7.16) 2g 2g
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2 a1v12 a2v2 E j = (h1 + ) − (h2 + ) (7.16) 2g 2g
1 η= 1 + 8Fr12 − 1 2
Fp1 = ρgA1hc1 Fp 2 = ρgA2 hc 2
2、设摩阻力Ff＝0。 3、设β1＝β2＝1 Q 将连续性方程 v1 = A 1 代入动量方程，得：
Q2 Q2 + A1hc1 = + A2 hc 2 gA1 gA2
Q v2 = A2
棱柱体水平明渠的水跃方程 8
当明渠断面的形状、尺寸以及渠中的流量一定时， 水跃方程的左右两边都仅是水深的函数，称为水跃函数。 水跃函数。 水跃函数 令
Q2 J (h) = + Ahc gA 于是，水跃方程也可以写成如下的形式
上式表明，在棱柱体水平明渠中 ， 跃前水深 在棱柱体水平明渠中， 在棱柱体水平明渠中 h1与跃后水深 2具有相同的水跃函数值， 与跃后水深h 具有相同的水跃函数值， 两个水深为共轭水深。 两个水深为共轭水深。 共轭水深
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J ( h1 ) = J ( h2 )
2 h2 − h12 q 2 (h2 − h1 ) = 2 gh1h2
2q h2 + h1 = gh1h2
2
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2q 2 h 2 + h1 = 对上式整理简化后，得到 gh 1 h 2
2q 2 2 h1h2 + h12 h2 − =0 g
上式是对称二次方程。解该方程可得
h1 q2 h2 = 1 + 8 3 − 1 2 gh1
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4.水跃总水头损失和水跃段水头损失的近似计算 水跃总水头损失和水跃段水头损失的近似计算 2 v12 v2 E = E j + E jj = (h1 + ) − (h2 + ) 2g 2g
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4.水跃总水头损失和水跃段水头损失的近似计算 水跃总水头损失和水跃段水头损失的近似计算
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4. 水跃的消能效率
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式中 着 Fr1
η=
h2 h1
η 称为共轭水深比。从上式可以看出， 是随
的增加而增大的。
例7.6
有一水跃产生于一棱柱体矩形水平槽中。
已知：q 为0.351m3/s·m，h1为0.0528m。求h2。 解：按公式计算h2 ，
h1 q2 h2 = 1 + 8 3 − 1 2 gh1 0.0528m (0.351m 2 / s ) 2 = − 1 = 0.665m 1+ 8× 2 3 2 (9.8m / s ) × (0.0528m)
7-2 棱柱体水平明渠中水跃 共轭水深的计算
当明渠断面的几何要素和渠中流量已知时，由已知的 共轭水深来计算另一个未知的共轭水深。
一、共轭水深计算的一般方法
一般来说，水跃方程中的A和hc都是共轭水深的复杂函 数，因此水深不易直接由方程解出。 对矩形： 直接代公式。 对其它断面形状 ： 用试算法和图解法。
9.8m / s 2 × 0.2m ×1.4m(0.2m + 1.4m) q= = 1.48m 3 / s ⋅ m 2
通过本例可知，我们可以利用水跃来测量流量。
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7-３ 水跃方程的实验验证 ３
水跃的共轭水深计算是以水跃方程为依据 的。在推导该理论方程的时候，曾经作过一些 假定。这些假定是否正确，有待实验来验证。 通常闸、坝等泄水建筑物下游的消能段多为矩 形，因而矩形明渠的水跃计算有十分重要的意 义。 当明渠的断面形状为矩形时，共轭水深比 η 乃是 Fr1 的函数。
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水跃函数存在J(h)min，与J(h)min 相应的水深即是临界水深hk； 当h＞hk时（相当于曲线的 上半支）；J(h)随着h即随 着跃后水深的减小而减小； 当h＜hk时（相当于曲线 的下半支）； J(h)随着h即随 着跃前水深的减小而增大。
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当已知h１欲求h２时只须绘出曲线的上半支有关部 分。通过横坐标轴上J(h)= J(h1)= J(h2)的已知点A作一 与纵坐标轴h相平行的直线，该直线与曲线相交于B点。 显然，此B点的纵坐标值即是欲求值的h２。其图解示 意图见图 a 。当已知h２求h１时。则只须绘出曲线的下 半支的有关部分，其图解示意图如图 b 所示。
