16-17浙江工商大学线性代数(答)

浙江工商大学2016 / 2017学年第一学期考试试卷(A)

参考答案

一、填空题（每小题2分，共20分）

1. 5！

2. -36

3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3233312223211213111

1b b b b b b b b b A 4.无关

5. -1，1，-7

6. (A -)

7.无关

8. 2

9. bc ad -

10. 3

二、单项选择（每小题3分，共15分） D. B A C C A 三、计算题 (本题共55分)

1.解：413121114529A A A A +++2474

96

8552322979---=

………5分

1455

3

2750

05532

2792

7

4

5322792

07

4

91

8550322079-=---=---=---=---= ………9分

2. 解：AX AA X AA 21*+=-

………2分 E AX X A =-2

4=A ………4分 E X A E =-)2(2

………6分

1)2(2

1

--=

A E X

………8分

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=10111001141X

………10分

3. ⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛----==11631092114

4

7116),,,(4321ααααA ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----→1255014080755

110092

1

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-→0000100005100101

………4分

3),,,(4321=ααααr ，4321,,,αααα线性相关

………8分 一个极大无关组为421,,ααα，2135ααα-=

………12分

4. 解：⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---→800071

102431λA ………4分 当8=λ时方程组有解，且有无穷多解。

………6分

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--→0000711019701A 同解方程为⎪⎩⎪

⎨⎧-=+-=自由未知量:71973

3231x x x x x

令03=x 特解：T X )0,7,19(0-=

………8分

导出组的同解方程为⎪⎩⎪

⎨⎧=-=自由未知量:73

323

1x x x x x

令13=x 基础解系为：T X )1,1,7(1-= ………10分

原方程的全部解：10kX X + （k 为任意实数）

………12分

5. 解：A 的特征方程：

)1)(1)(2(1

2

1

0112

-+-=--+-λλλλλλ

特征值为1,1,2321=-==λλλ三个单根，A 可以对角化。

………4分

当21=λ时0)2(=-X A E

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0001000101200301102A E

得特征向量为T )0,0,1(1=α ………6分 当12-=λ时0)(=--X A E

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--00011000122000011

3A E

得特征向量为T )1,1,0(2-=α ………8分 当13=λ时0)(=-X A E

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010101020020111A E

得特征向量为T )1,0,1(3=α ………10分

令：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110010101),,(321αααP ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=Λ100010002

使得：Λ=-AP P 1 ………12分 四.证明简答题(10分)

证明：设r A r =)( ),,(21S B B B B = 则0),,(21==S AB AB AB AB ，得:0=i AB 即i B 是0=AX 的解。),,2,1(s i =

………4分 证明（1）若0=r ，则0=A ，n B r A r ≤+)()( ………6分

（2） 若n r =，则0=AX 只有零解，即0=i B ，0=B 0)(=B r 则n B r A r ≤+)()(

………8分

（3） 若n r <<0，0=AX 的基础解系含r n -个解向量，i B 可以由0=AX 的基础解系线性

表示，)(),,()(21A r n r n B B B r B r S -=-≤=

即n B r A r ≤+)()(

………10分