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7-1 棱柱体水平明渠的水跃方程
现在让我们来推导棱柱体水平明渠的水跃方程。 设一水跃产生于一棱柱体水平明渠中，如下图所示
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采用恒定总流的动量方程来推导水跃方程 。对跃 前、后断面列动量方程得
ρQ ( β 2 v 2 − β 1v1 ) = F p1 − F p 2 − F f
假定： 1、设水跃前、后断面处的 水流为渐变流。
Fr1 ＞３时，由于假定 β1 = β 2 = 1 及 Fr1 = 0 所导致
的误差尚不到１％。 其他断面形状的水平槽的水跃实验也证实了水跃 方程的误差不大。 由此可见，水跃方程７-２或７-４是可以用于实际 计算的。
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7.4棱柱体水平明渠 中水跃的能量损失
1.能量损失机理：
水跃段 跃后段
水跃的运动要素变化得很剧烈。上图绘出了水跃段 中和跃后一些断面上的流速分布图。从图中可以看出， 流速急剧变化和水跃段中最大流速靠近底部的情况。在 水跃表面旋滚与主流的交界面附近旋涡强烈，从而导致 该处水流的激烈紊动、混掺，使得紊流的附加切应力远 较一般渐变紊流的为大。很大的紊流附加切应力使跃前 30 断面水流的大部分动能在水跃段中转化为热能而消失。
第七章 水跃
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.水跃分区 水跃分区
2
2. 水跃的特性参数
表面旋滚起点过水断面1-1称为跃前断面 跃前断面，该断面处 跃前断面 水深h1称为跃前水深 跃前水深。 跃前水深 跃后断面，该断面处 表面旋滚末端的过水断面2-2称为跃后断面 跃后断面 的水深h2称为跃后水深 跃后水深。 跃后水深 跃前、后水深之差a= h2-h1称为跃高 跃前断面和跃后断 跃高，跃前断面和跃后断 跃高 面之间的距离称为跃长 j。 跃长L 跃长
min
上式与临界水深的条件相同。因此，与 J (h) 相应的水深即是临界水深。
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ρQ ( β 2 v 2 − β 1v1 ) = F p1 − F p 2 − F f
Q2 Q2 + A1 h c 1 = + A2 hc 2 gA 1 gA 2
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二、梯形明渠共轭水深的计算方法
Q = bq , h A = bh , hC = 2
Q2 Q2 + A1 h c 1 = + A2 hc 2 gA 1 gA 2
将以上诸关系式代入水跃方程，则得到棱柱体矩形 水平明渠的水跃方程如下：
2 q 2 h12 q 2 h2 + = + gh1 2 gh2 2
2 h2 h12 q 2 q2 − = − 2 2 gh1 gh2
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3. 水跃的能量损失
4
4. 水跃的分类
当1＜Fr1＜1.7时，水跃 为波状水跃 波状水跃，表面没有 波状水跃 旋滚存在，故消能效果差。
当Fr1>1.7时，表面存在旋滚的水跃为完全水跃。 完全水跃。 完全水跃
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5.水跃水力计算的主要内容 水跃水力计算的主要内容
(1) 共轭水深h1、h2的计算； (2) 水跃跃长的计算； (3) 水跃能量损失计算 。
水跃的消能效率
Kj =
E (水跃总水头损失） E1 （跃前断面比能）
消能系数Kj越大则水跃的消能效率越高。 且
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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4. 水跃的消能效率
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例7.7 一水跃产生于一棱柱体矩形水平渠段中。 今测得h1 = 0.2 m ， h2 = 1.4 m 。求渠中的单宽流量 q 。
2q 2 = 0 ( 7 .10 ) 解：由方程（7.10） h1 h22 + h12 h2 − g
解 q 得到下列公式
q=
gh1h2 (h1 + h2 ) 2
将已知值代入上式，得